函数的单调性PPT.ppt

1.3.1 函数的单调性,问题：1.说出气温在哪些时间段内是升高的.,2.怎样用数学语言刻画“随着时间的增大气温逐步提高”这一特征？,学生活动,问题1：观察下列函数的图象，指出图象变化的趋势.,在区间（，+）内，,函数y2x+1图象在该区间内呈逐渐上升趋势,问题1：观察下列函数的图象，指出图象变化的趋势.,在区间（，1）内，,在区间（1，+）内，,函数y（x1）21 图象在该区间内呈逐 渐下降趋势.,函数y（x1）21 图象在该区间内呈逐 渐上升趋势.,问题1：观察下列函数的图象，指出图象变化的趋势.,在区间（0，+）内，,函数y 图象在该区间内呈逐 渐下降趋势.,函数y 图象在该区间内呈逐 渐下降趋势.,函数的这种性质称为函数的单调性.,问题3：如何用数学语言来准确地描述函数的单调性呢？,三、建构数学,例如，在区间（1，+）上当x的值增大时，函数y的值也增大的事实应当如何表述？,能不能由于x=1时，y=3；x=2时，y=5，就说随着x的增大，函数值y也随着增大？,函数的单调性,如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1 x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数。,如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1 f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数。,2.定义,如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这个区间上具有(严格的)单调性，这个区间叫做y=f(x)的单调区间。,一般地，对于函数 y=f(x)的定义域为I,定义域I内某个区间,定义域I内某个区间,任意两个自变量,任意两个自变量,（2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;,（1）如果函数 y=f(x)在区间I是单调增函数或单调减函数，那么就说函数 y=f(x)在区间I上具有单调性。在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。,注意：,判断1：函数 f(x)=x2 在 是单调增函数；,（2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;,（1）如果函数 y=f(x)在区间I是单调增函数或单调减函数，那么就说函数 y=f(x)在区间I上具有单调性。在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。,注意：,判断2：定义在R上的函数 f(x)满足 f(2)f(1)，则函数 f(x)在R上是增函数；,（3）x 1,x 2 取值的任意性,例：下图是定义在闭区间-5，5上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一个单调区间上，y=f(x)是增函数还是减函数。,解：函数y=f(x)的单调区间有-5，-2)，-2，1)，1，3)，3，5，其中y=f(x)在区间-5，-2)，1，3)上是减函数，在区间-2，1)，3，5上是增函数。,四、数学应用,.,例2 小明从家里出发，去学校取书，顺路将自行车送还王伟同学小明骑了30分钟自行车，到王伟家送还自行车后，又步行10分钟到学校取书，最后乘公交车经过20分钟回到家这段时间内，小明离开家的距离与时间的关系如图所示指出这个函数的单调性,例3.观察下列函数的图象，并指出它们是否为定义域上的增函数：,能不能不通过观察函数的图象就能知道函数的单调性呢？,在不太好画出函数的图象时如何判断函数的单调性呢？,函数y1/x2(x0)的是单调增函数，还是单调减函数呢？,证明：,（条件）,（论证结果）,（结论）,1.在这个区间上任取两个自变 量x1、x2,且x1 x2.2.作差（作商）并将差f(x1)f(x2)化简变形成最简形式.3.判断符号.4.得出结论.,用函数单调性定义判定或证明函数单调性的一般步骤：,.,分析 对于用解析式表示的函数，其单调性可以通过定义来判断，也可以作出函数的图像，通过观察图像来判断无论采用哪种方法，都要首先确定函数的定义域,例5 判断函数y=4x-2的单调性,1请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系,反比例函数的单调性,练习,2.根据图象说出函数的的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数,反比例函数的单调性,练习,.,3.已知函数图像如下图所示,（1）根据图像说出函数的单调区间以及函数在 各单调区间内的单调性；（2）写出函数的定义域和值域,本节课主要学习了以下内容：,知识小结,2根据定义证明函数的单调性的主要步骤,1函数的单调性及单调区间的概念；,从上面的观察分析，能得出什么结论？,函数的单调性,问题,从上面的观察分析可以看出：不同的函数，其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上变化趋势也不同，函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映，这就是我们所要研究的函数的一个重要性质函数的单调性,如何用x与f(x)来描述上升的图象？,O,x,y,如何用x与f(x)来描述上升的图象？,O,x,y,如何用x与f(x)来描述上升的图象？,O,x,y,如何用x与f(x)来描述上升的图象？,O,x,y,x1x2,如何用x与f(x)来描述上升的图象？,O,x,y,yf(x),x1x2,如何用x与f(x)来描述上升的图象？,O,x,y,yf(x),x1x2,如何用x与f(x)来描述上升的图象？,O,x,y,yf(x),x1x2,如何用x与f(x)来描述上升的图象？,O,x,y,yf(x),x1x2 f(x1)f(x2),如何用x与f(x)来描述上升的图象？,O,x,y,yf(x),x1x2 f(x1)f(x2),如何用x与f(x)来描述上升的图象？,O,x,y,yf(x),如何用x与f(x)来描述上升的图象？,O,x,y,yf(x),在给定区间上任取x1,x2,x1x2 f(x1)f(x2),如何用x与f(x)来描述上升的图象？,O,x,y,yf(x),在给定区间上任取x1,x2,x1x2 f(x1)f(x2),如何用x与f(x)来描述上升的图象？,O,x,y,yf(x),在给定区间上任取x1,x2,函数f(x)在给定区间上为增函数.,x1x2 f(x1)f(x2),如何用x与f(x)来描述上升的图象？,O,x,y,yf(x),在给定区间上任取x1,x2,如何用x与f(x)来描述下降的图象？,x2,x1,O,x,y,yf(x),f(x1),f(x2),函数f(x)在给定区间上为增函数.,x1x2 f(x1)f(x2),如何用x与f(x)来描述上升的图象？,O,x,y,yf(x),在给定区间上任取x1,x2,如何用x与f(x)来描述下降的图象？,x2,x1,O,x,y,yf(x),f(x1),f(x2),函数f(x)在给定区间上为增函数.,x1x2 f(x1)f(x2),如何用x与f(x)来描述上升的图象？,O,x,y,yf(x),在给定区间上任取x1,x2,如何用x与f(x)来描述下降的图象？,x2,x1,O,x,y,yf(x),f(x1),f(x2),函数f(x)在给定区间上为增函数.,在给定区间上任取x1,x2,x1x2 f(x1)f(x2),如何用x与f(x)来描述上升的图象？,O,x,y,yf(x),在给定区间上任取x1,x2,如何用x与f(x)来描述下降的图象？,x2,x1,O,x,y,yf(x),f(x1),f(x2),函数f(x)在给定区间上为增函数.,x1x2 f(x1)f(x2),在给定区间上任取x1,x2,x1x2 f(x1)f(x2),如何用x与f(x)来描述上升的图象？,O,x,y,yf(x),在给定区间上任取x1,x2,如何用x与f(x)来描述下降的图象？,x2,x1,O,x,y,yf(x),f(x1),f(x2),函数f(x)在给定区间上为增函数.,函数f(x)在给定区间上为减函数.,x1x2 f(x1)f(x2),在给定区间上任取x1,x2,一般地，设函数f(x)的定义域为I:,函数的单调性,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，当 时，都有，那么就说函数 在区间D上是增函数（increasing function）,一般地，设函数f(x)的定义域为I:,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，当 时，都有，那么就说函数 在区间D上是减函数（decreasing function）,函数的单调性,如果函数yf（x），在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数在这个区间上具有（严格）单调性，区间D叫做yf（x）的单调区间,函数的单调性,在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的,证明函数单调性步骤,证明函数单调性的一般步骤：取值：设x1，x2是给定区间内的两个任意值，且x1x 2）；作差：作差f(x1)f(x2)，并将此差式变形（要注意变形到能判断整个差式符号为止）；定号：判断f(x1)f(x2)的正负（要注意说理的充分性）,必要时要讨论；下结论：根据定义得出其单调性.,例3.判断函数 在定义域 上的单调性.,证明：在区间 上任取两个值 且,则,，且,所以函数 在区间上 是增函数.,取值,作差,变形,定号,结论,返回,练一练,试用定义法证明函数 在区间 上是单调增函数。,(2)在区间（0，+）上是增函数的是（）,在下列各函数中，在,C.,D.,内为减函数的是（）,A.,B.,考考你自己,作出下列函数的图象，并写出函数的单调区间：（1）y=x22；（2）y=,提问：能不能说，函数y=,上是单调减函数？,（1）函数y=x22在（，0）上是单调增函数，在（0，+）上是单调减函数.,（2）函数y=,在（0，+）上也是单调减函数.,在（，0）上是单调减函数，,在（，0）（0，+）,.,1.当k0时，图像从左至右是 的，函数是单调 函数；2.当k0时，图像从左至右是 的，函数是单调 函数,1.当k0时，在各象限中y值分别随x值的增大而，函数是单调 函数；2.当k0时，在各象限中y值分别随x值的增大而，函数是单调 函数,由一次函数y=kx+b(k0)的图像分析其单调性,.,练习 判断函数下列函数的单调性,（1）y=2x+1,（2）y=2x-1,（3）y=-2x+1,（4）y=-2x-1,讨论一般性,