5.3相似矩阵.ppt

1/31,概念与性质 矩阵的对角化,2/31,一、相似矩阵的概念,定义 设A,B是n阶方阵，若存在可逆矩阵P,使,则称B是A的相似方阵，或说A与B相似.,对A进行运算P-1AP,称为对A进行相似变换.,可逆矩阵P称为把A 变成B的相似变换矩阵.,注：定义中的可逆矩阵P不唯一.(参考P158),3/31,设 为 阶方阵，则相似矩阵有下列,（1）反身性；（2）对称性；（3）传递性.,基本性质：,4/31,二、相似矩阵的性质,2.若A与B相似，且A可逆，则B也可逆，且 A-1与 B-1相似.,1.若A与B相似，则|A|=|B|，R(A)=R(B).,3.若A与B相似，则 A与B有相同的特征多项式和相同的特征值.,A与B相似,5/31,4.若A与B相似，则Am与Bm相似，其中m为整数.,A与B相似,Am与Bm相似,5.若A与B相似，f(x)是一元多项式，则f(A)与f(B)相似.,6/31,证明：,A与B相似,f(A)与f(B)相似,7/31,三、矩阵对角化的概念,如果n阶矩阵A相似于一个对角矩阵,则称矩阵A可对角化.即:存在可逆矩阵P,使得,8/31,四、矩阵对角化的条件,9/31,矩阵A相似于,10/31,A相似于,11/31,12/31,13/31,14/31,证明:,只证s=2的情形,一般情况归纳法证之.,(1),(2),(3),15/31,16/31,设 是矩阵A的所有特征值，是齐次方程组 的一个基础解系,j=1,2,s,A的特征向量组线性无关.,注意：mi齐次方程组 的基础解 系所含解向量个数.,17/31,且分别为 ni 重根,则 A可对角化,P160 定理3,18/31,五、矩阵对角化的步骤,19/31,20/31,3.对每个特征值求对应的特征向量,21/31,22/31,23/31,24/31,25/31,26/31,例3 已知矩阵,（1）求 与；,（2）求一个可逆矩阵，使,（3）求,27/31,解（1）因A与B相似，故,即,将 代入有；,将 代入有,28/31,（2）的特征值为1，2，2，,解齐次线性方程组,可分别求得A的对应特征向量,于是所求可逆矩阵,使,29/31,（3）由于，于是,所以,30/31,31/31,作业,习题53 2，6,