中考数学模拟试题汇编专题30：圆的有关性质(含答案).doc

圆的有关性质一、选择题1、（2016泰安一模）如图，以点P为圆心，以为半径的圆弧与x轴交于A，B两点，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（6，0），则圆心P的坐标为（）A（4，）B（4，2）C（4，4）D（2，）【考点】垂径定理；坐标与图形性质；勾股定理【分析】过点P作PCAB于点C，利用垂径定理以及结合点A和点B的坐标即可得出点C的坐标，即可得出AC的长度，从而可得出PC的长度，且点P位于第一象限，即可得出P的坐标【解答】解：过点P作PC AB于点C；即点C为AB的中点，又点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（6，0），故点C（4，0）在Rt PAC中，PA=，AC=2，即有PC=4，即P（4，4）故选C2、（2016枣庄41中一模）如图，DC是以AB为直径的半圆上的弦，DM CD交AB于点M，CN CD交AB于点NAB=10，CD=6则四边形DMNC的面积（）A等于24B最小为24C等于48D最大为48【考点】垂径定理；勾股定理；梯形中位线定理【分析】过圆心O作OE CD于点E，则OE平分CD，在直角 ODE中利用勾股定理即可求得OE的长，即梯形DMNC的中位线，根据梯形的面积等于OECD即可求得【解答】解：过圆心O作OE CD于点E，连接OD则DE=CD=×6=3在直角ODE中，OD=AB=×10=5，OE=4则S四边形DMNC=OECD=4×6=24故选A3、(2016·上海普陀区·一模)下列命题中，正确的是（）A圆心角相等，所对的弦的弦心距相等B三点确定一个圆C平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧D弦的垂直平分线必经过圆心【考点】命题与定理【分析】根据有关性质和定理分别对每一项进行判断即可【解答】解：A、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故本选项错误；B、不在一条直线上的三点确定一个圆，错误；C、平分弦的直径不一定垂直于弦，错误；D、弦的垂直平分线必经过圆心，正确；故选D【点评】此题考查了命题与定理，关键是熟练掌握有关性质和定理，能对命题的真假进行判断4、(2016·山东枣庄·模拟)如图，在半径为6cm的O中，点A是劣弧的中点，点D是优弧上一点，且D=30°，下列四个结论：OABC；BC=6；sinAOB=；四边形ABOC是菱形其中正确结论的序号是（）ABCD【考点】垂径定理；菱形的判定；圆周角定理；解直角三角形【专题】几何图形问题【分析】分别根据垂径定理、菱形的判定定理、锐角三角函数的定义对各选项进行逐一判断即可【解答】解：点A是劣弧的中点，OA过圆心， OABC，故正确； D=30°， ABC= D=30°， AOB=60°， 点A是劣弧的中点， BC=2CE， OA=OB， OA=OB=AB=6cm， BE=ABcos30°=6×=3cm， BC=2BE=6cm，故正确； AOB=60°， sinAOB=sin60°=，故正确； AOB=60°， AB=OB， 点A是劣弧的中点， AC=AB， AB=BO=OC=CA， 四边形ABOC是菱形，故正确故选：B【点评】本题考查了垂径定理、菱形的判定、圆周角定理、解直角三角形，综合性较强，是一道好题5、(2016·陕西师大附中·模拟)如图，O的半径为2，弦AB= ，点C在弦AB上, ，则OC的长为（ ）A . B. C. D. 6、（2016·吉林东北师范大学附属中学·一模）如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是 （A）60° （B）80° （C）90° （D）100°答案：D7、 （2016·江苏省南京市钟爱中学·九年级下学期期初考试）如图，O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E， A=30°，CD=6，则圆的半径长为（）A2 B2 C4 D答案：A8、（2016·天津五区县·一模）如图，A、D是O上的两个点，BC是直径，若 D=35°，则 OAC的度数是（）A35°B55°C65°D70°【考点】圆周角定理【分析】在同圆和等圆中，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，所以 AOC=2 D=70°，而 AOC中，AO=CO，所以 OAC= OCA，而180° AOC=110°，所以 OAC=55°【解答】解： D=35°， AOC=2 D=70°， OAC=（180° AOC）÷2=110°÷2=55°故选：B【点评】本题考查同弧所对的圆周角和圆心角的关系规律总结：解决与圆有关的角度的相关计算时，一般先判断角是圆周角还是圆心角，再转化成同弧所对的圆周角或圆心角，利用同弧所对的圆周角相等，同弧所对的圆周角是圆心角的一半等关系求解，特别地，当有一直径这一条件时，往往要用到直径所对的圆周角是直角这一条件9、(2016·重庆巴蜀 ·一模）一个圆形人工湖如图所示，弦AB是湖上的一座桥，已知桥AB长100m，测得圆周角ACB=45°，则这个人工湖的直径AD为（） ABCD【分析】连接OB根据圆周角定理求得AOB=90°；然后在等腰RtAOB中根据勾股定理求得O的半径AO=OB=50m，从而求得O的直径AD=100m【解答】解：连接OBACB=45°，ACB=AOB（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），AOB=90°；在RtAOB中，OA=OB（O的半径），AB=100m，由勾股定理得，AO=OB=50m，AD=2OA=100m；故选B10、(2016·重庆巴南 ·一模）如图，O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，A=22.5°，OC=4，CD的长为（）A2B4C4D8【分析】根据圆周角定理得BOC=2A=45°，由于O的直径AB垂直于弦CD，根据垂径定理得CE=DE，且可判断OCE为等腰直角三角形，所以CE=OC=2，然后利用CD=2CE进行计算【解答】解：A=22.5°，BOC=2A=45°，O的直径AB垂直于弦CD，CE=DE，OCE为等腰直角三角形，CE=OC=2，CD=2CE=4故选：CODBAC11、（2016·湖南湘潭·一模）如图，是O直径，则AB CD答案：A 12、（2016·吉林长春朝阳区·一模）如图，AB是O的直径，点C在圆周上，连结BC、OC，过点A作AD OC交O于点D，若 B=25°，则 BAD的度数是（）A25°B30°C40°D50°【考点】圆周角定理；平行线的性质【分析】根据 B=25°，得 C=25°，再由外角的性质得 AOC，根据平行线的性质得出 BAD的度数【解答】解： OB=OC， B= C， B=25°， C=25°， AOC=2B， AOC=50°， ADOC， BAD= AOC=50°，故选D【点评】本题考查的是圆周角定理，以及平行线的性质，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等是解答此题的关键13、（2016·河北石家庄·一模）下列图形中， 1一定大于 2的是（）ABCD【考点】三角形的外角性质；对顶角、邻补角；平行线的性质；圆周角定理【分析】根据对顶角、内错角、外角、圆周角的性质，对选项依次判断即可得出答案【解答】解：A、根据对顶角相等， 1= 2，故本选项错误；B、根据两直线平行、内错角相等， 1= 2，故本选项错误；C、根据外角等于不相邻的两内角和， 1 2，故本选项正确；D、根据圆周角性质， 1= 2，故本选项错误故选C【点评】本题主要考查了对顶角、内错角、外角、圆周角的性质，难度适中14、（2016·河北石家庄·一模）如图，已知EF是O的直径，把 A为60°的直角三角板ABC的一条直角边BC放在直线EF上，斜边AB与O交于点P，点B与点O重合，且AC大于OE，将三角板ABC沿OE方向平移，使得点B与点E重合为止设 POF=x，则x的取值范围是（） A30x60B30x90C30x120D60x120【考点】圆周角定理；平移的性质【专题】压轴题；动点型【分析】分析可得：开始移动时，x=30°，移动开始后， POF逐渐增大，最后当B与E重合时， POF取得最大值，即2×30°=60°，故x的取值范围是30x60【解答】解：开始移动时，x=30°，移动开始后， POF逐渐增大，最后当B与E重合时， POF取得最大值，则根据同弧所对的圆心角等于它所对圆周角的2倍得： POF=2 ABC=2×30°=60°，故x的取值范围是30x60故选A【点评】本题考查圆周角定理和平移的基本性质是：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等15、（2016·湖北襄阳·一模）如图，AB是O的直径，弦BC=2cm，ABC=60°.若动点P以2cm/s的速度从B点出发沿着BA的方向运动，点Q从A点出发沿着AC的方向运动，当点P到达点A时，点Q也随之停止运动设运动时间为t(s)，当APQ是直角三角形时，t的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或或答案：C16、 (2016·新疆乌鲁木齐九十八中·一模)如图，已知O的直径AB为10，弦CD=8，CD AB于点E，则sin OCE的值为（）ABCD【考点】垂径定理；解直角三角形【分析】由AB是O的直径，弦CD AB，根据垂径定理，可求得CE的长，然后由勾股定理即可求得OE，继而求得sin OCE的值【解答】解： AB是O的直径，弦CD AB， CE=CD=×8=4，OC=AB=×10=5， OE=3， sin OCE=故选B【点评】此题考查了垂径定理、勾股定理以及三角函数此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用二、填空题1、(2016·浙江镇江·模拟)如图，ABC内接于O，BAC=30°，则O 的半径等于 答案：2、（2016泰安一模）如图，AB为O的直径，弦CD AB于点H，连接OC，AD，若BH：CO=1：2，AD=4，则O的周长等于8【考点】圆周角定理；勾股定理；垂径定理【分析】已知BH：CO=1：2，即BH=OH=OC；在Rt OCH中，易求得 COH=60°；由于弧BC=弧BD（垂径定理），利用圆心角和圆周角的关系可求得 DAB=30°；在RtADH中，可求得DH的长；也就求出了CH的长，在Rt COH中，根据 COH的正弦值和CH的长，即可求出OC的半径，进而可求出O的周长【解答】解：半径OB CD， ，CH=DH；（垂径定理） BH：CO=1：2， BH=OH=OC；在Rt OCH中，OH=OC， COH=60°； ， DAH= COH=30°；（圆周角定理）在Rt AHD中，DAH=30°，AD=4，则DH=CH=2；在Rt OCH中，COH=60°，CH=2，则OC=4 O的周长为83、(2016·陕西师大附中·模拟)A如图，小丽荡秋千，秋千链子的长OA为2.5米，秋千向两边摆动 的角度相同，摆动的水平距离AB为3米，则秋千摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差（即CD）为 0.5 米4、(2016·上海普陀区·一模)半圆形纸片的半径为1cm，用如图所示的方法将纸片对折，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则折痕CD的长为cm【考点】垂径定理；勾股定理【分析】作MO交CD于E，则MO CD连接CO根据勾股定理和垂径定理求解【解答】解：作MO交CD于E，则MO CD，连接CO，对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则ME=OE=OC，在直角三角形COE中，CE=，折痕CD的长为2×=（cm）【点评】作出辅助线，构造直角三角形，根据对称性，利用勾股定理解答5、(2016·上海闵行区·二模)点P为O内一点，过点P的最长的弦长为10cm，最短的弦长为8cm，那么OP的长等于3cm【考点】垂径定理；勾股定理【分析】根据直径是圆中最长的弦，知该圆的直径是10cm；最短弦即是过点P且垂直于过点P的直径的弦；根据垂径定理即可求得CP的长，再进一步根据勾股定理，可以求得OP的长【解答】解：如图所示，CD AB于点P根据题意，得AB=10cm，CD=8cm CD AB， CP=CD=4cm根据勾股定理，得OP=3（cm）故答案为：3【点评】此题综合运用了垂径定理和勾股定理正确理解圆中，过一点的最长的弦和最短的弦6、 （2016·吉林东北师范大学附属中学·一模）如图，是的直径，点在上（点不与重合），过点作的切线交的延长线于点，连结若，则的度数是 °答案：407、（2016·江苏常熟·一模）如图，在 ABC中，AB=AC=5cm，cosB=如果O的半径为cm，且经过点B，C，那么线段AO=5cm【考点】垂径定理；等腰三角形的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义【专题】压轴题【分析】利用三角函数求BD的值，然后根据勾股定理求出AD，OD的值最后求AO【解答】解：连接BO，设OA与BC交于点D，根据题意，得OA垂直平分BCAB=AC=5cm，cosB=，BD=3根据勾股定理得AD=4；OD=1AO=AD+OD=5，故答案为5【点评】考查了锐角三角函数的概念、勾股定理8、（2016·江苏省南京市钟爱中学·九年级下学期期初考试）当点A（1，2），B（3，3），C（m，n）三点可以确定一个圆时，m，n需要满足的条件答案：5m+2n99、（2016·天津南开区·二模）如图，已知AB是O的直径，弦CDAB，AC=2，BC=1，那么cosABD的值是 考点：与圆有关的概念及性质答案：试题解析：AB是O的直径，ACB=90°，AB=3，CDAB，ABD=ABC，cosABD=cosABC= =，故答案为 ：10、(2016·四川峨眉 ·二模）O的半径为，是互相垂直的两条直径，点是圆周上一动点，过点作于点，于点，连结，点是的中点，当点从点出发沿圆周顺时针运动一周回到点时，点走过的路径长为： .答案：11、（2016·辽宁丹东七中·一模）如图，AB是O的直径，点C、D都在O上，若C=20°，则ABD的度数等于 答案：70º 12、(2016·新疆乌鲁木齐九十八中·一模)如图，在O中，AB为直径，C、D为O上两点，若 C=25°，则ABD=65°【考点】圆周角定理【专题】推理填空题【分析】由已知可求得 A的度数，再根据圆周角定理及三角形内角和定理即可求得 ABD的度数【解答】解：连接AD C=25°（已知）， C= A=25°； AB是O的直径， ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）， ABD=90°25°=65°故答案是：65°【点评】本题考查了圆周角定理解答该题时，需熟练运用圆周角定理及其推论13、(2016·云南省曲靖市罗平县·二模)如图，O是 ABC的外接圆，若AB=OA=OB，则 C等于30°【考点】圆周角定理；等边三角形的判定与性质【专题】计算题【分析】先判断 OAB为等边三角形，则AOB=60°，然后根据圆周角定理求 C的度数【解答】解： AB=OA=OB， OAB为等边三角形， AOB=60°， C= AOB=30°故答案为30【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半也考查了等边三角形的性质14、(2016·云南省·一模)如图，AD是O的直径，弦BC AD，连接AB、AC、OC，若 COD=60°，则 BAD=30°【考点】垂径定理；圆周角定理【分析】根据圆周角定理得到 DAC的度数，根据垂径定理得到答案【解答】解： COD=60°， DAC=30°， AD是O的直径，弦BC AD， =， BAD=DAC=30°，故答案为：30°【点评】本题考查的是垂径定理和圆周角定理，垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧、等弧所对的圆周角相等是解题的关键三、解答题1、如图，是的直径、是延长线上一点，与相切于点,于点.(1)求证:平分;(2)若=4，. 求的长; 求出图中阴影部分的面积.答案：解: (1)如图，连接， 所以平分. (2)=. .2、（2016青岛一模）如图，AB是O的直径， ABC=70°，则 D的度数为20°【考点】圆周角定理【分析】由AB是O的直径，可得 ACB=90°，然后由圆周角定理，可求得 D的度数【解答】解： AB是O的直径， ACB=90°， ABC=70°， A=90° ABC=20°， D= A=20°故答案为：20°3、（2016枣庄41中一模）如图，在 ABC中，以AB为直径的O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且AC=CF， CBF= CFB（1）求证：直线BF是O的切线；（2）若点D，点E分别是弧AB的三等分点，当AD=5时，求BF的长和扇形DOE的面积；（3）填空：在（2）的条件下，如果以点C为圆心，r为半径的圆上总存在不同的两点到点O的距离为5，则r的取值范围为55r5+5【考点】切线的判定；扇形面积的计算【分析】（1）根据直角三角形的判定证明 ABF=90°即可；（2）连接DO，EO，根据题意证明 AOD是等边三角形，得到 ABC是等边三角形，根据勾股定理求出BF的长，根据扇形面积公式：求出扇形DOE的面积；（3）求出圆心距OC=5，根据题意解答即可【解答】（1）证明： CBF= CFB， CB=CF，又 AC=CF， CB=AF， ABF是直角三角形， ABF=90° 直线BF是O的切线；（2）解：连接DO，EO， 点D，点E分别是弧AB的三等分点， AOD=60°，又 OA=OD， AOD是等边三角形， OAD=60°，又 ABF=90°，AD=5， AB=10， BF=10；扇形DOE的面积=；（3）解：连接OC，则圆心距OC=5，由题意得，55r5+5，故答案为：55r5+54、(2016·山东枣庄·模拟)如图，已知 ABC内接于O，且AB=AC，直径AD交BC于点E，F是OE上的一点，使CF BD（1）求证：BE=CE；（2）试判断四边形BFCD的形状，并说明理由；（3）若BC=8，AD=10，求CD的长【考点】垂径定理；勾股定理；菱形的判定【分析】（1）证明 ABD ACD，得到 BAD= CAD，根据等腰三角形的性质即可证明；（2）菱形，证明 BFE CDE，得到BF=DC，可知四边形BFCD是平行四边形，易证BD=CD，可证明结论；（3）设DE=x，则根据CE2=DEAE列方程求出DE，再用勾股定理求出CD【解答】（1）证明： AD是直径， ABD= ACD=90°，在Rt ABD和Rt ACD中， Rt ABD Rt ACD， BAD= CAD， AB=AC， BE=CE；（2）四边形BFCD是菱形证明： AD是直径，AB=AC， AD BC，BE=CE， CF BD， FCE= DBE，在 BED和 CEF中， BED CEF， CF=BD， 四边形BFCD是平行四边形， BAD= CAD， BD=CD， 四边形BFCD是菱形；（3）解： AD是直径，AD BC，BE=CE， CE2=DEAE，设DE=x， BC=8，AD=10， 42=x（10x），解得：x=2或x=8（舍去）在Rt CED中，CD=2【点评】本题主要考查了圆的有关性质：垂径定理、圆周角定理，三角形全等的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，三角形相似的判定与性质，熟悉圆的有关性质是解决问题的关键5、(2016·上海普陀区·一模)如图，已知AD是O的直径，AB、BC是O的弦，AD BC，垂足是点E，BC=8，DE=2，求O的半径长和sin BAD的值【考点】垂径定理；解直角三角形【分析】设O的半径为r，根据垂径定理求出BE=CE=BC=4，AEB=90°，在Rt OEB中，由勾股定理得出r2=42+（r2）2，求出r求出AE，在Rt AEB中，由勾股定理求出AB，解直角三角形求出即可【解答】解：设O的半径为r， 直径AD BC， BE=CE=BC=4，AEB=90°，在Rt OEB中，由勾股定理得：OB2=0E2+BE2，即r2=42+（r2）2，解得：r=5，即O的半径长为5， AE=5+3=8， 在Rt AEB中，由勾股定理得：AB=4， sin BAD=【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，解直角三角形的应用，能根据垂径定理求出BE是解此题的关键6、(2016·上海浦东·模拟)（本题满分10分）如图，AB是O的弦，C是AB上一点，AOC=90°，OA=4，OC=3，求弦AB的长解：过点O作ODAB于D在RtAOC中，AC = 5在RtAOC中， ；在RtADO中， 所以，.因为在O中，ODAB，所以AB=2AD=，所以AB= 7、（2016·天津市南开区·一模）如图，AB是O的直径，C，P是上两点，AB=13，AC=5（1）如图（1），若点P是的中点，求PA的长；（2）如图（2），若点P是的中点，求PA的长【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理【专题】几何综合题【分析】（1）根据圆周角的定理， APB=90°，P是弧AB的中点，所以三角形APB是等腰三角形，利用勾股定理即可求得（2）根据垂径定理得出OP垂直平分BC，得出OP AC，从而得出 ACB 0NP，根据对应边成比例求得ON、AN的长，利用勾股定理求得NP的长，进而求得PA【解答】解：（1）如图（1）所示，连接PB， AB是O的直径且P是的中点， PAB= PBA=45°， APB=90°，又 在等腰三角形 APB中有AB=13， PA=（2）如图（2）所示：连接BCOP相交于M点，作PN AB于点N， P点为弧BC的中点， OPBC， OMB=90°，又因为AB为直径 ACB=90°， ACB=OMB， OP AC， CAB= POB，又因为 ACB= ONP=90°， ACB 0NP =，又 AB=13 AC=5 OP=，代入得 ON=， AN=OA+ON=9 在Rt OPN中，有NP2=0P2ON2=36在Rt ANP中 有PA=3 PA=3【点评】本题考查了圆周角的定理，垂径定理，勾股定理，等腰三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，作出辅助线是本题的关键8、(2016·山西大同 ·一模）如图，已知：AB是的弦，CD是的直径，CDAB，垂足为E，且点E是OD的中点，的切线BM与AO的延长线相交于点M，连接AC、CM（1）若AB=，求的半径及弧AB的长度.（2）求证：四边形ABMC是菱形.答案：解（1）连接OB OA=OB，E是AB的中点 AOE=BOE, OEAB 又OE=OA OAB=30°，AOE=60°设AO为x，则OE=xx=4弧AB长l= （2）由（1）OAB=OBA=30° BOM=COM=60°，AMB=30°AB=BM在COM和BOM中 OC=OB COM=BOM OM=OMCOMBOM（SAS）CM=BM=ABABCMABCD是菱形9、（2016·河北石家庄·一模）先阅读材料，再解答问题：小明同学在学习与圆有关的角时了解到：在同圆或等圆中，同弧（或等弧）所对的圆周角相等如图，点A、B、C、D均为O上的点，则有 C= D小明还发现，若点E在O外，且与点D在直线AB同侧，则有 D E请你参考小明得出的结论，解答下列问题：（1）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，7），点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（3，0）在图1中作出 ABC的外接圆（保留必要的作图痕迹，不写作法）；若在x轴的正半轴上有一点D，且 ACB= ADB，则点D的坐标为（7，0）；（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，m），点B的坐标为（0，n），其中mn0点P为x轴正半轴上的一个动点，当 APB达到最大时，直接写出此时点P的坐标【考点】圆的综合题【分析】（1）作出 ABC的两边的中垂线的交点，即可确定圆心，则外接圆即可作出；D就是中所作的圆与x轴的正半轴的交点，根据作图写出坐标即可；（2）当以AB为弦的圆与x轴正半轴相切时，对应的 APB最大，根据垂径定理和勾股定理即可求解【解答】解：（1）根据图形可得，点D的坐标是（7，0）；（2）当以AB为弦的圆与x轴正半轴相切时，作CD y轴，连接CP、CB A的坐标为（0，m），点B的坐标为（0，n）， D的坐标是（0，），即BC=PC=，在直角 BCD中，BC=，BD=，则CD=，则OP=CD=，故P的坐标是（，0）【点评】本题考查了垂径定理以及勾股定理，正确理解当以AB为弦的圆与x轴正半轴相切时，对应的APB最大，是关键10、 （2016·广东·一模）（本题满分10分）定义：数学活动课上，乐老师给出如下定义：有一组对边相等而另一组对边不相等的凸四边形叫做对等四边形理解：（1）如图1，已知A、B、C在格点（小正方形的顶点）上，请在方格图中画出以格点为顶点，AB、BC为边的两个对等四边形ABCD；（2）如图2，在圆内接四边形ABCD中，AB是O的直径，AC=BD求证：四边形ABCD是对等四边形；（3）如图3，在RtPBC中，PCB=90°，BC=11，tanPBC=，点A在BP边上，且AB=13用圆规在PC上找到符合条件的点D，使四边形ABCD为对等四边形，并求出CD的长解：（1）如图1所示（画2个即可） （2）如图2，连接AC，BD，AB是O的直径，ADB=ACB=90°，在RtADB和RtACB中， RtADBRtACB，AD=BC，又AB是O的直径，ABCD，四边形ABCD是对等四边形（3）如图3，点D的位置如图所示：若CD=AB，此时点D在D1的位置，CD1=AB=13；若AD=BC=11，此时点D在D2、D3的位置，AD2=AD3=BC=11，过点A分别作AEBC，AFPC，垂足为E，F，设BE=x，tanPBC=，AE=，在RtABE中，AE2+BE2=AB2，即，解得：x1=5，x25（舍去），BE=5，AE=12，CE=BCBE=6，由四边形AECF为矩形，可得AF=CE=6，CF=AE=12，在RtAFD2中，综上所述，CD的长度为13、12或12+11、（2016·广东深圳·一模）如图，在边长为2的圆内接正方形ABCD中，AC是对角线，P为边CD的中点，延长AP交圆于点E（1） E=45度；（2）写出图中现有的一对不全等的相似三角形，并说明理由；（3）求弦DE的长【考点】相似三角形的判定与性质；圆周角定理【专题】几何综合题【分析】由“同弧所对的圆周角相等”可知 E= ACD=45°， CAE= EDC，所以 ACP DEP；求弦DE的长有两种方法：一，利用ACPDEP的相似比求DE的长；二、过点D作DFAE于点F，利用Rt DFE中的勾股定理求得DE的长【解答】解：（1） ACD=45°， ACD= E， E=45°（2） ACP DEP，理由： AED=ACD， APC= DPE， ACP DEP（3）方法一： ACP DEP， P为CD边中点， DP=CP=1 AP=，AC=， DE=方法二：如图2，过点D作DF AE于点F，在Rt ADP中，AP=又 S ADP=ADDP=APDF， DF= DE=DF=【点评】此题主要考查相似三角形的判定及圆周角定理的运用