【精品课件】材料力学 第十章压杆稳定问题 北航精品课件.ppt

材料力学（I II）北航 精品课件,北京航空航天大学单辉祖教授编著的材料力学(I)、材料力学()是教育部“高等教育面向21世纪教学内容和课程体系改革计划”的研究成果，是面向21世纪课程教材和教育部工科力学“九五”规划教材，也是普通高等教育“九五”国家级重点教材。该教材1999年初版，获2000年度中国高校科学技术奖（教材类）二等奖，教学改革成果获2001年度国家级教学成果二等奖、北京市教学成果一等奖；2004年修订出版第2版，修订版已列入“普通高等学校十五国家教材规划”、高教社“高等教育百门精品教材”。以材料力学I、II为主教材的材料力学立体化教学包已作为高等教育出版社的“名品”向全国推广。,本教材在妥善处理传统内容的继承和现代科技成果的引进以及知识的传授和能力、素质的培养方面，进行了积极探索，是一套面向21世纪的具有新内容、新体系，论述严谨，重视基础与工程应用(包括计算机的应用)，重视能力培养的新教材。教材体现了模块式的特点，通过对模块的选择与组合，可同时满足不同层次工科院校的不同专业对基础力学课程的教学要求。,Page,3,10-1 引言 10-2 两端铰支细长压杆的临界载荷10-3 两端非铰支细长压杆的临界载荷10-4 中小柔度杆的临界应力10-5 压杆稳定条件与合理设计,第十章 压杆稳定问题,Page,4,问题的提出:强度条件是否适用于下列拉压杆？,10-1 引 言,Page,5,右图：Tacoma 海峡大桥1940年破坏,Euler(1707-1783)首先从理论上研究了压杆稳定问题(Euler理论）,工程实例：石桥、钢桥与稳定问题,Page,6,刚体与变形体的稳定性,（1）刚性面上，刚性球受微干扰,a.合力FR指向平衡位置,稳定平衡,b.FR为0,c.FR偏离平衡位置,不稳定平衡,临界(随遇)平衡,Page,7,（2）刚杆弹簧系统受微干扰,稳定平衡,临界(随遇)平衡,不稳定平衡,临界载荷,刚杆弹簧系统稳定性演示,Page,8,（3）受压弹性杆受微干扰,F Fcr 稳定平衡,FFcr 临界状态,压杆在微弯位置不能平衡,要恢复直线,压杆微弯位置不能平衡,要继续弯曲,导致失稳,F Fcr 不稳定平衡,压杆在任意微弯位置均可保持平衡,临界载荷 Fcr:压杆直线形式的平衡由稳定转变为不稳定时的轴向压力值。,Page,9,桁架的稳定性,为什么桁架要尽可能设计成各杆受拉？,Page,10,其他形式的稳定问题,窄高梁弯曲,薄壁件受外压,薄壁圆筒轴向受压,Page,11,左侧为风速低于颤振速度，结构稳定；右侧为风速等于颤振速度，结构振动发散。,风洞颤振试验照片,Page,12,飞机颤振问题研究,Page,13,10-2 两端铰支细长压杆的临界载荷,两端铰支压杆 临界载荷实验测定,两端铰支压杆 失稳动画演示,Page,14,一、临界载荷的欧拉公式,两端受压简支杆,临界平衡状态,驱动与恢复内力矩,驱动内力矩,恢复内力矩,Page,15,压杆稳定微分方程,通解：,位移边界条件：,存在非零解的条件：,Page,16,设：n=1,临界载荷欧拉公式,注意到：,Page,17,临界载荷（欧拉临界载荷)与截面抗弯刚度成正比，与杆长的平方成反比。,二、临界载荷的欧拉公式的几点讨论,压杆在临界状态时的平衡是一种有条件的随遇平衡可有任意的微弯程度,但轴线形状一定。,两端简支压杆的挠曲轴,Page,18,高阶解的意义：,当n=2时，得到：,（中间支撑不受力）,欧拉公式的适用范围：,Q 压力沿杆件轴线,Q 小挠度(小变形),Q 线弹性,Q 理想均质材料,细长杆,Page,19,三、大挠度理论与实际压杆,精确压杆稳定微分方程,（求解大挠度问题）,理想压杆小挠度理论与大挠度理论及实验结果比较,大挠度理论,小挠度理论,实验结果,由大挠度理论，F=1.015Fcr,wmax=0.11l.,比较显示了理想压杆小挠度理论的实际意义。,Page,20,问题：结构在哪个平面内失稳？临界载荷等于多少？,解：临界载荷,例：确定图示压杆的临界载荷(hb),1.当两端的约束是球形铰。,2.当两端的约束是圆柱形铰，圆柱销轴线沿z轴。,Page,21,解：临界载荷,压杆在x-z平面内失稳,例：确定图示压杆的临界载荷(hb),1.当两端的约束是球形铰。,Page,22,例：确定图示压杆的临界载荷(hb),2.当两端的约束是圆柱形铰，圆柱销轴线沿z轴。,压杆在x-z平面内，,压杆在x-y平面内，,其中m=0.5 1，IyIx,需要判断，杆件总沿临界载荷最小的方向失稳,Page,23,习题10-3：AB刚性杆，BC弹性梁，弯曲刚度EI，求Fcr,解：考虑梁杆结构的临界平衡，B为刚性接头，在B处,由杆，B处内力偶,由梁，B处转角,Page,24,作业10-2b，4，5，8,Page,25,10-3 两端非铰支细长压杆的临界载荷,解析法确定临界载荷：铰支-固支压杆 类比法确定临界载荷 相当长度与长度因素 例题,Page,26,一、解析法确定临界载荷,根据微弯临界平衡状态建立微分方程,令,1.固支-自由压杆,Page,27,通解：,考虑位移边界条件：,存在非零解的条件：,Page,28,取n=1,得固支-自由压杆的临界载荷：,存在非零解的条件：,注意到：,得：,Page,29,2.一端固支一端铰支细长压杆的临界载荷,根据微弯临界平衡状态建立微分方程,通解：,Page,30,通解：,考虑位移边界条件：,Page,31,存在非零解的条件：,Page,32,思考讨论题：力学模型（有条件的随遇平衡）、数学方程（微分方程）、有条件的随遇平衡的数学表达（齐次方程的非零解）之间的对应关系。,Page,33,上一讲回顾,1弹性平衡稳定性的概念 受压杆件保持初始直线平衡状态的能力称为压杆的稳定性；弹性体保持初始平衡状态的能力称为弹性平衡的稳定性。,2压杆的临界载荷 使压杆直线形式的平衡由稳定转为不稳定的轴向压力值。,3、两端铰支细长压杆稳定微分方程,4、两端铰支细长压杆的临界载荷,5、两端非铰支细长压杆的临界载荷解析法,力学模型数学方程齐次方程的非零解系数行列式为零,Page,34,1.一端固支一端自由：,二、类比法确定临界载荷,观察：受力与变形与两端铰支压杆左半部分相同,类比：一端固支一端自由长l的压杆的临界载荷等于长2l的对应铰支压杆的临界载荷。,与解析法结果相同,Page,35,2.一端固支、一端铰支,变形曲线观察：与B端相距约0.7l处有一拐点C,类比：拐点C处弯矩为零，将C点坐标转动到变形前位置，BC段类比铰支压杆。,近似性讨论：由于变形后拐点C离开轴线，B处有约束反力，小变形条件下很小。,Page,36,3.两端固支压杆：,Page,37,三、欧拉公式的统一表达式：,ml 相当长度：相当的两端铰支压杆的长度,m长度因数:支持方式对临界载荷的影响,欧拉公式可以写成统一形式：,Page,38,例：试用类比法求临界载荷,解：（1）分析失稳曲线特征：两端转角为零，B端水平位移不为零。,（2）类比长为2l 的两端固支杆,Page,39,例：试用类比法求临界载荷,解：（1）分析失稳曲线特征：两端转角为零，B端水平位移不为零。,（2）分析临界失稳的变形，类比长为2l 的两端固支杆,Page,40,解：（a）研究刚杆AC的临界平衡,例：刚杆（蝶形）弹簧系统，求临界载荷。,BC给与AC的反力为F（二力杆，系统小变形）,弹簧力为kd=klq,A点与力线F的距离l2q,由对A的力矩平衡,Page,41,解：（b）研究刚杆AC的临界平衡,例：刚杆（蝶形）弹簧系统，求临界载荷。,BC给与AC的反力为F（二力杆，系统小变形）,扭簧力为k*2q=k*2d/l,A点距力线F为l2q=2d,由对A的力矩平衡,Page,42,解：（1）为求，先求作用F 时,例：刚性梁，两大柔度杆EI（1）求 失稳（2）求结构失稳,刚性梁AD绕A点转动,由刚性梁AD的平衡,Page,43,正确解答：,解：（2）求，下述解法是否正确？,由变形图,由刚性梁AD的平衡,结构失稳时，,答：不正确，在结构临界失稳时,而是,由AD梁平衡,Page,44,解：（1）解除 杆约束,变形协调条件：,由梁静力平衡,例：弹性梁 两大柔度杆EI，设两杆拉压强度足够，且轴向压缩变形可忽略。（1）求 失稳（2）求结构失稳,B点反力FB引起,C点力偶Fa引起,Page,45,杆2首先失稳，临界载荷,故结构临界载荷,思考:1.考虑梁变形，杆2失稳时外载F临界值变大还是变小?2.考虑梁变形，结构失稳时外载F临界值变大还是变小?,Page,46,答：不变。结构失稳时，无论梁变不变形，杆1和杆2承载都达到各自临界值。,思考:1.考虑梁变形，杆2失稳时外载F临界值变大还是变小?,答：临界载荷变小，由杆2将达临界失稳时杆1受拉引起。,2.考虑梁变形，结构失稳时外载F临界值变大还是变小?,Page,47,例：下列结构OA，BC为大柔度杆，AB为刚性杆。求失稳临界载荷。,Page,48,（1）分析:弹性杆-弹簧系统有两种失稳形式：a.弹簧变形，杆保持直线偏转失稳；b.弹簧变形，杆弯曲失稳。,（1）解：（a）设微干扰后杆OA保持直线偏转失稳。,在临界状态，载荷引起的偏转力矩与弹簧力的恢复力矩平衡。,Page,49,（b）弹簧不变形，杆弯曲失稳。,（1）解：（a）,较小临界载荷所对应的失稳形式是结构实际失稳形式。,杆OA相当于两端铰支杆,Page,50,（2）分析：,悬臂梁BC相当于一弹簧，为了求当量弹簧常数k*，设刚性杆AB上作用一水平力F*，则悬臂梁BC水平位移d为,当量弹簧常数,（2）解：（a）设微干扰后，OA杆保持直线偏转失稳。,类比（1）的解法：,Page,51,（a）,（2）解：,（b）设微干扰后，OA杆弯曲失稳。,对比杆（1）,结构（2）失稳临界载荷,Page,52,例：流体截面积A，密度 r，管弯曲刚度EI，求临界流速vcr,解：管微弯后，流体动反力为,此动反力引起（驱动）弯矩,其中rc(x)为曲率半径,Page,53,例：流体截面积A，密度 r，管弯曲刚度EI，求临界流速vcr,曲率表示的弯曲变形公式建立了弹性恢复力矩与曲率的关系,又：,或,Page,54,方程的通解,对于四阶微分方程要考虑位移与力的边界条件，铰支端力的边界条件可表示为,Page,55,问题边界条件可写为,代入方程的通解,得,Page,56,例：大柔度立柱，失稳时结构如何运动？,截面,旋转失稳,Page,57,10-4 中、小柔度杆的临界应力,问题：欧拉公式适用范围？如何研究此范围之外的压杆的失效？,欧拉公式一般表达式,Page,58,一、临界应力与柔度,临界应力,定义,截面的惯性半径，只与截面形状相关,压杆的柔度或长细比，无量纲量,欧拉公式可以写成,综合反映了压杆长度l，支撑方式与截面几何性质i对临界应力的影响。,Page,59,二、Euler公式的适用范围,令,p 的压杆，称为大柔度杆,p：材料常数，仅与材料弹性模量E及比例极限p有关,Page,60,三、临界应力的经验公式,（I）直线型经验公式(合金钢、铝合金、铸铁与松木等),式中a,b为材料常数，单位MPa,可查表。,临界应力不能小于材料的极限应力scu，令:,p，大柔度杆；l0l lp，中柔度杆；0，小柔度杆,Page,61,临界应力总图临界应力（或极限应力）随柔度变化的曲线,Page,62,适用于结构钢与低合金结构钢等,（II）抛物线型经验公式,a1,b1为材料常数,Page,63,下述表述正确的是_。中柔度杆采用欧拉公式计算临界应力，结果可能不安全。中柔度杆采用欧拉公式计算临界应力，结果安全，偏于保守。大柔度杆采用中柔度杆公式计算临界应力，结果可能不安全。大柔度杆采用中柔度杆公式计算临界应力，结果安全，偏于保守。,答：A、C,Page,64,例 图示硅钢活塞杆,d=40mm,E=210GPa,lp=100,求Fcr=？,解：,大柔度杆,Page,65,解:(1)、计算钢管临界柔度,钢管实际柔度：,Page,66,大柔度杆，用Euler公式,(2)计算临界失稳时温升,设温度增加,温度应力,令,Page,67,10-5 压杆稳定条件与合理设计,一、稳定条件,：稳定安全因数,选择稳定安全因数时，除了遵循确定强度安全因数的一般原则外，还应考虑加载偏心与压杆初曲等因素。一般：稳定安全因数 强度安全因数。,Page,68,二、压杆的合理设计,依据：欧拉公式,经验公式,临界应力总图,1.合理截面形状：,选择惯性矩较大的截面形状,注意失稳的方向性,Page,69,注意失稳的方向性,mzmy，设计IzIy;等稳定设计：,Page,70,2.合理选择材料：,大柔度压杆：E 较高的材料，scr 也高，各种钢材（或各种铝合金）的 E 基本相同,依据：欧拉公式,中柔度压杆：强度较高的材料，scr 也高小柔度压杆：按强度要求选择材料,高强度钢一般不提高E，从而不提高结构稳定性钢与合金钢:E=200 220GPa铝合金:E=70 72GPa,Page,71,3.合理安排压杆约束与杆长:,依据：欧拉公式,Page,72,4.稳定性是整体量，可以不计局部削弱，局部加强也收效甚微。,课后讨论题,试比较梁的合理强度设计、合理刚度设计、压杆的合理稳定性设计。合理设计依据，三者的共同或相似处，三者的不同处。,Page,73,例：梁,，长l=2m,截面正方形，边长b=150mm，,经验公式,，,，两端铰支，求许可载荷,。,柱AB截面圆形、直径d=36mm,长l=0.8m,lp=99.3,l0=57，,求解思路：对梁AB进行强度分析，对压杆CD进行稳定性分析，取两许可载荷较小者。,Page,74,解：(1)对梁的强度分析,(2)对柱AD的稳定性分析,对柱采用中柔度杆公式计算,Page,75,(2)对柱采用中柔度杆公式计算,注意：对压杆，必须先判断是大柔度、中柔度、还是小柔度杆，才能选用合适的公式计算。,Page,76,作业10-13，14，15，18,Page,77,谢谢,