曲面的两个基本形式及其应用.doc

毕 业 论 文题 目：曲面的两个基本形式及其应用学院(直属系)： 年级、专业： 学生姓名： 学 号： 指导教师： 完成时间： 教务处制摘要本文针对曲面的相关性质，叙述了微分几何中空间曲面的第一基本形式和第二基本形式的概念、性质和在曲面论中的应用的相关知识。通过举几个具体的曲面说明第一基本形式和第二基本形式的计算，以及利用曲面的第一基本形式和第二基本形式来研究曲面的性质。分析了曲面的三个基本形式的系数矩阵之间的关系及其证明，并应用第一基本形式和第二基本形式来研究两曲面的等距对应，然后将曲面的第一基本形式和第二基本形式在曲面论基本定理中的作用和曲率和挠率在曲线论基本定理中的作用比较来研究。深入了解曲面的两个基本形式及其应用。关键词：曲面的第一基本形式、第二基本形式，系数矩阵，等距对应，曲线论基本定理，曲面论基本定理AbstractBased on the related properties of surface, this paper describes concept and properties and application of surface theory in the relevant knowledge of the first basic form and the second basic form of the space surface in the differential geometry. Explaining the calculation of the first basic form and the second basic form by concrete surface and using the first basic form and the second basic form of surface,we can study the properties of surface. With analyzing the relationship between the coefficient matrix and its proof of the three basic forms of surface and application of the first basic form and second basic form, we can study the isometric corresponding of two curved surface. Then we will study by comparing function of the first basic form and the second basic form in basic theorems of surface theory with function of curvature and flexible rate in basic theorems of curve theory.Finally, we will have a further understanding for the two basic forms of surface and its application.Keywords：the first basic form surface,、the second basic form , coefficient matrix, isometric corresponding, curve theory basic theorems, surface theory basic theorems前言曲面第一基本形式和曲面第二基本形式在微分几何中占有非常重要的地位，对于曲面的第一基本形式而言，在曲面上与度量性质有关的量都能借助于去曲面的第一基本形式进行计算，第一基本形式是曲面参数的二次微分形式，而曲面的参数容许做一定的变换，第一基本形式在等距变换下不变，第一基本形式确定的曲面的性质或量在等距变换下不变的。如弧长、面积、曲线的交角。就是说第一基本形式刻画了曲面本身的内在性质，这些性质与曲面在空间的位置，与曲面的弯曲没有关系。；对于曲面的第二基本形式而言，近似的等于曲面与切平面的有向距离的两倍，因而它刻画了曲面离开切平面的程度。即刻画了曲面在空间中的弯曲性。利用第一基本形式和第二基本形式可以做一些相关计算，研究两曲面的等距对应，并和曲率，挠率进行类比等。一曲面的第一基本形式1.定义给出曲面:上的曲线:,或。对于曲线有或，若以表示曲面上曲线的弧长，则有。令，则 ，这个二次形式决定曲面上曲线的弧长，曲线上两点之间的弧长是 是关于的二次形式，称为的第一基本形式，用表示，即=，它的系数叫做曲面的第一类基本量。说明 因为 ， 因此第一基本形式是正定的。求第一基本形式举例例1 求曲面的第一基本形式。 解 表示的曲面即，其中，所以第一基本形式是。例2 求球面 的第一基本形式。解 同理可知 例3 求正螺面的第一基本形式。 解 同理可知 。2.曲面上两方向的夹角曲面上一点的切方向称为曲面上的方向，它能表示为，其中是过点的坐标曲线的切向量。任给一组，由上式就确定曲面的一个方向，以后常用或或表示曲面上的一个方向。两方向的夹角：给出两个方向与我们把向量与间的夹角称为方向与 间的角。与总代表过的两条曲线的方向，所以这两方向的夹角也叫做两曲线的夹角。设与的夹角为，则， ， 故例 已知曲面的第一基本形式为，参数曲线的二等分角轨线的方向向量是,求曲线曲线分别与参数曲线的二等分角轨线的夹角余弦。解：设正则参数曲面的参数方程是，已知它的第一基本形式是在基底下，曲线的方向向量是，曲线的方向向量是参数曲线的二等分角轨线的方向向量是则有曲线参数曲线的二等分角轨线的夹角余弦是曲线与参数曲线的二等分角轨线的夹角余弦是二曲面的第二基本形式上面讨论的是曲面的第一基本形式。第一基本形式在等距变换下不变，第一基本形式确定的曲面的性质或量在等距变换下不变的。如弧长、面积、曲线的交角。就是说第一基本形式刻画了曲面本身的内在性质，这些性质与曲面在空间的位置，与曲面的弯曲没有关系。为了研究空间曲面的弯曲性，下面介绍曲面的第二基本形式。SPQ(C)设类曲面的方程是，即有二阶连续偏导矢。现在固定曲面上一点,设曲面在点的切平面是。下面先介绍：曲面上的点到其邻近点的切平面的有向距离。设在过点的曲线：,或上，为的自然参数。与的自然参数分别为 。则,其中。设为曲面在点的单位法向量，由作平面的垂线，垂足为.如果=, 则称为为从平面到曲面的有向距离（ 与同向时,， 与反向时，）。因为，所以有 。当时，的主要部分是。1.定义由于，又因为，故引进记号： 则 称为曲面的第二基本形式 ，它的系数 叫做曲面的第二类基本量。 说明（1）由定义曲面的第二基本形式近似的等于曲面与切平面的有向距离的两倍，因而它刻画了曲面离开切平面的程度。即刻画了曲面在空间中的弯曲性。 （2）第二基本形式不一定是正定的。即可正可负，曲面向正侧弯曲时为正，曲面向反侧弯曲时为负。所以第二基本形式的符号刻画了曲面的弯曲（相对于）的方向。（3） 因为，所以也有。（4）第二基本量的计算可按下式：， （5）第二基本形式、第二类基本量的另一表示形式， 证明 因为,微分得：，所以。因为, 对分别微分得：， ，所以。因为，对分别微分得：，所以，所以。求第二基本形式举例例1 计算球面的第二基本形式。解 由第一基本形式知又 。 。例2 计算的第二基本形式.解 曲面的向量方程 记， 则所以第一基本形式。 ，所以三.利用第一基本形式和第二基本形式来研究两曲面的等距对应设曲面的方程为 = ，那未上的曲线在空间 中的方程就是 = 。（）对于曲线有或者，若以表示曲面上曲线的弧长则，令 则有 这个二次形式可以决定曲面上曲线的弧长，设曲线上两点，则弧长为：是关于微分，的一个二次形式，称为曲面的第一基本形式，用表示：，它的系数，称为曲面的第一基本量。设有两个曲面, 它们的方程分别为：，把的点与 上的点之间建立一个对应关系，设此对应关系可用下式来表示： ，且则说明上式确定一个从 的映射。若此映射使两曲面上对应曲线的弧长相等, 即对于任何成立：则称这映射为等距映射, 称这两个曲面是等距对应的。定理 两个曲面可建立等距对应的充要条件是选取适当的参数后, 它们有相同的第一基本形式。在给出两个曲面的方程后, 证明两个曲面成等距对应时, 先给一个等距对应式, 这样只需根据两曲面的方程, 求出其第一基本形式, 然后通过等距变换式, 验证此两个曲面有相同的第一基本形式。例题：证明螺线曲面与旋转曲面成等距对应：证明 经过计算可知, 螺线曲面的第一基本形式： 旋转曲面的第一基本形式： 将关系式带入的第一基本形式，使.故由定理知与成等距对应，显然就是其等距对应式。如果不给出等距对应式, 要证明上例中的两曲面成等距对应, 则要通过求两个曲面的第一基本量并通过与的对应关系式：得一偏微分方程组求出这个偏微分方程的一个特解，故这就是所要求的等距对应式。四. 曲面的三个基本形式的系数矩阵之间的关系及其证明曲面的第一基本形式和第二基本形式定义由上已经知道，现在来看曲面的第三基本形式。1.曲面的第三基本形式如果用表示单位球面上的第一基本形式，那么它通过映射拉回到曲面上得到的二次微分形式称为曲面的第三基本形式，记为则有 其中 ， ， 2.定理及其证明为了便于书写，我们先作一下记号：设中正则曲面的方程为，因为： ， ， ， ， 则曲面的第一、第二、第三类基本量分别为： ， ， ， 曲面的第一、第二、第三基本形式分别为： ， ，且它们的系数矩阵分别为，显然均为对称矩阵。由于，则。定理1 中曲面的3个基本形式的系数矩阵满足关系式 （1）证明 由Lagrange恒等式，二重矢积展开式，混合积轮换律及，得： 定理2 中曲面的3个基本形式，和曲率,平均曲率之间满足关系式 -+ (2) 证明 考虑矩阵，由于 因为矩阵的特征多项式，其中为单位矩阵，且 ，（的迹） 分别为曲面的曲率和平均曲率。 据定理，为其特征多项式的根，即,所以，亦即，所以，即 -+ .五.曲线论中的曲率，挠率与曲面论中第一基本形式，第二基本形式类比1.曲率和挠率的概念 前面已经列出了第一基本形式和第二基本形式的概念下面列出曲率和挠率的概念。（1）曲率定义 设P(S)是类曲线上一点，S为自然参数，为其附近一点，为在两点处的单位切向量，设间的夹角为，我们称为曲线在P点的曲率，记为k(s)，即k(s)= 。这表明曲线在一点处的曲率等于此点与邻近点的切线向量之间的夹角关于弧长的变化率,也就是曲线在该点附近切线方向改变的程度, 它反映了曲线的弯曲程度. 如果曲线在某点处的曲率愈大, 表示曲线在该点附近切线方向改变的愈快, 因此曲线在该点的弯曲程度愈大。（2）挠率空间曲线在一点的扭曲与曲线在这点的密切平面密切相关，如果曲线不扭曲，即为平面曲线，则其所有点的密切平面是同一个，即曲线所在平面，其副法向量是常矢：如果曲线不是平面曲线，曲线扭曲得越厉害，则曲线离开它的密切平面越快，从一个点到另一个点副法向量的方向改变得越快。因此类似于弯曲性的刻画，我们可用副法向量导矢的模来刻画曲线的扭曲程度。但曲线的扭转比弯曲情况来得复杂，弯曲没有方向，而扭曲分左旋、右旋，为刻画扭曲形式，我们给前面加上。为此先证明与的关系：证：因为， 。于是我们得挠率的定义如下：曲线(c)在P点的挠率记为，定义为 ： 由挠率的定义知,因此挠率的绝对值表示曲线的副法向量关于弧长的变化率，换句话说，挠率的绝对值刻画了曲线的密切平面的变化程度。所以曲线的挠率就绝对值而言其几何意义是反映了曲线离开密切平面的快慢，即曲线的扭曲程度。2类比定理我们知道正则参数曲线的弧长参数，曲率和挠率都是与曲线的保持定向的容许参数变换无关的。曲率和挠率是通过曲线的参数方程关于弧长参数的各阶导数作适当的代数运（点乘和叉乘）得到的，它们同样不依赖曲线上参数的选择。与之相对比正则参数曲面的第一基本形式与曲面参数无关，第二基本形式在保持定向的允许参数变换下也是不变的。此外，曲线在不计空间位置的情况下是由它的曲率和挠率唯一确定的。与之相对比的是，曲面在不计空间位置的情况下是由它的第一基本形式和第二基本形式唯一确定的。如下为三对类比的定理：定理1（唯一性定理） 设和是中两条以弧长为参数的正则参数曲线，如果它们的曲率处处不为零，并且它们的曲率和挠率分别相等，则有中的一个刚体运动，它把曲线变成曲线。定理1*（唯一性定理） 设，是定义在同一个参数区域上的两个正则参数曲面。若在每一点，曲面和都有相同的第一基本形式和第二基本形式，则曲面和在空间的一个刚体运动下是彼此重合的。定理2 设和是中两条正则参数曲线，它们的曲率处处不为零。如果存在三次以上的连续可微函数，,使得这两条曲线的弧长函数，曲率函数和挠率函数之间有关系式定理3（存在性定理） 设，是在区间上任意给定的连续可微函数，并且大于0，则在空间存在正则参数曲线，以为弧长参数，以给定的函数为它的曲率和挠率，且这样的曲线在空间中是完全确定的，其差异至多为曲线的位置不同。定理3*（存在性定理） 如果由，给出的两个二次形式满足方程则在任意一点必有它的一个领域,以及在空间中定义该领域上的一个正则参数曲面，,使得它的第一基本形式和第二基本形式分别是和，并且在中任意两块满足以上条件的曲面必定能够在的一个刚体运动下彼此重合。综上，通过曲线论基本定理和曲面论基本定理我们可以发现，曲线的曲率、挠率在曲线论中的作用与曲面的第一基本形式、第二基本形式在曲面中的作用有相似的性质，通过对比有助于我们更好的理解和掌握它们的相关性质。总结与体会2011年4月，我开始了我的毕业论文工作，时至今日，论文基本完成。从最初的茫然，到慢慢的进入状态，再到对思路逐渐的清晰，整个写作过程难以用语言来表达。历经了个几月的奋战，紧张而又充实的毕业设计终于落下了帷幕。回想这段日子的经历和感受，我感慨万千，在这次毕业设计的过程中，我拥有了无数难忘的回忆和收获。 我的论文题目是曲面的两个基本形式及其应用，我当时便立刻着手资料的收集工作中，当时面对浩瀚的书海真是有些茫然，不知如何下手。我将这一困难告诉了导师，在导师细心的指导下，终于使我对自己现在的工作方向和方法有了掌握。 在搜集资料的过程中，我认真准备了一个笔记本。我在学校图书馆搜集资料，还在网上查找各类相关资料，将这些宝贵的资料全部记在笔记本上，尽量使我的资料完整、精确、数量多，这有利于论文的撰写。然后我将收集到的资料仔细整理分类，及时拿给导师进行沟通。 4月初，资料已经查找完毕了，我开始着手论文的写作。在写作过程中遇到困难我就及时和导师联系，并和同学互相交流。在大家的帮助下，困难一个一个解决掉，论文也慢慢成型。 4月底，论文的文字叙述已经完成。 当我终于完成了所有打字、排版、校对的任务后整个人都很累，但同时看着电脑荧屏上的毕业设计稿件我的心里是甜的，我觉得这一切都值了。这次毕业论文的制作过程是我的一次再学习，再提高的过程。我不会忘记这难忘的几个月的时间。毕业论文的制作给了我难忘的回忆。在我徜徉书海查找资料的日子里，面对无数书本的罗列，最难忘的是每次找到资料时的激动和兴奋；为了论文我曾赶稿到深夜，但看着亲手打出的一字一句，心里满满的只有喜悦毫无疲惫。这段旅程看似荆棘密布，实则蕴藏着无尽的宝藏。我从资料的收集中，让我对我所学过的知识有所巩固和提高。在整个过程中，我学到了新知识，增长了见识。在今后的日子里，我仍然要不断地充实自己。 脚踏实地，认真严谨，实事求是的学习态度，不怕困难、坚持不懈、吃苦耐劳的精神是我在这次设计中最大的收益。我想这是一次意志的磨练，是对我实际能力的一次提升，也会对我未来的学习和工作有很大的帮助。致谢词在这次毕业设计中使我们的同学关系更进一步了，同学之间互相帮助，有什么不懂的大家在一起商量，听听不同的看法对我们更好的理解知识，所以在这里非常感谢帮助我的同学。 在此更要感谢我的指导老师，是你的细心指导和关怀，使我能够顺利的完成毕业论文。在我的学业和论文的研究工作中无不倾注着老师辛勤的汗水和心血。老师的严谨治学态度、渊博的知识、无私的奉献精神使我深受启迪。从尊敬的指导老师身上，我不仅学到了扎实、宽广的专业知识，也学到了做人的道理。在此我要向我的导师致以最衷心的感谢和深深的敬意。参考文献1 陈维桓著.微分几何.北京：北京大学出版社，2006,62 陈省身，陈维桓著.微分几何讲义(第二版) .北京：北京大学出版社,20013 彭家贵，陈卿著.微分几何.高等教育出版社，2002,1（7）4 丁同仁，李承治著.常微分方程教程.北京：高等教育出版社，19915 徐天长.谈两曲面的等距对应.安庆师范学院学报，2010，4，J6 傅朝金，何汉林.曲面的三个基本形式的系数矩阵之间关系的证明及其应用7周建伟著，微分几何，高等教育出版社，2008,18（4）8梅向明，黄敬之著.微分几何（第四版），高等教育出版社，2008,20（5）9梅向明，黄汇淳著.微分几何学习指导与习题选解，高等教育出版社，2003,19（12）