流体力学 边界层理论.ppt

1,第八章 边界层理论,2,第八章 边界层理论,3,第八章 边界层理论,8-1 引言,边界层理论,上章介绍了纳维斯托克斯方程与雷诺方程，它们与连续性微分方程一起构成求解粘性流体动力学的基本微分方程。由于它们是非线性的二阶偏微分方程，雷诺方程还无法封闭，所以在一般情况下不易得到它们的精确解，所以人们转向寻求近似的解答。,4,本章主要研究平板上的边界层，因为流线体绕流与平板绕流相接近。,边界层理论,粘性流体运动时的解析近似解至今在两种情况下才能获得，一种是 时，可忽略惯性力，使基本方程线性化，这就是所谓蠕流理论；另一种是 时，求解物体绕流阻力的边界层理论，它对流体的粘性仅局限于边界内考虑，而边界层之外的广大主流区，可当作理想流体的势流。,5,8-2 边界层的基本概念,粘性流体与理想流体的根本区别：粘性流体具有粘滞性。,当粘性流体在静止固定边界上流动时，流体在固定边界上的速度为零，随与固体边界距离的增大，固体边界或粘性对流动的影响逐渐减小，流速逐渐增大，最后接近来流流速。,当来流的雷诺数较高时，具有速度变化 的范围只限于靠近固体边界的极薄的一层内，此薄层称为边界层。,流速由 0 增加到0.99 处流体的厚度称为边界层的厚度。,边界层理论,定义：,6,飞机和舰船的摩擦阻力确定；溢流坝面理论流速系数值的确定；陡槽中高速水流掺气点的确定；水流阻力与水头损失的确定。,1、边界层的厚度 与物体的特征长度 相比是非常小的，即边界层极薄。,因为随着平板长度的增加，摩擦损失亦增加，流体内部的能量减少，流速亦减少，为了满足连续条件，边界层的厚度增大。,边界层理论,边界层理论在实际工程中的应用：,边界层的特点：,2、边界层的厚度 在平板上沿流动方向增加。,7,3、边界层中也存在着层流区、过渡区和紊流区，过渡区和紊流区下面也存在一个层流底层。如图81所示。,边界层理论,8,随着边界层厚度的增加，粘性对边界层内流体的约束作用减小，而惯性作用增大。当粘性作用控制不住水质点的运动时，就和流体在圆管中流动一样，由层流转变成紊流，此现象称为边界层转捩，并且在过渡区和紊流区下面存在一层流底层。,假设主流中流速为，到平板前端的距离为 x，这时的雷诺数为,（81）,一般取转捩点的雷诺数为,（82）,边界层理论,9,4、边界层将粘性流体的流动范围分成性质完全不同的两个区。,边界层理论,边界层以外的区可视为理想流动区，边界层内视为粘性流动区。,10,8-3 边界层的运动微分方程式,假设：,边界层理论,于是，NS运动方程式和连续方程式变为,流动是恒定的；平面流动；质量力只有重力作用，且可以忽略；不可压缩流体。,11,（84）,由式（83c），得,（85）,又由式（83c）,（86）,由式（86）可知，相当于 的量级，由式（85）可知，相当于 y 的量级，因此 y 也相当于 量级。于是,边界层理论,为简化上面的微分方程组，对式中各项进行量级分析，忽略其低量级量，如图82所示。假设物体的特征长度为，主流流速为，边界层厚度为，与 相当的量级定为 1，与 相当的量级定为，且，于是有,12,（87）,边界层理论,13,又,（89）,边界层理论,14,将式（84）（89）的量级代入式（83a）和（83b）中，则得,（810）,（811）,边界层理论,15,式（810）左端圆括号中的第一项同第二项相比可以忽略。假设在边界层中的压力项、粘性项和惯性项的影响相同，则它们的量级也应该相同。于是，得 的量级为，若将 的量级代入式（811），则压力项以外各项的量级分别为 和，同压力项的量级 相比，均可以忽略掉。最后，得边界层的运动方程式及边界条件为,边界层理论,16,（1）由式（812b）可知，在边界层内压强P沿 y 方向不变化，可由边界层外部流动的 x 方向的运动方程式确定。当忽略质量力，且为恒定流时得,U（x）为边界层边界上理想流动或势流的流速，以后简记为U，对于平板上的边界层就是，由于在边界层内部 所以有,边界层理论,结论：,17,（2）由边界层运动方程式（812a）求得边界层厚度变化规律。（812）两端的量级为,（814）,由于雷诺数 很大，可见边界层厚度 是很小的。,边界层理论,18,8-4 边界层中的各种厚度,种类：,边界层厚度一般用 表示，它是边界层横断面上某点的流速 等于来流流速 的99%时，此点到固体表面的距离。,理想流速 通过边界层中减小的流量所相当的厚度称为排挤厚度，也称为流量损失厚度。,边界层理论,一、边界层厚度,定义：,二、排挤厚度,定义：,19,如图83a 所示，图中斜影线面积表示边界层中减小的流量；图中铅直影线面积表示以理想流速 通过排挤 厚度 的流量。,式（715a）右边第一项表示理想流体通过厚度为 断面的流量。第二项表示边界层中同一断面通过的流量。两者之差表示由于边界层的存在所减小的流量。,边界层理论,20,设边界层边界外的流速处处为，流线和平板间的距离在平板前端为 h，由于边界层内的流速 u 小于，为了保持通过的流量不变，流线应该向外偏移一个距离。现证明这个偏移距离就是排挤厚度，设此时流线与平板间的距离为，由连续方程,边界层理论,另外，排挤厚度 决定了流线的偏移距离。如图83（b）所示，通过平板与流线间的流量应保持不变。,21,证毕。,理想流速 通过边界层中减小的动量所相当的厚度，称为动量厚度,又称动量损失厚度。,边界层理论,三、动量厚度,定义：,22,例题81假设边界层中的流速按下面指数规律分布,试求：n=7时边界层的排挤厚度和动量厚度。,解 排挤厚度,动量厚度,边界层理论,23,8-5 边界层的动量方程式和摩擦切应力,当流体沿固体壁面流动时，如前所述在垂直壁面方向，速度由壁面上的零变为主流流速，形成这种速度分布的原因是由于壁面上的阻力逆流体流动方向作用的结果。本节我们应用动量定律来求壁面的摩擦切应力。,如图84所示，虚线OAD为边界层与主流的分界线、虚线与固体壁面间为边界层区域，粘性作用显著，虚线外区域忽略流体中的粘性作用，视为理想流体流动区域，对于平板边界层上的流速为常数，对于曲线壁面，边界层边界上的流速为变数,边界层理论,24,如图所示，取长为 的控制体ABCD、AB断面处边界层厚度为，作用压强为 p。,在 x 方向的作用力如下：,边界层理论,a、二元恒定流动；b、质量力只有重力，且忽略不计；c、段壁面曲率小，可视为直线。,假设：,25,x 方向的动量变化如下：,边界层理论,26,AD面流入的动量计算,总动量变化为：,（2）,边界层理论,27,边界层内的压强在流动方向上的变化由式（813）为,（4）,式（3）右端的第一项根据分步积分变形如下：,将式（1）和（2）代入动量方程，并注意到在边界层内p=p（x），所以，于是得,边界层理论,28,将式（4）和式（5）代入式（3）得,两端除以，得,（817）,式（817）称为卡门动量方程式。,边界层理论,29,适用范围：,对于平板上的边界层，一般由于平板很薄，可以认为由于它的存在而不影响外部流动。因此，这样式（817）就变为,（818）,假设平板的宽度为 b，长度为，则作用力在单侧平板上的总摩擦阻力为,（819）,边界层理论,30,8-6 光滑平板上的层流边界层,定义：,假设恒定均匀流的流速为，平行流动方向放置一长为，宽为 b 的平板，则平板一侧所受的阻力,（820）,式中,边界层理论,当粘性流体在平板上流动时，平板将受到阻力作用，此阻力称为摩擦阻力。,31,一、层流边界层的流速分布公式,设,（821）,对于恒定流，边界层的运动方程式为,（822）,因为在平板的壁面上（y=0），所以 y=0时，,（823）,边界层理论,32,由式（813），边界层内部的压强变化为,（824）,对于平板上的边界层，于是上式中，代入式（823），得 y=0时，,（825）,对式（821）连续偏导两次，并令其等于零，得,由此得B=0。又在 处有,（826）,边界层理论,33,仍应用式（821）得,解得,将上面的A、B、C各值代入式（821），得层流边界层内的流速分布为,（827）,边界层理论,34,二、层流边界层厚度公式,（828）,另一方面，由式（818）和式（816），有,边界层理论,由牛顿内摩擦定律,35,所以,（829）,因为由式（828）或式（829）求得的 应该相等，所以得,将上式积分，并且注意：在平板前端，即 x=0 处，于是得,（830）,边界层理论,36,三、层流边界层的摩擦阻力公式,（831）,（832）,作用在宽为 b，长为 单侧平板上的摩擦阻力，由式（819）为,联立式（832）和式（820），得摩擦阻力系数,（833）,式中雷诺数。,边界层理论,将式（830）代入式（828）得,37,这只是一种近似解，严密解是由勃拉休斯根据边界层基本公式（812）求得的，但是限于数学原因，这里只给出其结果：,（834）,注意：,边界层理论,此结果只适用于层流边界层，对于紊流边界层不适用。,38,例题82在运动粘滞系数 的水中，长2m，宽2m的平板以0.2m/s的速度运动，试用勃拉休斯严密解求：（1）距平板前端0.5m处的摩擦应力；（2）拖动此平板所需的力。,解（1）摩擦应力计算,因为，所以整个平板上产生层流边界层，故采用勃拉休斯公式是正确的。,当 x=0.5 m 时,边界层理论,39,（2）拖力计算,平板两侧的摩擦阻力为,故拖动平板所需的力为0.336N。,边界层理论,摩擦阻力系数,40,边界层理论,四、紊流边界层的计算公式（推导略）,五、平板混合边界层计算公式（推导略）,41,边界层理论,42,边界层理论,第八章 习题,81 有一块 1.5 m4.5 m 的矩形薄板在空气中以 3 m/s速度沿板面方向拖动，已知空气运动粘性系数为 v=1.5105 m2/s,密度为 r=1.2 kg/m3。试求薄板沿短边方向和长边方向运动时，各自的摩擦阻力。,解：（1）求沿短边方向运动的阻力。,43,边界层理论,44,本章结束,边界层理论,