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    有限元法基础讲稿第10讲新.doc.ppt

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    有限元法基础讲稿第10讲新.doc.ppt

    结构静力学问题的有限元法,梁结构问题比桁架复杂一些,也可用矩阵分析法(线性代数方程组)得到问题的精确解。在ANSYS软件中上述两类问题的建模和求解较为简单。定义单元用ET指令,考虑材料各种特性选不同的Link、Beam单元。有限单元法把杆系结构的矩阵分析方法推广应用于连续介质:把连续介质离散化,用有限个单元的组合体代替原来的连续介质,这样一组单元只在有限个节点上相互连接,因而包含有限个自由度,可用矩阵方法进行分析。主题:A.平面问题有限元法B.轴对称问题有限元法C.空间问题有限元法D.等参数有限元法E.单元与整体分析,结构静力学问题的有限元法平面问题有限元法,对一些特殊情况可把空间问题近似地简化为平面问题,只须考虑平行于某个平面的位移分量、应变分量与应力分量,且这些量只是两个坐标的函数。平面问题分平面应力问题和平面应变问题两类。设有很薄的均匀薄板,只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力,同时,体力也平行于板面并且不沿厚度变化,记薄板的厚度为t,以薄板的中面为xy面,以垂直于中面的任一直线为z轴由于板面上不受力,且板很薄,外力不沿厚度变化,可以认为恒有,不为零的应力分量为、,这种问题就称为平面应力问题。设有无限长的柱形体,在柱面上受有平行于横截面而且不沿长度变化的面力,同时,体力也平行于横截面且不沿长度变化。以任一横截面为xy面,任一纵线为z轴,由于对称性(任一横截面都可以看做对称面),此时,,结构静力学问题的有限元法 平面问题有限元法,不为零的应变分量为、,这种问题就称为平面应变问题。二维连续介质,用有限单元法分析的步骤如下:(1)用虚拟的直线把原介质分割成有限个三角形单元,这些直线是单元的边界,几条直线的交点即为节点。(2)假定各单元在节点上互相铰接,节点位移是基本的未知量。(3)选择一个函数,用单元的三个节点的位移惟一地表示单元内部任一点的位移,此函数称为位移函数(位移模式)。(4)通过位移函数,用节点位移惟一地表示单元内任一点的应变;再利用广义虎克定律,用节点位移可惟一地表示单元内任一点的应力。(5)利用能量原理找到与单元内部应力状态等效的节点力;再利用单元应力与节点位移的关系,建立等效节点力与节点位移的关系。这是有限单元法求解应力问题的最重要的一步。,结构静力学问题的有限元法 平面问题有限元法,(6)将每一单元所承受的荷载,按静力等效原则移置到节点上。(7)在每一节点建立用节点位移表示的静力平衡方程,得到一个线性方程组;解出这个方程组,求出节点位移;然后可求得每个单元的应力。单元的位移模式及插值函数 由于三角形单元对复杂边界有较强的适应能力,因此很容易将一个二维域离散成有限个三角形单元。在边界上以若干段直线近似原来的曲线边界,随着单元增多,这种拟合将越精确。下面以3节点三角形单元为代表讨论平面问题的有限元格式。,图2-1 3节点三角形单元,结构静力学问题的有限元法 平面问题有限元法,设三角形单元节点编码为i,j,m,以逆时针方向编码为正向,否则后面求出的面积A为负值。每个节点有2个位移分量如图2-1所示,节点位移为e=ui,vi,uj,vj,um,vmT 节点的坐标分别为(xi,yi)、(xj,yj)、(xm,ym)。在有限单元法中单元的位移模式(也称位移函数和插值函数)一般采用多项式作为近似函数,因为多项式运算简便,并且随着项数的增多,可以逼近任何一段光滑的函数曲线。多项式的选取应由低次到高次。3节点三角形单元位移模式选取一次多项式 单元内的位移是坐标x,y的线性函数。16是待定系数,称之为广义坐标。6个广义坐标可由单元的6个节点位移来表示。在式(2-1-1)中代入三角形单元各节点的坐标然后解出,(2-1-1),结构静力学问题的有限元法 平面问题有限元法,式中,A为三角形的面积上式中(i,j,m)表示下标轮换,如ij,jm,mi。,(2-1-2),(2-1-3),结构静力学问题的有限元法 平面问题有限元法,将求得的广义坐标代入式(2-1-1),可将单元位移函数表示成节点位移的函数 其中 Ni,Nj,Nm称为单元的插值基函数或形函数,它是坐标x、y的一次函数。单元上任一点的形函数之和为1。式(2.1.4)写为矩阵的形式 其中 是二阶单位阵。,(2-1-4),(2-1-5),(2-1-6),结构静力学问题的有限元法 平面问题有限元法,应变矩阵 确定了单元位移后,可以很方便地利用几何方程和物理方程求得单元的应变和应力。作为平面问题,单元内具有3个应变分量x、y、xy(各符号的意义见附录1),用矩阵表示为 将(2-1-4)式代入上式中,得到,结构静力学问题的有限元法 平面问题有限元法,或 式中B称为应变矩阵,写为分块形式,即 B=Bi Bj Bm 而其子阵为 3节点三角形单元的B是常量阵,所以称为常应变单元。在应变梯度较大(也即应力梯度较大)的部位,单元划分应适当密集,否则将不能反映应变的真实变化而导致较大的误差。上述应变中包括与应力有关的应变和与应力无关的应变两部分,无关的应变0又称为初应变,(2-1-7),(2-1-8),(2-1-9),结构静力学问题的有限元法 平面问题有限元法,0由温度变化、收缩、晶体生长等因素引起,对工程结构一般只考虑温度应变,无论线性和非线性温度,计算时可近似地采用平均温度 式中,Ti、Tj、Tm分别为节点i、j、m的温度,Tref为参考温度。对于平面应力问题,温度 引起的初始应变为其中,为线膨胀系数。,结构静力学问题的有限元法 平面问题有限元法,由于温度变化在各向同性介质中不引起剪切变形,所以xy0=0。以后所述问题,除非特别说明,都指各向同性介质。对平面应力问题,温度 引起的初始应变为 当不考虑温度的影响时,当前温度即为参考温度。以后所述问题,除非特别说明,不考虑温度影响。,结构静力学问题的有限元法 平面问题有限元法,单元应力 根据物理方程,对平面应力问题,取应变分量 由上式解出,(2-1-10),结构静力学问题的有限元法 平面问题有限元法,式中,D为弹性矩阵,取决于弹性常数E和。将式(2-1-7)代入式(2-1-10)得,(2-1-11),(2-1-12),(2-1-13),结构静力学问题的有限元法 平面问题有限元法,由应变分量解出x、y、xy,弹性矩阵为 根据物理方程可以求解各应力分量。,式中,S为应力矩阵,反映了单元应力与单元节 点位移之间的关系。由于单元应力和应变分量为 常量,所以单元边界上有应力阶越,随单元划分 变密,突变将减小。对平面应变问题,有四个应力分量:x、y、xy和z。取应变分量,(2-1-14),结构静力学问题的有限元法 平面问题有限元法,单元刚度矩阵 单元节点力为Fe,节点虚位移为(*)e,节点虚应变为(*)e,平面单元的厚度为t。应用虚位移原理 将 及 代入上式整理得到 可见单元刚度矩阵为 对于三节点三角形单元,面积为A,所取为线性位移模式,单元刚度矩阵为,(2-1-15),结构静力学问题的有限元法 平面问题有限元法,进一步表示为 对平面应力问题有 单元刚度矩阵表达单元抵抗变形的能力,其元素值为单位位移所引起的节点力,与普通弹簧的刚度系数具有同样的物理本质。例如子块Kij,(2-1-16),结构静力学问题的有限元法 平面问题有限元法,其中:上标1表示x方向自由度,2表示y方向自由度,后一上标代表单位位移的方向,前一上标代表单位位移引起的节点力方向。如 表示j节点产生单位水平位移时在i节点引起的水平节点力分量,表示j节点产生单位水平位移时在i节点引起的竖直节点力分量,其余类推。单元刚度矩阵为对称矩阵。由于单元可有任意的刚体位移,给定的节点力不能惟一地确定节点位移,可知单元刚度矩阵不可求逆,具有奇异性。,

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