体操队最佳阵容排列分析.doc

体操队组队问题的分析摘 要本文对女子体操队组队问题进行了深入探讨,全文整体采用优化思想并针对不同问题，分别运用整数规划模型及概率统计理论建立出相应模型，结合、等软件编程求解，得出在不同情况下的最佳阵容的安排方式。针对问题一，根据已知条件给出的最悲观情况下各运动员的得分，建立目标函数使得总得分尽可能高，经分析，结合题中运动员的参赛规则得到约束条件，采用整数规划建立模型，运用软件对模型进行求解，得出符合题意的最佳出场阵容见详表4.1.3，总的得分为212.3分针对问题二，除各参赛选手各项得分由最低值改为均值外其余思路同第一问相似，由此建立出目标函数，运用求解，得出运动员在得分取均值的情况下的最佳出场阵容见表4.2.3.此时，该队的总得分为：225.1分。针对问题三，运用概率统计理论和正态分布知识将问题简化典型求解最优解的模型，通过计算得出方差和期望，并将其带入标准正态规划函数中即可得到目标函数，由于约束条件和前两问相似，故运用软件将之前程序目标函数修改后即可求出本问最佳阵容见表4.4.1和团队总得分224.6分，并得出此阵容得冠概率，以及该阵容有90%概率可以战胜的对手最高总分不超过223.3301分。关键词：最佳阵容 规划 概率统计 正态分布一、问题的提出1.1问题内容一场由四个项目（高低杠、平衡木、跳马、自由体操）组成的女子体操团体赛中，赛程中规定：每个队至多允许10名运动员参赛，每一个项目由6名选手参加。每个代表队的总分是参赛选手所得总分之和，总分最多的代表队为优胜者。此外，还规定每个运动员只能参加全能比赛与单项比赛这两类比赛中的一类，参加单项比赛的每个运动员至多只能参加三个单项。每个队应有4人参加全能比赛，其余运动员参加单项比赛。某队的教练已经对其10名运动员参加各个项目的成绩进行了测试，（见附表1），她们得到这些成绩的相应概率也由统计得出。试建立模型为教练提供方法：(1)选手的各项得分按最悲观算，排出一个出场阵容，使该队团体总分尽可能高；(2)选手的各单项得分按均值算，设计出场阵容，使该队团体总分尽可能高；(3)如果本次夺冠的团体总分估计为不少于236.2分，该队为了夺冠应排出怎样的阵容？其夺冠的前景如何？即期望值又如何？它有90%的把握战胜怎样水平的对手？1.2问题的意义本文通过调查体操世界杯背景资料,其作为国际体操联合会（FIG）的A级赛事，体操世界杯是仅次于奥运会和世锦赛的体操界顶级赛事之一，被列入正式的国际体联赛事年鉴。2004年雅典，在代表团超额完成任务的情况下，带着7个夺金点出征的中国体操队成了最失败的团队。归国后，中国体操队从负开始，励精图治，从点滴抓起，小到每个动作和生活细节，大到教练班子分工的调整，以及分析每个运动员的战场发挥情况，全面布置调节队员的出场阵容。直到2006年10月，在丹麦阿胡斯，从负数起步的中国体操终于以8枚金牌震惊了世界！两年中国体操从负到“震” 胜在阵容新人用实力正中国体操队是一个优秀的战斗集体。这并不是空话，但是如果没有审时度势，没有安排好阵容,那么整个体操队的发挥甚至夺冠将大受影响，因此，掌握每个选手的得分资料，排出合理的出场阵容对团队的成绩至关重要。二、问题分析本文围绕体操队团体赛展开讨论，所要打到的目标是排出题目中各不同前提下的最佳出场阵容。容易得出该模型的目标函数是团体总分最高，而约束条件则由比赛规则确定。如“每队至多10名运动员参赛，每项最多6名运动员，每队应有四人参加全能，其余参加单项比赛，参加单项比赛的每个运动员至多参加三个单项”。当要求团体总分最高时，应派出赛程允许最多的运动员人数，本题中最多为10名，其中四名是全能运动员，此时每项队员数相应的达到最多，即6名。可见，每单项除了四名全能运动员外，还有两名非全能运动员。简单的赛程规则图如图2.1运动员4个人参加全能赛其余参加单项赛每人至多参加3项总得分图2.1 比赛规则图三、模型假设1.每个运动员，每场比赛都是相互独立的，2.参加全能赛的运动员，不能再参加单项赛，3.每个参加多项比赛的选手，他在参加前一项比赛对后一项比赛没有影响，4.运动员在比赛时不发生特殊情况都能发挥出平常水平。5.对手得分视为一切确定的；6.运动员在比赛中获得的分数的概率严格按照题目所给，且所得分数也只能为题目给四种中的一种；7.团队总得分大于236.2就必定会夺冠。四、模型的建立与求解4.1模型准备在概率论中，随机变量两两相互独立,若那么：引入期望：引入方差:引入正态分布公式：标准正态曲线N（0，1）是一种特殊的正态分布曲线，以及标准正态总体在任一区间(a，b)内取值概率.标准正态分布是一种特殊的正态分布，标准正态分布的和为0和1，通常用（或）表示服从标准正态分布的变量，记为。一般正态分布与标准正态分布的转化：由于一般的正态总体其图像不一定关于y轴对称，对于任一正态总体，其取值小于x的概 。只要会用它求正态总体在某个特定区间的概率即可。4.2 针对问题一4.2.1 建立变量模型由于问题要求当每个选手的各单项得分以最悲观估计的前提之下，求出最佳出场阵容，所以实质上是要求出以什么样的阵容出场，该团队总的得分最高。首先提取出每个运动员在最悲观的状态下的估算成绩，详见表4.2.1表 4.2.1 最悲观状态下队员的得分成绩估算队员项目12345678910高低杠8.49.38.48.18.49.49.58.48.49.0平衡木8.48.48.18.79.08.78.48.88.48.1跳马9.18.48.49.08.38.58.38.78.48.2自由体操8.78.99.58.49.48.48.48.29.39.1根据上面对本问的分析，建立模型如下：，代表十名运动员的编号；，依次代表运动项目高低杠、平衡木、跳马、自由体操。本模型中设变量和来辅助建立模型另外，为了方便模型的求解，本模型需要引入第二个整型变量为了将其取值范围定在范围内，不妨将其做有效处理，并取整后，可表示为每一个项目可以有名选手参加，最优情况下满人，则：每对有四个人参加全能赛，则：目标函数是团队的总得分最高，列出式子如下：其中表示第名运动员参加第个项目的得分。设在悲观情况下第第名运动员参加第个项目的得分为，那么由已知条件，经上述及分析过程可知，在最悲观状况下，本文中建立整数规划模型如下：4.2.2 模型的求解由编程(见附录1)，得出在最悲观情况下，该队的出场阵容及各运动员得分情况见表见附表2表 4.2.2 最悲观情况下各队员出场及得分情况队员项目12345678910高低杠9.38.49.49.58.49.0平衡木8.48.79.08.78.88.4跳马9.18.49.08.38.58.4自由体操8.99.59.48.49.39.1根据上表，容易得知在最悲观情况下,参见全能项目的选手为2、5、6、9号运动员，其余选手参加单项赛。在此种情况下，可以使得在各个选手在得分最悲观状态下的总得分最高。表 4.2.3 最佳出场阵容参加项目参加第一项的选手参加第二项的选手参加第三项的选手参加第四项的选手参加全能项的选手参加选手7、104、81、43、102、5、6、94.3 针对问题二本问要求在每个选手的个单项得分按均值计算时，设计最优出场阵容，使得总得分最高。所以本问的建模思想和第一问一样，因为要是总的得分最高，所以必须每项都有6名选手参加，4个人参加全能赛。在确定目标函数的情况下，列出约束条件，具体模型如下。4.3.1 建立变量模型由于这问的模型和第一问一样,只是第名运动员参加第项运动得分为均值,所以设为第名运动员参加第项运动得分均值均值情况下团体总分为：约束条件为：每个选手的平均得分情况如下表4.3.1（即的值）：表 4.3.1 各队员单项的均值得分情况运动员项目12345678910高低杠9.259.609.009.109.259.709.809.009.259.40平衡木9.009.009.109.109.409.109.009.809.209.10跳马9.509.009.259.508.908.908.909.109.009.20自由体操9.109.309.809.009.709.259.209.309.709.504.3.2模型的求解同第一问，由编程(见附录2)，只是代入的值改变，其他不变。得出在每个队员得分均值时，最佳出场阵容和各选手的具体个项目得分情况，安排结果见表4.3.2。表4.2.2各选手得分取均值时队员的出场及得分情况队员项目12345678910高低杠9.69.09.79.89.09.4平衡木9.09.19.49.89.29.1跳马9.59.09.09.59.19.2自由体操9.39.89.79.39.79.5得出在各队员得分按均值计算的情况下，最佳出场阵容见表4.3.3.表4.3.3得分按均值计算的最佳出场阵容参加项目参加第一项的选手参加第二项的选手参加第三项的选手参加第四项的选手参加全能赛的选手队员6、75、91、45、92、3、8、10该团体的总得分为：225.1分。4.4 针对第三问4.4.1 模型的建立首先分析，若按以往的资料及近期的各种信息，本次夺冠的团体总分不少于236.2分，因为如果最多24个项目且全参加总分才240分，所以本次要夺冠就必须参加全部的24个项目。要满足条件的出场阵容且夺冠，则需要团体总分不少于236.2分的概率为最大，则此问题可转化为求解：max 其中表示第名运动员参加第个项目的得分，表示第名运动员是否参加第个项目设团体总得分为：则得分期望为：其中为第名运动员参加第项运动得分均值。得分方差为：其中为第名运动员参加第项运动得分方差（见表4.4.1）经过对问题转化发现此问题服从正态分布，其中将非标准正态分布转化为标准正态分布其中，由于得分概率服从正态分布，故该队的总分不少于236.2分的概率为：对于服从标准正态分布的随即变量，当时，其得分密度函数为单增函数，故求的最大值可以转化为求的最小值，即目标函数的最小值。则满足条件的优化模型为：表4.4.1 参加的运动员的每项得分的方差运动员项目12345678910高低杠0.14250.01800.14400.12800.14250.01800.01800.14400.14250.0380平衡木0.14400.08000.12800.08800.03800.08800.14400.08400.15200.1280跳马0.03800.14400.14250.03800.07200.03200.07200.08800.14400.1280自由体操0.08800.03800.01800.14400.01800.14250.15200.15800.03200.03804.4.2 模型的求解同前两问一样，用lingo编程（见附录3）求解得：表 4.4.2 夺冠的出场阵容参加项目参加第一项的选手参加第二项的选手参加第三项的选手参加第四项的选手参加全能赛的选手参加队员6、71、81、46、83、5、9、10此时解得得分期望=224.6，因为解得夺冠的概率约等于0，并且此概率为满足条件派出阵容的最大值，所以以此阵容出场，夺冠概率几乎为零，几乎不能夺冠。通过Matlab画出得分的正态分布图像，可以验证结果。图2.满足条件的得分正态分布图4.4.3 有90%的把握战胜怎样水平的对手若要有90%的把握战胜对手，则应该有服从正态分布，所以有查询正态分布表可得经过变形化简整理得：只需要求出后面的最大值，即可求出的值。所求最优模型为：max 运用lingo编程（见附录4）求解最大值为223.3301，从而得到此时最佳出场阵容：表 4.4.2 最佳出场阵容参加项目参加第一项的选手参加第二项的选手参加第三项的选手参加第四项的选手参加全能赛的选手参加队员2、75、81、42、53、6、9、10综上可得出90%把握能战胜得分不大于223.3301分的对手。通过Matlab画出得分的正态分布图像，可以验证结果。图3.满足条件的得分正态分布图五、结果分析的与检验结果分析：针对前两问，在给定各个参赛选手的各项得分（题目中所给为四项）一定的情况下，其概率也相应确定，由此知道各选手参赛各项得分在最悲观或均值情况下得分一定，概率也一定，所以在满足目标函数在团队总得分最大的情况下，由比赛规则列出约束条件，用lingo软件编程解得结果在误差允许范围之内满足题目要求。针对第三问用到标准正态分布函数求解概率，由于解出的概率值非常的小，讨论夺冠概率就没有多大的意义，所以我们近似认为它的概率就为0，几乎不可能夺冠。六、模型评价与推广6.1模型的优点：本模型综合考虑各个队员的得分情况及概率，根据问题的限制条件，给出合理的整数规划的数学模型。该模型将复杂的阵容选择问题，从排列组合的大量数据中跳出，运用整数规划，将问题简化成简单的最优化问题。同时运用概率论将估算问题与最优化模型想结合，计算简便，思路清晰，易于理解。不仅发挥了各队员的最大价值，还对夺冠前景和得分前景进行了合理的估计。不过编程的思想比较复杂，需要考虑的方面比较多，程序在Matlab中运行的时间比较长，时效性不高。毕竟Matlab软件不是解决规划问题的最好软件6.2模型的缺点本模型在建立时，并未考虑到出场运动员得分的风险性（即得分概率）问题。但是实际比赛中，我们选择出场阵容时不仅要考虑高总分的问题，还要考虑运动员比赛得分的稳定性问题，忽略了人的主观因素，因为人的正常水平的发挥并不是一定的，他可能随各种不同情况而发生相应的变化，特别对于参加多项比赛的选手可能参加完一场比赛对下一场比赛造成一定的影响，从而整体水平可能下降。6.3模型的推广该模型不仅能够很好的解决运动员出场最优阵容的安排问题，还能推广到生活中许多方面.例如股票的投资,生产人员的安排，生活中我们需要不断最求最优的选择组合，该模型能方便解决许多生活中对于组合排列的选择问题。参考文献1峁诗松, 程依明, 濮晓龙, 概率论与数理统计教程 高等教育出版社 2003年2数学模型, 姜启源, 谢金星 叶俊, 高等教育出版社，2003年3工程数学学报编辑委员会第22卷7期, 20054袁新生, 邵大宏 LINGO和Excel在数学建模中的应用 科学出版社 2007年附录附表：运动员各项目得分及概率分布表运动员 项目 1  2  3  4  5  高低杠  8.40.159.20.259.40.19.50.5 9.30.19.50.19.60.69.80.28.40.18.80.29.00.6100.18.10.19.10.59.30.39.50.18.40.159.50.59.20.259.40.1 平衡木  8.40.18.80.29.00.6100.18.40.159.00.59.20.259.40.18.10.19.10.59.30.39.50.18.70.18.90.29.10.69.90.19.00.19.20.19.40.69.70.2 跳马  9.10.19.30.19.50.69.80.28.40.18.80.29.00.6100.18.40.159.50.59.20.259.40.19.00.19.40.19.50.59.70.38.30.18.70.18.90.69.30.2 自由体操  8.70.18.90.29.10.69.90.18.90.19.10.19.30.69.60.29.50.19.70.19.80.6100.28.40.18.80.29.00.6100.19.40.19.60.19.70.69.90.2运动员 项目 6  7  8  9  10  高低杠  9.40.19.60.19.70.69.90.29.50.19.70.19.80.6100.28.40.18.80.29.00.610.0.18.40.159.50.59.20.259.40.19.00.19.20.19.40.69.70.2 平衡木  8.70.18.90.29.10.69.90.18.40.18.80.29.00.6100.18.80.059.20.059.80.5100.48.40.18.80.19.20.69.80.28.10.19.10.59.30.39.50.1 跳马  8.50.18.70.18.90.59.10.38.30.18.70.18.90.69.30.28.70.18.90.29.10.69.90.18.40.18.80.29.00.6100.18.20.19.20.59.40.39.60.1 自由体操  8.40.159.50.59.20.259.40.18.40.18.80.19.20.69.80.28.20.19.30.59.50.39.80.19.30.19.50.19.70.59.90.39.10.19.30.19.50.69.80.2 附录一model:sets:ten/1.10/:y;four/1.4/;score(ten,four):a,x;endsetsmax=sum(score(i,j):x(i,j)*a(i,j);for(score(i,j):x(i,j)>=y(i);sum(ten(i):y(i)=4;for(four(j):sum(ten(i):x(i,j)<=6);for(ten(i):sum(four(j):(1-y(i)*x(i,j)<=3);for(ten:bin(y);for(score:bin(x);M=sum(score(i,j):x(i,j)*a(i,j);data:a=8.4 8.4 9.1 8.7 9.3 8.4 8.4 8.9 8.4 8.1 8.4 9.58.1 8.7 9.0 8.4 8.4 9.0 8.3 9.4 9.4 8.7 8.5 8.4 9.5 8.4 8.3 8.4 8.4 8.8 8.7 8.2 8.4 8.4 8.4 9.3 9.0 8.1 8.2 9.1;enddataend附录二model:sets:ten/1.10/:y;four/1.4/;score(ten,four):a,x;endsetsmax=sum(score(i,j):x(i,j)*a(i,j);for(score(i,j):x(i,j)>=y(i);sum(ten(i):y(i)=4;for(four(j):sum(ten(i):x(i,j)<=6);for(ten(i):sum(four(j):(1-y(i)*x(i,j)<=3);for(ten:bin(y);for(score:bin(x);M=sum(score(i,j):x(i,j)*a(i,j);data:a= 9.2500 9.0000 9.5000 9.1000 9.6000 9.0000 9.0000 9.3000 9.0000 9.1000 9.2500 9.8000 9.1000 9.1000 9.5000 9.0000 9.2500 9.4000 8.9000 9.7000 9.7000 9.1000 8.9000 9.2500 9.8000 9.0000 8.9000 9.2000 9.0000 9.8000 9.1000 9.3000 9.2500 9.2000 9.0000 9.7000 9.4000 9.1000 9.2000 9.5000;enddataend附录三model:sets:ten/1.10/:y;four/1.4/;score(ten,four):a,x;endsetsobjmax=sum(score(i,j):x(i,j)*a(i,j);for(score(i,j):x(i,j)>=y(i);for(four(j):sum(ten(i):x(i,j)<=6);sum(ten(i):y(i)=4;for(ten(i):(sum(four(j):x(i,j)*(1-y(i)<=3);for(ten:bin(y);for(score:bin(x);M=sum(score(i,j):x(i,j)*a(i,j);data:a=9.5 10 9.8 9.99.8 9.4 10 9.6 10 9.5 9.5 10 9.5 9.9 9.7 109.5 9.7 9.3 9.99.9 9.9 9.1 9.510 10 9.3 9.810 10 9.9 9.89.5 9.8 10 9.99.7 9.5 9.6 9.8;enddataendmodel:sets:ten/1.10/:y;four/1.4/;score(ten,four):a,x,D;endsetsobjmin=(236.2-sum(score(i,j):x(i,j)*a(i,j)/sum(score(i,j):x(i,j)*D(i,j)0.5;for(score(i,j):x(i,j)>=y(i);sum(ten(i):y(i)=4;for(four(j):sum(ten(i):x(i,j)<=6);for(ten(i):sum(four(j):(1-y(i)*x(i,j)<=3);for(ten:bin(y);for(score:bin(x);M=(236.2-sum(score(i,j):x(i,j)*a(i,j)/sum(score(i,j):x(i,j)*D(i,j)0.5;D1=(sum(score:x*D)0.5;data:a= 9.2500 9.0000 9.5000 9.1000 9.6000 9.0000 9.0000 9.3000 9.0000 9.1000 9.2500 9.8000 9.1000 9.1000 9.5000 9.0000 9.2500 9.4000 8.9000 9.7000 9.7000 9.1000 8.9000 9.2500 9.8000 9.0000 8.9000 9.2000 9.0000 9.8000 9.1000 9.3000 9.2500 9.2000 9.0000 9.7000 9.4000 9.1000 9.2000 9.5000;D= 0.1420 0.1440 0.0380 0.0880 0.0180 0.0800 0.1440 0.0380 0.1440 0.1280 0.1425 0.0180 0.1280 0.0880 0.0380 0.1440 0.1425 0.0380 0.0720 0.0180 0.0180 0.0880 0.0320 0.1425 0.0180 0.1440 0.0720 0.1520 0.1440 0.0840 0.0880 0.1580 0.1425 0.1520 0.1440 0.0320 0.0380 0.1280 0.1280 0.0380;enddataendmodel:sets:ten/1.10/:y;four/1.4/;score(ten,four):a,x,D;endsetsmax=sum(score(i,j):x(i,j)*a(i,j)-1.28*(sum(score(i,j):x(i,j)*D(i,j)0.5);for(score(i,j):x(i,j)>=y(i);sum(ten:y)=4;for(four(j):sum(ten(i):x(i,j)<=6);for(ten(i):sum(four(j):(1-y(i)*x(i,j)<=3);for(ten:bin(y);for(score:bin(x);M=sum(score(i,j):x(i,j)*a(i,j)-1.28*(sum(score(i,j):x(i,j)*D(i,j)0.5);data: a=9.2500 9.0000 9.5000 9.1000 9.6000 9.0000 9.0000 9.3000 9.0000 9.1000 9.2500 9.8000 9.1000 9.1000 9.5000 9.0000 9.2500 9.4000 8.9000 9.7000 9.7000 9.1000 8.9000 9.2500 9.8000 9.0000 8.9000 9.2000 9.0000 9.8000 9.1000 9.3000 9.2500 9.2000 9.0000 9.7000 9.4000 9.1000 9.2000 9.5000;D= 0.1425 0.1440 0.0380 0.0880 0.0180 0.0800 0.1440 0.0380 0.1440 0.1280 0.1425 0.0180 0.1280 0.0880 0.0380 0.1440 0.1425 0.0380 0.0720 0.0180 0.0180 0.0880 0.0320 0.1425 0.0180 0.1440 0.0720 0.1520 0.1440 0.0840 0.0880 0.1580 0.1425 0.1520 0.1440 0.0320 0.0380 0.1280 0.1280 0.0380;enddata