模糊数学精品讲义3.4 模糊集合的扩张原理.ppt

1,定义：设 X，Y 是两个论域，若有一规则 f，使每一个 xX 唯一确定一个 yY 与之对应，则称 f 是从 X 到 Y 的一个映射，记为f:X Y，x yY，其中 x 称为 y 的原象；y 称为 x 的象，记作 y=f(x)；X 称为映射 f 的定义域；记f(X)=y x X,使 y=f(x)Y，称 f(X)为映射 f 的值域。,2,定义：设 f 是从 X 到 Y 的一个映射。(1)对任意 A X，记f(A)=y xA,使 y=f(x)Y，这是 Y 的一个子集，称为 A 在 f 作用下的象(当 A=时，规定 f(A)=)。(2)对任意 B Y，记f-1(B)=xxX,使 f(x)B，这是 X 的一个子集，称为在 f 作用下的原象(当 B=时，规定 f-1(B)=)。,3,3.4 模糊集合的扩张原理,3.4.1 经典集合的扩张原理定义 3.4.1 设 X、Y 是经典集合，若给定 X 到 Y 的映射 f：XY，x|f(x)=y,则 f 可以诱导出两个映射：一个是P(X)到P(Y)的映射，一个是 P(Y)到 P(X)的映射，前者仍记为 f，后者记为 f 1，它们具体的定义如下：,4,f 诱导出的第一个映射 是一个P(X)到P(Y)的映射，仍记为 f，它的定义如下：f:P(X)P(Y),A f(A)P(Y),此处 f(A)=yY xA,使 y=f(x)，我们称 f(A)为 A 的象。,5,f 诱导出的第二个映射 是一个P(Y)到P(X)的映射，记为 f 1，它的定义如下：f 1:P(Y)P(X)，B f 1(B)P(X)，此处 f 1(B)=xX 使 f(x)B，我们称 f 1(B)为 B 的逆象(原象)。,6,由 y f(x)这一个映射诱导出两个集映射 f(A)及 f 1(B)，这种情况称为经典扩张原理。参见图 3.25。例：f：R R，x|y=f(x)=x2,对 A=-1，1，f(A)=0，1；对 B=1，4，f 1(B)=-2，-1 1，2。,7,图 3.25 经典扩张原理示意图,8,命题 3.4.1 若用特征函数来表示集 f(A)与集 f 1(B)，则有 f 1(B)(x)=B(f(x),x X.(3.4.2(b)证明 先证(3.4.2(a)。yY,f(A)(y)=1 y f(A),9,xA 使 y=f(x)xX 使 A(x)=1 且 y=f(x)A(x)x f-1(y)=1,故有(约定=0)。,10,再证(3.4.2(b)。xX，f 1(B)(x)=1 x f 1(B)f(x)B B(f(x)=1，故有 f 1(B)(x)=B(f(x)。,11,3.4.2 模糊集合的扩张原理,进一步，我们能否将 f 的定义域和值域分别扩张到F(X)和F(Y)呢？定义 3.4.2 设 X、Y 是经典集合，给定 X 到 Y 的映射 f：XY，x|f(x)=y,则 f 可以诱导出一个F(X)到 F(Y)的映射，f：F(X)F(Y)，,12,A|f(A)，以及一个F(Y)到F(X)的映射，称为逆映射f 1：F(Y)F(X)，B|f 1(B)。这里 f(A)与 f 1(B)的隶属函数分别定义为：,13,以上两个映射常称为扩张映射，参见图3.26及图3.27。,14,15,例 3.4.1 设 X=x1,x2,x3,x4,x5，Y=a,b,c,d 给定映射如下：f:XY,x f(x)；f(x)的定义为,16,现有 F(X)，F(Y)，按扩张原理求 f(A)、f-1(B)。解：分别对每个元素求隶属度。按扩张原理有,17,故,18,又所以,19,例 设 X，Y 为实数域，X 上的模糊集A=0.4/-2+0.8/-1+1/0+0.7/1+0.5/2，从 X 到 Y 的映射 f：x x2，则 A f(A)B 为：B1/0+0.8/1+0.5/4。又f 1(B)0.5/-2+0.8/-1+1/0+0.8/1+0.5/2。,20,扩张原理可以用截集的形式表示。定理 3.4.1 设已知 f：XY，x|f(x)，由扩张原理可得 f：P(X)P(Y)及 F(X)F(Y)，f 1：P(Y)P(X)及 F(Y)F(X)，(1)若 AF(X)，则(2)若 BF(Y)，则,21,证明(1)yY，有,22,23,下面来讨论扩张原理与 截集的相容性。命题 设 0，1，B()P(X)，即 B()是与 有关的 X 上的一个普通集合。如果 AF(X)，且则有B()A。,24,推论 模糊子集的 截集的象包含在模糊子集的象的 截集之中，即f(A)f(A)，0，1。定理（Nguyen 定理）对任意 0，1，f(A)f(A)的充分必要条件是：对任意 yY，存在 xf 1(y)使得,25,3.4.3 多元扩张原理1.经典集的笛氏积 定义 3.4.3 设 X1，X2，Xn 是 n 个经典集合，它们的笛卡尔(Descartes)积定义为X1X2 Xn=(x1,x2,xn)xiXi,1in,笛卡尔积 X1X2 Xn 又可记为,26,如用特征函数来表示笛卡尔(Descartes)积集，则有 x=(x1,x2,xn)X=,故有,27,2.模糊集的笛氏积 将上述特征函数推广成隶属函数，便可定义模糊集的笛氏积集。定义 3.4.4 设 AiF(Xi)(i=1，2，n)，(x1,x2,xn)则 A1A2An F(X1X2Xn)，称 A1 A2An 为 A1,A2,An 的笛氏积集,记为,28,命题 3.4.2证明,29,所以同理可证由命题 3.4.2 及分解定理立即可得推论,30,3.多元扩张原理定义 3.4.5 设f:X=X1 X2 Xn Y1 Y2 Ym=Y,x=(x1,x2,xn)f(x1,x2,xn)=(y1,y2,ym)=y。那么，由 f 可诱导出映射,31,f:F(X1)F(X2)F(Xn)F(Y1Y2 Ym),(A1,A2,An)f(A1,A2,An)其中 f(A1,A2,An)的隶属函数规定如下：,32,以及映射f-1:F(Y1)F(Y2)F(Ym)F(X1X2Xn),(B1,B2,Bm)f-1(B1,B2,Bm),其中 f 1(B1,B2,Bm)的隶属函数规定如下：,33,以上两个映射称多元扩张映射。参见图 3.28。,34,由定义 3.4.5、定义 3.4.2 及定义 3.4.4 立即可得 f(A1,A2,An)=f(A1 A2 An)，f-1(B1,B2,Bm)=f-1(B1 B2 Bm)。,35,命题 3.4.3 设 f:X1 X2 Xn Y1 Y2 Ym，又设 f 与 f 1 是两个多元扩张映射，则有下述类似分解定理的形式：,36,证明 只证(1)的第一个等式又由经典扩张原理有,37,故将(3.4.12)式代入(3.4.11)式即证得(1)的第一等式成立。其余等式类似可证。,38,二元扩张原理隶属函数形式：设 f 是 X1 X2 到 Y 的映射，A1，A2 分别是 X1，X2 上的两个模糊集，则由 f 可以诱导出 F(X1)F(X2)到 F(Y)的映射，仍记为 ff:F(X1)F(X2)F(Y),A1 A2 f(A1 A2)=B其隶属函数为，(y Y),39,其隶属函数还可以表示为，（约定=0）(y Y),40,二元扩张原理的截集形式：设 f 是 X1 X2 到 Y 的映射，A1，A2 分别是 X1，X2 上的两个模糊集，则由 f 可以诱导出 F(X1)F(X2)到 F(Y)的映射，仍记为 ff:F(X1)F(X2)F(Y)，A1 A2 f(A1 A2)=B，,41,4.实数集 R上的二元运算“*”扩张成相应的模糊集运算,有了多元扩张原理，就可以把实数集 R 上的任意二元运算“*”扩张成 R 上模糊集间相应的运算。参见图 3.29。,42,43,设是实数域 R 上的二元运算，即：R R R，(x,y)x y，根据二元扩张原理，由这个映射可诱导出F(R)F(R)到F(R)的映射，即：F(R)F(R)F(R),(A,B)AB,其隶属函数为(A B)(z)=x y=z A(x)B(y)。,44,特别，当 为，时，A B 分别为：zR(A+B)(z)=x+y=z A(x)B(y)，(AB)(z)=xy=z A(x)B(y)，(A B)(z)=x y=z A(x)B(y)，(AB)(z)=x y=z A(x)B(y)，(y0)(A B)(z)=x y=z A(x)B(y)，(A B)(z)=x y=z A(x)B(y)。,45,或者，对 zR,46,47,例 3.4.2 设 X=Y=Z=0,1,2,n(n 7),求 A+B=“近似于5”。,F(X)，,F(Y)，,48,解：(A+B)(0)=A(0)B(0)=0;(A+B)(1)=(A(1)B(0)(A(0)B(1)=0；(A+B)(2)=(A(0)B(2)(A(1)B(1)(A(2)B(0)=0;(A+B)(3)=(A(0)B(3)(A(1)B(2)(A(2)B(1)(A(3)B(0)=0.2;(A+B)(4)=(A(1)B(3)(A(2)B(2)略去为0的项(0.3 1)(10.2)=0.3;,49,(A+B)(5)=(A(1)B(4)(A(2)B(3)(A(3)B(2)=0.2 1 0.2=1;(A+B)(6)=(A(3)B(3)=0.3;(A+B)(7)=(A(3)B(4)=0.2。故得,50,例（随机变量和的分布律）,一个仪器由两个主要部件组成，其总长度为这两个部件长度的和，已知这两个部件的长度 和 为两个相互独立的随机变量，其分布律如下表。求此仪器长度的分布律。,51,解：设仪器总长度为=+，其可能取值如下表：P(=15)=P(=9，=6)=P(=9)P(=6)=0.30.4=0.12，P(=16)=P(=9，=7)+P(=10，=6)=P(=9)P(=7)+P(=10)P(=6),52,=0.30.6+0.5 0.4=0.38，P(=17)=P(=10，=7)+P(=11，=6)=P(=10)P(=7)+P(=11)P(=6)=0.50.6+0.2 0.4=0.38，P(=18)=P(=11，=7)=P(=11)P(=7)=0.20.6=0.12，因而 的分布律如表：,53,例（模糊集和的隶属度）,一个仪器由两个主要部件组成，其总长度为这两个部件长度的和，已知这两个部件的长度 A 和 B 为两个模糊集，其隶属度如下表。求此仪器长度的隶属度。,A,B,54,解：设仪器总长度为 C=A+B，其可能取值如下表：(C=15)=(A=9，B=6)=(A=9)(B=6)=0.30.4=0.3，(C=16)=(A=9，B=7)(A=10，B=6)=(A=9)(B=7)(A=10)(B=6),55,=0.30.6 0.50.4=0.4，(C=17)=(A=10，B=7)(A=11，B=6)=(A=10)(B=7)(A=11)(B=6)=0.50.6 0.20.4=0.5，(C=18)=(A=11，B=7)=(A=11)(B=7)=0.20.6=0.2，因而 C 的隶属度如表：,56,当 为，时，二元扩张运算“*”用截集的形式表示为:,57,另外，关于除法，可视其为：R(R0)R，故AB=0,1(AB),其中 B 的论域为 R0。,58,模糊数和模糊算术,定义 3.4.6 设 N 是定义在实数域 R 上的模糊集，如果：(1)x0R，使得 N(x0)=1；(2)(0，1，N=xxR，N(x)为有限闭区间，则称 N 为(R 上的)模糊数。根据上述定义和分解定理，模糊数 N 可以表示为,59,定理 设 N 为 R 上的模糊集，则 N 为模糊数 存在实数 m，n(m n)使得式中 L(x)是右连续的单调不减函数，0 L(x)1，且 lim x-L(x)=0；R(x)是左连续的单调不增函数，0 R(x)1，且 lim x R(x)=0。,60,如果 L(x)和 R(x)均为线性函数，且 m n，则称 N 为梯形模糊数，简记为 N=(l,m,n,r)。如果 L(x)和 R(x)均为线性函数，且 m=n，则称 N 为三角模糊数，简记为 N=(l,m,r)。,61,梯形模糊数 N=(l,m,n,r)的隶属函数,62,梯形模糊数 N=(l,m,n,r)的隶属函数图形,63,三角模糊数 N=(l,m,r)的隶属函数,64,三角模糊数 N=(l,m,r)的隶属函数图形,65,定义 3.4.7 模糊数 N 被称为模糊正数(或模糊负数)，如果 N(x)=0，x 0)。设 M，N 为两个模糊数，对 R 上任意的二元运算，：R R R，(x,y)x y，,66,根据二元扩张原理，可以扩张成 F(R)F(R)到F(R)的模糊数运算 M N，其隶属函数为(M N)(z)=x y=z M(x)N(y)。上式称为模糊数运算 的 max-min 卷积形式。由二元扩张原理的截集形式我们还有，,67,定义 3.4.8 设 是 R 上的二元运算，即：R R R，(x,y)x y。对经典集合 A，B 定义，A B=zR xA，yB，使 x y=z。定理 设 a，b，c，d 为闭区间，当 表示普通的四则运算或取大、取小运算时，我们可以得到如下的区间数运算：,68,(1)a，b+c，d=a+c，b+d；(2)a，b c，d=a d，b c；(3)a，b c，d=acadbcbd,acadbcbd；(4)a，bc，d=a/ca/db/cb/d,a/ca/db/cb/d,这里 0 c，d；(5)a，b c，d=a c，b d；(6)a，b c，d=a c，b d；(7)a，b=a b，a b。,69,例 A=2,5，B=1,6，使用上述定理，得A+B=2,5+1,6=1,11;A B=2,5 1,6=8,4;A B=2,5 1,6=12,30;AB=2,51,6=2,5;A B=2,5 1,6=1,6;A B=2,5 1,6=2,5;3 A=32,5=6,15;3 A=32,5=15,6。,70,例 设有某项工程分两个阶段进行施工，第一阶段约需要 10 至 11.5 个月完成，第二阶段约需要 7 至 7.5 个月完成，则全部工程共约需要10,11.5+7,7.5=17,19，即 17 至 19 个月可以完成。又每施工一个月，需要支付工人工资 2 至 2.1 万元，则全部工程应支付工人工资约为17,192,2.1=34,39.9，即 34 至 39.9 万元。,71,例 设 M，N 是两个模糊数，其隶属函数分别为求：M+N，M N，M N，MN。,72,解：对(0，1，有M=+2,4,N=2+3,6.(1)M+N=3+5,10 2,由 x=3+5,可得：=(x 5)/3,(5 x 8);由 x=10 2,可得：=(10 x)/2,(8 x 10),即在(0，1 水平上，M+N 所对应的截集的左、,73,右端点分别为 L(x)=(x 5)/3,(5 x 8);R(x)=(10 x)/2,(8 x 10)。故 M+N 的隶属函数为,74,命题(1)对于三角模糊数 M=(ml,m,mr),N=(nl,n,nr),有 M+N=(ml+nl,m+n,mr+nr)，M N=(ml nr,m n,mr nl)。(2)对于梯形模糊数M=(ml,m1,m2,mr),N=(nl,n1,n2,nr),有 M+N=(ml+nl,m1+n1,m2+n2,mr+nr),M N=(ml nr,m1 n2,m2 n1,mr nl)。,75,注:(1)两个三角模糊数的乘积、商已不再是三角模糊数(see模糊多准则决策理论与应用p19，例 2.10)。(2)两个梯形模糊数的乘积、商已不再是梯形模糊数。,76,L-R 模糊数及其运算,定义 3.4.9 设映射 f:R 0,1，如果 f 满足以下条件：(1)f(x)=f(x),(2)f(0)=1,(3)f(x)在区间 0,)单调不增，则称 f(x)为模糊数的基准函数。,77,定义 3.4.10 设 L(x)和 R(x)分别为模糊数 A 的左、右基准函数，如果则称 A 为 L-R 模糊数，记为 A=(m;,)LR，其中 m 称为 A 的均值，称为 A 的左、右扩散。并约定=0 时，L-R 模糊数退化为普通实数，即(m;0,0)LR=m。,78,定理 设 M=(m;,)LR，N=(n;,)LR，则(1)M+N=(m+n;+,+)LR，(2)M N=(m n;+,+)LR。例(see模糊多准则决策理论与应用P23 例 2.11)。注:两个L-R 模糊数的乘积、商也不再是 L-R 模糊数。,79,简单加权求和的计算公式为,80,设 M 和 N 是两个梯形模糊数，M=(a1,b1,c1,d1)，N=(a2,b2,c2,d2)。则 M 与 N 的模糊积可定义为：MN=a(L1，L2)，b，c,d(R1，R2)，式中a=a1 a2，b=b1 b2，c=c1 c2，d=d1 d2，L1=(b1a1)(b2a2)，L2=a2(b1a1)+a1(b2a2)，R1=(d1c1)(d2c2)，R2=d2(d1c1)+d1(d2c2)。,81,梯形模糊数乘法公式的推导因为梯形模糊数的隶属函数曲线在区间 ai,bi 和 ci,di 内均为直线段，故有：i从 x=x1 x2，容易导出,82,对于形式为的模糊数，其加法运算十分简单，只要将模糊数表示式中的相应参数加到一起就行了。下面的计算公式可用于模糊 SAW 方法的求和步骤：,83,显然，上述模糊和的隶属函数不再是线性函数，借助于有关参数，它可以表示为式中,84,85,2.2 模糊决策基本原理,下面介绍模糊规划的三个基本概念：模糊目标、模糊约束、模糊决策，它们是 Bellman 和 Zadeh 于1970 年提出的。定义 2.9（模糊目标）设 X 代表可能采用的全部策略。模糊目标 G 是决策者对目标的某种不分明的要求，被表示为论域 X 上的一个模糊集合，其隶属函数G(x)反映策略 x 相对于目标 G 所能达到的满意程度。,86,例 2.12 设 X=R+,G=“x 明显地小于10”，则隶属函数 G(x)可以定义为本例中决策目标的模糊性源于目标陈述中的修饰副词“明显地”，而隶属函数 G(x)的确定似乎带有某些主观随意性，不唯一。,87,定义 2.10（模糊约束）模糊约束 C 是对策略运作的一种不严格的限制，表示为论域 X 上的一个模糊集合，其隶属函数 C(x)指出策略 x 符合约束条件的程度。例 2.13 设 X=R+,C=“x 接近于7”，隶属函数 C(x)可以定义为,88,注：模糊目标和模糊约束是被定义在同一个策略空间中的两个模糊子集，它们具有同等的地位，因而在本质上起着相同的作用。目标和约束之间的这种对称性质为我们提供了一种可能性：即用相对简便的方法把目标和约束直接联系在一起，既能最大限度地实现目标，又能最大限度地满足约束。,89,定义 2.11(模糊决策)设 G 和 C 是策略空间 X 中的模糊目标与模糊约束，则模糊决策 D 也是 X 中的一个模糊集合，它被定义为G 和C 的交集：D=G C，即 D 的隶属函数为D(x)=G(x)C(x),xX。又记 M*=xm|xX,D(xm)D(x)，则称 M*为最大决策集合。如果 M*中只有一个元素 x*，则称 x*为极大化决策，其隶属度为D(x*)=xX(G(x)C(x)。,90,例 2.14 设 X=R+,模糊目标为G=“x 明显地小于10”，其隶属函数见例 2.12；模糊约束为 C=“x 接近于7”，其隶属函数见例 2.13，则 D=G C 的隶属函数为其中极大化决策 x*=5.815，对应的隶属度为D(x*)=0.42。(see 图 2.7),91,如果我们有 n 个模糊目标：G1,G2,Gn，和 m 个模糊约束：C1,C2,Cm，它们都定义在同一策略空间 X 中，并具有相同的重要性，则模糊决策这样的决策方式被称为悲观型决策；如果模糊决策则这样的决策方式被称为乐观型决策。,92,例2.15 某工厂同时招聘熟练的钳工和车工。一应聘者的钳工技术符合招聘要求的程度为B(x)=0.8(即模糊集“熟练钳工”的隶属函数为B(x)，其车工技术符合招聘要求的程度为L(x)=0.7(即模糊集“熟练车工”的隶属函数为L(x)，则对该应聘者的适当的考评结果应为D=B L=0.8 0.7=0.8.,93,2.Bonissone 方法 Bonissone(1982)假定决策问题中的精确概念与模糊概念都可以采用 L-R 型的梯形模糊数来表示。他之所以选择 L-R 型的梯形模糊数，是因为这一类模糊数具有良好的近似运算性质。设 M=(a,b;,)和 N=(c,d;,)是两个 L-R 型的梯形模糊数，表 4.6 给出了 M，N 之间有关模糊运算的近似公式。,94,Bonissone 选用的模糊效用函数也是简单加权平均的形式，即式中 wj 和 xij 是普通实数或 L-R 型梯形模糊数。借助于表 4.6 种的近似算法，其计算效率可大大提高。在大多数情况下，Bonissone 方法的精度可以满足实际决策的要求。鉴于任何方法都不可能完全表示客观事物的模糊性，适度的近似应该是允许的，有时甚至是必要的。,95,该方法的主要缺陷是当模糊权值 wj 和模糊指标值 xij被限制在 0，1 区间内时，不能保证模糊效用值也落在给定的区间内。这或许是因为 Bonissone 方法中的模糊权值没有归一化的缘故。这也是它与 Dubois-Prade 方法的区别之一。例 4.5 采用 Bonissone 方法重新求解例 4.4 中的多属性决策问题。首先将原问题中经定量转换后得到的梯形模糊数从一般表示形式改写成 L-R 型的模糊数形式。二者的差别及其对照见表 4.7。,96,各方案的模糊效用值计算如下：,97,类似的，我们可算得上述模糊效用值的隶属函数曲线见图 4.4。由于此例中的三个模糊效用值分离相当清楚，即使不采用第三章介绍的模糊集排序方法，凭直观也能判断出 A3 是最佳投资方案，A2 次之，A1 最差。,98,99,（2）模糊权值和模糊指标值未知的决策情形 回顾 Saaty(1977)提出的为求解属性权值的特征矢量法(见本章第一节)，其模糊性是通过互逆矩阵中权重比的不相容性来间接表示的，并没有直接用到模糊集的相关理论。Laahoven 和 Pedrycz(1983)以及Buckley(1985)认为，既然决策者的意见本质上是模糊的，两两比较的结果就应该表示成模糊数，而不应该是实数比的形式，故建议采用下面的模糊互逆矩阵：,100,式中 mij 是三角模糊数或梯形模糊数，mij 与 mji 互为倒数。模糊指标值 xij=(x1j,xmj),j=1,n 可从上面的模糊互逆矩阵中导出。现以 Buckley 的方法为例说明模糊层次分析的基本程序。设 m 为梯形模糊数，mii=(1,1,1,1),i=1,m;,101,mij=(aij,bij,cij,dij),j=1,m,i j.定义,102,则方案 Ai 在属性 Cj 上的模糊指标值 xij 可写为具有隶属函数,103,式中式中 0，1 为某选定的置信水平。,104,类似地，我们可定义下面的模糊互逆矩阵以导出所需的模糊权重矢量。即 该矩阵中的元素表示属性之间相对重要程度两两比较的结果。在求出了所需的模糊权值和模糊指标值之后，表示每一方案价值大小的模糊效用值可采用下面模糊,105,SAW 的计算公式来确定，梯形模糊数的加法和乘法公式可推到如下：设 M 和 N 是两个梯形模糊数，记为 M=(a1,b1,c1,d1)，N=(a2,b2,c2,d2)。则 M 与 N 的模糊积可定义为式中,106,因为梯形模糊数的隶属函数曲线在区间 ai,bi 和 ci,di 内均为直线段，故有：i,107,从 x=x1 x2，容易导出对于形式为的模糊数，其加法运算十分简单，只要将模糊数表示式中的相应参数加到一起就行了。下面的计算公式可用于模糊 SAW 方法的求和步骤：,108,显然，上述模糊和的隶属函数不再是线性函数，借助于有关参数，它可以表示为式中,109,110,模糊多属性决策的研究内容,属性(评价指标)选择的研究 权重系数确定方法的研究 多属性(指标)信息合成方法的研究 评价准则的研究,111,1.汪培庄，李洪兴，模糊系统理论与模糊计算机，北京：科学出版社，1996。2.程钱生，属性集和属性综合评价系统，系统工程理论与实践，1997，17(9)，1-8。3.刘玉斌，模糊综合评判的取大取小算法是一个错误算法，系统工程理论与实践，1998,18(12),80-83。4.卢厚清，王宁生，沈发鸿，关于模糊综合评判取大取小算法问题的讨论，系统工程理论与实践，2001，21(4)，124-128。,112,1.Zhang Q.and Gao Z.,Fuzzy integration method of synthetic evaluation for traffic and transportation Systems,in:Proceedings of International Conference on traffic and transportation Studies,Beijing,China,July 31-August 2,2000,pp.663-667(EI 检索).2.张强，李金林.模型识别在交通规划方案选择中的应用.第四届中国青年运筹与管理学者大会论文集，北京，2001 年 9 月，pp.341-345。3.张强，刘克，高自友.属性综合评价系统在城市交通规划中的应用.系统工程理论与实践，2002，22(6):113-120。,