72 二重积分的计算法.ppt.ppt

1,7.2 二重积分的计算法,利用二重积分的定义直接计算二重积分一般很困难，计算二重积分的基本途径是将二重积分转化为累次积分，然后通过计算两次定积分来计算二重积分。,2,7.2.1 利用直角坐标计算二重积分,设f(x,y)是定义在平面区域D上的非负连续函数，以D为底面，以曲面f(x,y)为顶面，以D的边界曲线为准线而母线平行于z 轴的柱面为侧面所围成的立体称为曲顶柱体。,如何求该曲顶柱体的体积呢？,1、曲顶柱体的体积-二重积分的几何意义,3,(1)分割 用一组曲线网将D分成n个小闭区域1,2,n，分别以这些小区域的边界为准线作母线平行于z轴的柱面，这些柱面将原来的曲顶柱体分割成n个细曲顶柱体。,4,(2)近似 当这些小区域的直径di很小时，由于f(x,y)连续，对于同一个小区域上的不同点，f(x,y)的变化很小，细曲顶柱体可近似地看作平顶柱体,5,由二重积分定义立即得到,这就是二重积分的几何意义。,6,7,2、用几何观点讨论二重积分的计算法,应用“定积分”中求“平行截面面积为已知的立体的体积”的方法计算这个曲顶柱体的体积。,(1)设f(x,y)0，f(x,y)在D上连续。,X型,8,在区间a,b上任取一点x0，作平行于yOz面的平面x=x0。,这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间 1(x0),2(x0)为底、曲线z=f(x0,y)为曲边的曲边梯形，其截面面积为：,先计算截面面积。,9,一般地，过区间a,b上任一点x且平行于yOz面的平面截曲顶柱体所得截面面积为：,于是，应用计算平行截面面积为已知的立体体积的方法，得曲顶柱体体积为,这个体积也就是所求二重积分的值，从而有等式,10,上式右端的积分叫做先对y、后对x的二次积分。,就是说，先把x看作常数，把f(x,y)只看作y的函数，并对y计算从1(x)到 2(x)的定积分；,再把计算所得的结果（是x的函数）对x计算在区间a,b上的定积分。,这个先对y、后对x的二次积分也常记作,11,Y型,D,D,12,计算时先把y看作常数，因此f(x,y)是x的一元函数，,在区间1(y)x 2(y)上对x积分,得到一个关于y的函数,再在区间c y d上对y积分。,这就是把二重积分化为先对x、后对 y的二次积分的公式。,13,应用公式(1)时，积分区域必须是X型区域。,应用公式(2)时，积分区域必须是Y型区域。,X型区域D的特点是：穿过D内部且平行于y轴的直线与D的边界相交不多于两点。,Y型区域D的特点是：穿过D内部且平行于x轴的直线与D的边界相交不多于两点。,14,若积分区域D既不是X型区域也不是Y型区域，D，此时要将积分区域D分成几部分，使得每一部分是X型区域或Y型区域，再利用积分关于区域的可加性可得整个区域上的积分。,若积分区域D既是X型区域也是Y型区域，则。,这表明二次积分可以交换积分次序。,15,3、二重积分计算的一般方法,要依被积函数及积分区域两方面的情况选定积分顺序。,化为两次单积分,(1)作图，确定D的类型。,(2)选定积分顺序。,(3)定出积分上下限。,(4)计算定积分。,确定积分顺序之后，积分的上下限是依D的特点而定的。,要使两次积分都能“积得出”，“易积出”。,16,解 画出积分区域D如图所示。,既是X型，又是Y型的。,17,y,18,解 首先画出积分区域D的图形。,(1)如先积y后积x，则有,19,20,(2)如先积x后积y，则有,评注 本例说明，在化二重积分为二次积分时，为了计算简便，需要选择恰当的二次积分的次序，这时既要考虑区域D的形状，又要考虑函数f(x,y)的特性。,21,4、交换积分顺序,由所给的积分顺序及积分限写出D的不等式表示并画出积分区域的草图,由积分区域按新的积分顺序确定积分限。,例3 交换以下积分的积分顺序,22,D1,D2,23,课内练习一 改变以下二次积分的积分次序,24,25,26,解 积分区域如图所示。,应先积x，后积y,27,应先积y，后积x。,评注 本例中两题不能交换积分次序，因为交换次序后，原函数不能用初等函数表达出来，从而二重积分计算不出来。,解 积分区域如图所示。,28,例5 求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体体积。,解 设这两个圆柱面的方程分别为,利用立体关于坐标平面的对称性，只要算出它在第一卦限部分(如图(a)的体积V1，然后再乘以8就行了。,x2+y2=R2及x2+z2=R2,29,所求立体在第一卦限部分可以看成是一个曲顶柱体，它的底为,如图所示，它的顶是柱面,30,利用公式(1)，得,31,7.2.2 利用极坐标计算二重积分,有些二重积分，积分区域D的边界用极坐标方程来表示比较方便，且被积函数用极坐标变量r、表达比较简单。这时，我们就可以利用极坐标计算二重积分。,下面我们来研究这个和的极限在极坐标系中的形式。,32,1、极坐标系下的二重积分的形式,假定从极点O出发且穿过闭区域D内部的射线与D的边界曲线相交不多于两点。,我们用,(2)从极点出发的一族射线：=常数，,把D分成 n个小区域（如上图）。,(1)以极点为中心的一族同心圆：r=常数，,33,除了包含边界点的一些小闭区域外，小闭区域的面积i可计算如下：,34,35,36,2、如何化为两次单积分,积分顺序：一般是先积r后积。,定限的方法：依D的特点。,37,38,39,由二重积分的性质4，闭区域D的面积可以表示为,40,(1),41,(2),42,(3),43,44,45,46,47,48,解 积分区域D的图形,D：0 r a,0 2,49,50,D2,S,D1,51,S,D2,D1,52,53,例4 求球体 x2+y2+z2=4a2被圆柱x2+y2=2ax(a0)所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积。,D,54,55,56,解 由被积函数的对称性，可只考虑第一象限部分,