Koch 曲线的周长与面积.doc

Koch 曲线的周长与面积设原三角形P1的边长为a1 ，边数为 b1 ，周长为L1 ，面积为S1。依次所得的“雪花曲线”（Pn）的边长为an ，边数为bn ，周长为 Ln，面积为 Sn。观察n1、2、3时，an、 bn、 Ln 、Sn的表达式及其相互关系，构造次数Pn边长为a边数为 b周长为L面积为Sn=1a1b1L1=3a1S1=a12n=2b2=4b1L2=L1S2=a12+3×a12n=3B3=4b2L3=()2L2S3=a12+3×a12+2×a12下面分步研究: an与 an-1的边长之间的关系: 由 , , 得, 。Pn 与Pn-1的边数之间的关系：因为每操作一次，原来一条边变为4条边，所以 ，从而 。Pn 与Pn-1 的周长之间的关系：由 , , 得， 。Pn与Pn-1的面积之间的关系：P 是在P1 的每条边上再生成一个小三角形， 。同理，对象Pn 是在Pn-1的每条边上再生成一个小正三角形，于是对象Pn 的面积等于Pn -1 的面积加上bn 个新增小正三角形的面积，即 ，把 和 的表达式代入上式，得 ，即 , , ,用叠加相消法，得 。 Pn 和Pn-1 的之间的递推关系：P 的面积等于Pn-1的面积加上bn-1 个新增小正三角形的面积。分析数列an、bn、 Ln 、Sn 的性质数列an、 bn、 Ln 、Sn都是等比数列；数列bn、Ln 、Sn 都是递增数列；数列an是递减数列；由于bn、 Ln 的公比大于1，an 的公比小于1，随着n 趋近于，bn 、Ln 的值趋于，an的值趋于0；Sn的公比小于1，随着n趋于，Sn 的值趋于 （且 ,即雪花曲线面积大于原正三角形面积，而小于P2 的六个顶点连成的正六边形面积。）。 面的分析结果，得到雪花曲线的特性：雪花曲线是一条边数有无穷多，到处是尖端，不光滑的、连续的封闭的折线；雪花曲线的周长为无穷大，而它所围成的面积是有限的；