四章 多项式插值与数值逼近.ppt

实际问题中经常要涉及到函数值的计算问题：（1）如果函数表达式本身比较复杂，且需要多次重复计算时，计算量会很大；（2）有的函数甚至没有表达式，只是一种表格函数，而我们需要的函数值可能不在该表格中。对于这两种情况，我们都需要寻找一个计算方便且表达简单的函数来近似代替，这就是数值逼近问题。,1 插值问题/*Interpolation Problem*/,（插值的定义）,已知定义于区间 上的实值函数 在 个互异节点 处的函数值，若函数集合 中的函数 满足,则称 为 在函数集合 中关于节点 的一个插值函数，并称 为被插值函数,a,b为插值区间，为插值节点，（*）式为插值条件。,设,插值类型,代数插值：集合 为多项式函数集,g(x)f(x),几何意义：,截断误差,插值余项,设 在区间 a,b上连续，在区间 a,b上存在,是满足插值条件（*）的不超过n次的插值多项式，则对 存在，满足其中。且当 在区间 a,b有上界 时，有,2 代数插值多项式的构造方法,一、拉格朗日多项式/*Lagrange Polynomial*/,n=1,可见 P1(x)是过(x0,y0)和(x1,y1)两点的直线。,称为拉氏基函数/*Lagrange Basis*/，满足条件 li(xj)=ij,与 有关，而与 无关,n 1,每个 li(x)有 n 个根 x0 xi-1、xi+1 xn,Lagrange Polynomial,节点,f,例如 也是一个插值多项式，其中 可以是任意多项式。,（2）Lagrange插值多项式结构对称，形式简单.,（3）误差估计,注：（1）若不将多项式次数限制为 n，则插值多项式不唯一。,（4）当插值节点增加时，拉氏基函数需要重新计算，n较大时，计算量非常大,故常用于理论分析。,3 埃尔米特插值/*Hermite Interpolation*/,不仅要求函数值重合，而且要求若干阶导数也重合。即：要求插值函数 满足，,4 分段插值/*piecewise Interpolation*/,一、高次插值评述,1、从插值余项角度分析,为了提高插值精度，一般来说应该增加插值节点的个数，这从插值余项的表达式也可以看出，但不能简单地这样认为，原因有三个：,注意下面图中曲线的变化情况！,例3：在5,5上考察 的Ln(x)。取,n 越大，端点附近误差越大，称为Runge 现象,二、分段插值的构造方法,将插值区间划分为若干个小区间（通常取等距划分）,采用低次插值,在区间 上得到分段函数,分段线性插值基函数,(1)、分段线性插值/*piecewise linear interpolation*/,在每个区间 上，用1阶多项式(直线)逼近 f(x):,(2)分段二次插值/*piecewise linear interpolation*/,在每个区间 上，用2次多项式(抛物线)逼近 f(x):,分段二次插值基函数,5 三次样条插值/*Cubic Spline Interpolation*/,许多实际工程技术中一般对精度要求非常高，（1）要求近似曲线在节点连续；（2）要求近似曲线在节点处导数连续，即充分光滑。分段插值不能保证节点的光滑性，而Hermite插值需要知道节点处的导数值，实际中无法确定。,一、三次样条函数的力学背景,在工程技术和数学应用中经常遇到这样一类数据处理问题：在平面上给定了一组有序的离散点列，要求用一条光滑曲线把这些点按次序连接起来。,形象地称之为样条曲线,二、三次样条函数定义及求法,设在区间 上给定一个分割，定义在 上的函数 如果满足下列条件：(1)在每个小区间 内是三次多项式(2)在整个 区间上，为二阶连续可导函数，即在每个节点 处,假设现在已知函数 在节点处的函数值：,使用时，直接删除本页！,精品课件，你值得拥有！,精品课件，你值得拥有！,使用时，直接删除本页！,精品课件，你值得拥有！,精品课件，你值得拥有！,使用时，直接删除本页！,精品课件，你值得拥有！,精品课件，你值得拥有！,注：三次样条与分段 Hermite 插值的根本区别在于S(x)自身光滑，不需要知道 f 的导数值（除了在2个端点处的函数值）；而Hermite插值依赖于f 在许多插值节点的导数值。,f(x),H(x),S(x),