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14-1,曲线积分,第14章曲线积分和曲面积分,积分学 定积分二重积分三重积分,积分域 区间域 平面域 空间域,曲线积分,曲线域,曲面域,曲线积分,对弧长的曲线积分,对坐标的曲线积分,曲面积分,问题的提出,实例:曲线形构件的质量,匀质之质量,分割,求和,取极限,代替,一、标量函数的曲线积分（对弧长的曲线积分，第一类曲线积分）,（一）定义,Z,被积函数,积分弧段,曲线形构件的质量,注意：,4.性质,(5)对称性：平面曲线积分对称性同二重积分 空间曲线积分对称性同三重积分,例,解,由对称性,知,例.已知椭圆,周长为a,求,提示:,原式=,利用对称性,分析:,（二）标量函数曲线积分的计算,O,特殊情形,注：1）曲线方程代入被积函数中 2)积分限从小到大；3）曲线L为分段光滑时可利用区域可加性分段计算。,例1,解,例3,解,例4,例5计算L:x2+y2=2y闭路；2）L:x2+y2=2ax第一象限弧与x轴所围闭路。,例6：计算 其中L为x2+y2=a2直线y=x,及x轴在第一象限内所围成的区域边界 解：,O A x,例7：计算，其中L：,由对称性可知,为双纽线,解：,例.计算曲线积分,其中为螺旋,的一段弧.,解:,线,例.计算,其中为球面,解:,化为参数方程,则,（三）几何与物理意义,例.设均匀螺旋形弹簧L的方程为,求它的质心.,解:设其密度为(常数).,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故重心坐标为,例 设某种物质分布在,解,其密度(x,y)=|y|求它的总质量m,例.L为球面,面的交线,求其形心.,在第一卦限与三个坐标,解:如图所示,交线长度为,由对称性,形心坐标为,2.向量值函数的曲线积分（对坐标的曲线积分，第二类的曲线积分）,1定义:变力沿曲线L所作的功,常力F沿直线AB所作的功W=|F|AB|cos(F,AB),求和,取极限,分割,1.定义,注：,1.若L为空间曲线.,即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.,例 曲线L r(t)=t,t2,t3,t从0变到1的曲线弧，把L f 1(x,y,z)dx+f 2(x,y,z)dy+f 3(x,y,z)dz 化为标量函数的曲线积分。,5.两类曲线积分关系若曲线L是光滑的，,令F（x,y)=x2+y2-2x,3、对坐标的曲线积分的计算,定理,特殊情形,注：1）曲线向量函数代入被积函数中;2）积分限从起点终点；3）曲线L为分段光滑时利用区域可加性计算。,例1,解,例2,解(1),例3计算(x2+y2)dx L:x2+y2=2y逆时针闭路(正方向）；2）L:x2+y2=2x第一象限弧与x轴所围顺时针闭路。y y,O x o x,例5,例6：计算I=（z-y)dx+(x-z)dy+(x-y)dz其中L:,解：x=cost,y=sint,z=2-cost+sint,从z轴正方向向负方向看为顺时针方向,例题：,例，在变力 作用下，质点沿曲线y=a sinx,从O(0,0)到A（，0），问a=?变力作的功最小。,