复化辛普森公式应用.doc

在公路中线坐标计算中，我们通常采用切线支距公式来计算曲线上各点的坐标。但当在不同的曲线上计算时就需用不同的计算公式，这为计算也带来不便。在设有缓和曲线的圆曲线半径较小或是卵形曲线上的坐标计算时，如公式选用不当就会出现较大计算误差，即便是能对切线支距公式进行多项展开，也会增加计算的难度。而用复化辛卜生公式不仅能解决不同曲线线型或直线上的坐标计算问题，而且用复化辛卜生公式计算完全是可逆的（即：可顺前进方向也可逆向计算），尤其在计算第二缓和曲线和卵形曲线时显得尤为方便。用辛卜生公式计算坐标的精度可由人为或程序自行判断，其计算结果完全能保证坐标计算的精度要求。因此，可以说复化辛卜生公式是一个计算公路中线坐标的万能公式。下面本人就该公式在公路中线坐标计算中的具体应用进行实例解析。一、复化辛卜生公式式中：H=（ZiZA）/n(公式2)(公式3)Zi 待求点桩号ZA曲线元起点桩号ZB曲线元终点桩号A曲线元起点曲率B曲线元终点曲率a i曲线上任意一点处切线方位角的计算方法有以下三种方法：1利用公式（3）求得曲率代入公式（2）计算2利用曲线元上已知起点和终点曲率用内插法求得曲率代入公式（2）计算3利用切线角公式计算二、算例例：已知雅（安）攀（枝花）高速公路西昌西宁立交A匝道一卵形曲线（卵形曲线相关参数见图一，其计算略。），相关设计数据见下表。现用辛卜生公式来计算卵形曲线中桩坐标。图一已知相关设计数据见下表：主点桩号坐 标（m）切线方位角（）XY° ”ZHAK0+0909987.40310059.37892 17 26.2HY1AK0+1609968.98110125.341132 23 51.6YH1AK0+223.7159910.60310136.791205 24 33.6HY2AK0+271.8819880.43810100.904251 24 18.5YH2AK0+384.0329922.31610007.909337 04 54.2HZAK0+444.0329981.36310000.0000 00 00（一）由+271.881推算Zi=+223.715的坐标，n取2等分用公式(3)、公式（2）计算+247.798处曲线及方位角:+247.798=1÷75+(1÷50-1÷75)(247.798-271.881) ÷(223.715-271.881)=0.01666666666666667a+247.798=71°2418.5” +(0.016666667+1÷75)(247.798-271.881)×180÷÷2=50°4226.37”其它各点依次代入公式计算，结果见下表:曲率及切线方位角计算表桩号n等分点处曲线曲率n等分点处切线方位角° ”2n等分点处曲线曲率2n等分点处切线方位角° ”公式(3)计 算内插法计 算公式(3)计 算内插法计 算+271.8810.013333333=1/7571 24 18.5+259.8400.0150.01561 37 52.2+247.7980.0166666670.01666666750 42 26.4+235.7570.0183333330.018333333338 38 0.96+223.7150.02=1/5025 24 36切线方位角图示1将计算出的数据代入公式（1）求得+223.715中桩坐标如下：X=9880.438+(271.881-223.715)÷2÷6×(cos71°2418.5”+4(cos61°3752.22”+cos38°380.96”)+2cos50°4226.37”+ cos25°2435.99”)=9910.5975 (设计值：9910.603)Y=10100.904+(223.715-271.881)÷2÷6×(sin71°2418.5”+4(sin61°3752.22”+sin38°380.96”)+2sin50°4226.37”+ sin25°2435.99”)=10136.7945 (设计值：10136.791)（二）由+223.715推算Zi=+271.881的坐标，n取2等分用公式(3)计算+247.798处曲线及方位角:+247.798=1÷50+(1÷75-1÷50)(247.798-223.715)÷(271.881-223.715)=.01666666666666667a+247.798=205°2433.6”+ (0.016666667+1÷50)(247.798-223.715)×180÷÷2=230°4223.98”其它各点依次代入公式计算，结果见下表:曲率及切线方位角计算表桩号n等分点处曲线曲率n等分点处切线方位角° ”2n等分点处曲线曲率2n等分点处切线方位角° ”公式(3)计 算内插法计 算公式(3)计 算内插法计 算+223.7150.02=1/50205 24 33.6+235.7570.0183333330.0183333333218 37 58.6+247.7980.0166666660.016666666230 42 24.0+259.8400.0150.015241 37 49.8+271.8810.013333333=1/75251 24 18.5切线方位角图示2X=9910.603+(271.881-223.715)÷2÷6×(cos205°2433.6”+4(cos218°3758.87”+cos241°3749.83”)+2cos230°4223.98”+ cos251°2416.11”)=9880.4431 (设计值：9880.438)Y=10136.791+(271.881-223.715)÷2÷6×(sin205°2433.6”+4(sin218°3758.87”+sin241°3749.83”)+2sin230°4223.98”+ sin251°2416.11”)=10100.9008 (设计值：10100.904)由上可知，利用复化辛卜生公式计算路线坐标时可顺向或逆向计算。（三）前面正、反向的计算均是从卵形曲线的部分推算的，现在我们从卵形曲线所在完整缓和曲线的起点HZ=+368.213点来推算终点+223.715和中间点+271.881.ai=aA-90L2÷(RLS)公式(4)1.计算Zi=+223.715中桩坐标曲线元上等分点曲率及切线方位角计算表(n取4等分)桩 号n等分点处曲线曲率n等分点处切线方位角° ”2n等分点处曲线曲率2n等分点处切线方位角° ”公式(3)计 算内插法计 算公式(2)计算公式(4)计算公式(3)计 算内插法计 算公式(2)计算公式(4)计算+368.2130108 12 02.1+350.1510.00250.0025106 54 25.16106 54 25.22+332.0890.0050.005103 01 34.33103 01 34.58+314.0260.00750.007596 33 28.8396 33 28.64+295.9640.010.0187 30 09.9787 30 9.97+277.9020.01250.012575 51 37.2275 51 37.54+259.8400.0150.01561 37 50.5861 37 51.35+241.7770.01750.017544 48 48.2544 48 47.8+223.7150.02=1/5025 24 33.5825 24 33.58切线方位角图示3X=9890.293+(368.213-223.715)÷4÷6×(cos108°1202.1”+4(cos106°5425.22”+cos96°3328.64”+ cos75°5137.54”+ cos44°4847.8”)+2(cos103°0134.58”+ cos87°309.97” +cos61°3751.35”)+ cos25°2433.58”)=9910.5963 (设计值：9910.603)Y=10006.838+ (368.213-223.715)÷4÷6×(sin108°1202.1”+4(sin106°5425.22”+sin96°3328.64”+ sin75°5137.54”+ sin44°4847.8”)+2(sin103°0134.58”+ sin87°309.97” +sin61°3751.35”)+ sin25°2433.58”)=10136.7925 (设计值：10136.791)2.计算zi=+271.881中桩坐标曲线元上等分点曲率及切线方位角计算表(n取4等分)桩号n等分点处曲线曲率n等分点处切线方位角° ”2n等分点处曲线曲率2n等分点处切线方位角° ”内插法计 算公式(2)计算公式(4)计算内插法计 算公式(2)计算公式(4)计算+368.2130108 12 02.1+356.1720.001666667107 37 32.49+344.1300.003333333105 54 02.97+332.0890.005103 01 34.58+320.0470.00666666799 00 05.6+308.0060.00833333393 49 38.42+295.9640.0187 30 09.97+283.9230.01166666780 01 44.02+271.8810.013333333=1/7571 24 16.09+223.7150.02=1/5025 24 33.5825 24 33.58切线方位角图示4X=9890.293+(368.213-271.881)÷4÷6×(cos108°122.1”+4(cos107°3732.49”+cos103°0134.58”+ cos93°4938.42”+ cos80°0144.02”)+2(cos105°5402.97”+ cos99°0005.6” +cos87°3009.97”)+ cos71°2416.09”)=9880.4416 (设计值：9880.438)Y=10006.838+ (368.213-271.881)÷4÷6×(sin108°122.1”+4(sin107°3732.49”+sin103°0134.58”+ sin93°4938.42”+ sin80°0144.02”)+2(sin105°5402.97”+ sin99°0005.6” +sin87°3009.97”)+ sin71°2416.09”)=10100.9008 (设计值：10100.904)由此我们不难看出，利用复化辛卜生公式计算公路中桩坐标不仅顺逆向很方便，而且可从中任取一段进行计算。而计算中的关键是计算各等分点处的切线方位角，同时应分清n与2n等分点，注意不要混淆。对于n的取值，从上我们可以看出：对一般缓和曲线取2-3即可，对卵形曲线视推算基准点而言不少于4。其它如圆曲线、直线等中桩坐标的计算方法是一样的，在此就不一一简述。