湖北省襄阳市高三第一次调研考试（数学理）.doc

2015年湖北省襄阳市高三第一次调研考试数学理【试卷综析】本试卷是高三理科试卷，以基础知识为载体，以基本能力测试为主导，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、兼顾覆盖面.试题重点考查：集合、复数、导数、函数模型、函数的性质、命题，数列等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份比较好的试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）【题文】1设全集U=R，M=x|x<-2或x>2，N=x|x<1或x3都是U的子集，则图中阴影部分所表示的集合是Ax|-2x<1 Bx|-2x2 Cx|1<x2） Dx|x<2【知识点】集合及其运算A1【答案】A【解析】图中阴影部分表示N（CUM），M=|x24=x|x2或x-2，CUM=x|-2x2，N（CUM）=-2x1【思路点拨】用集合M，N表示出阴影部分的集合；通过解二次不等式求出集合M；利用交集、补集的定义求出中阴影部分所表示的集合【题文】2直线2x+（m+1）y+4=0与直线mx+3y-2=O平行，则m=A-2 B-3 C2或-3 D-2或-3【知识点】两直线的位置关系H2【答案】B【解析】直直线l1：2x+（m+1）y+4=0与直线l2：mx+3y-2=0平行，解得m=2或-3，【思路点拨】根据两直线平行，且直线l2的斜率存在，故它们的斜率相等，解方程求得m的值【题文】3已知x、y满足不等式组，则z=x-y的最大值是A6 B4 CO D-2【知识点】简单的线性规划问题E5【答案】A【解析】由约束条件,作出可行域如图，联立，解得，A（5，-1）由z=x-y，得y=x-z，由图可知，当直线y=x-z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为5-（-1）=6【思路点拨】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数求得z=x-y的最大值【题文】4等差数列的前n项和为Sn若S19为一确定常数，下列各式也为确定常数的是 Aa2+an Ba2a17 Ca1+a10+a19 Da1a10a19【知识点】等差数列及等差数列前n项和D2【答案】C【解析】由S15= 为一确定常数，又a1+a10+a19=3a10，【思路点拨】S19为一确定常数可知a10为常数，从而可判断【题文】5抛物线y2=2px的焦点为F，M为抛物线上一点，若OFM的外接圆与抛物线的准线相切（O为坐标原点），且外接圆的面积为9，则p=A2 B4 C6 D8【知识点】抛物线及其几何性质H7【答案】B【解析】OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，圆面积为9，圆的半径为3，又圆心在OF的垂直平分线上，|OF|=，+ =3，p=4【思路点拨】根据OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，可得OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，由此可求p的值【题文】6若某多面体的三视图如右图所示，则此多面体外接球的表面积是A6 B C2 D3【知识点】空间几何体的三视图和直观图G2【答案】D【解析】三视图复原几何体如图：是正方体去掉一个角后的几何体，它的外接球就是展开为正方体的外接球，外接球的直径就是正方体的体对角线的长度，体对角线的长度为：，所以外接球的半径为：；所以外接球的表面积为：=3【思路点拨】画出三视图复原后几何体是正方体去掉一个角后的几何体，如图，推断出几何体的外接球的直径，直接求出几何体的外接球的表面积【题文】7下列说法正确的是 A“f（O）=O”是“函数f（x）是奇函数”的充要条件 B“向量a，b，c，若a·b=a·c，则b=c”是真命题C函数f（x）=x-x在区间（，1）有零点，在区间（1，e）无零点D“若=，则sin=”的否命题是“若，则sin”【知识点】命题及其关系、充分条件、必要条件A2【答案】D【解析】A“f（O）=O”是“函数f（x）是奇函数”的既不充分也不必要条件，例如f（x）=是奇函数，f（x）=x2是偶函数，因此不正确；B若=，则()=0，可得( )，不一定”，是假命题不正确；Cf()=+10，f（1）=0，f（e）=-10，可得在区间（1，e）有零点，因此不正确；D“若=，则sin=的否命题是“若，则sin”，正确【思路点拨】A例如f（x）= 是奇函数，f（x）=x2是偶函数，即可判断出；B若=，则()=0，可得( )，不一定 ；Cf()=+10，f（1）=0，f（e）=-10，可得在区间（1，e）有零点，即可判断出；D利用否命题的定义即可判断出【题文】8某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）别为L1=506x-015x2和L2=2x，其中x为销售量（单位：辆）若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为 445606万元 B456万元 C4556万元 D4551万元【知识点】函数模型及其应用B10【答案】B【解析】依题意，可设甲销售x辆，则乙销售（15-x）辆，总利润S=5.06x-0.15x2+2（15-x）=-0.15x2+3.06x+30（x0）当x=10.2时，S取最大值,又x必须是整数，故x=10，此时Smax=45.6（万元）【思路点拨】先根据题意，设甲销售x辆，则乙销售（15-x）辆，再列出总利润S的表达式，是一个关于x的二次函数，最后求此二次函数的最大值即可【题文】9如图，已知椭圆C1：+y2=1，双曲线C2：+=1（a>0，b>0），若以C1的长轴为直径的圆与C2的一条渐近线交于A、B两点，且C1与该渐近线的两交点将线段AB三等分，则C2的离心率为 A B5 C D【知识点】单元综合H10【答案】A【解析】双曲线C2：-=1（a0，b0）的一条渐近线方程为y=x，以C1的长轴为直径的圆的方程为x2+y2=11，联立渐近线方程和圆的方程，可得交点A（，），B（-，-），联立渐近线方程和椭圆C1：+y2=1，可得交点C（，），D（-，），由于C1与该渐近线的两交点将线段AB三等分，则|AB|=3|CD|，即有=，化简可得，b=2a，则c=a，则离心率为e=【思路点拨】求出一条渐近线方程，联立直线方程和圆的方程、椭圆方程，求得交点，再由两点的距离公式，将|AB|=3|CD|，化简整理，即可得到b=2a，再由a，b，c的关系和离心率公式，即可得到结论【题文】1O若a、b是方程x+lgx=4，x+10x=4的解，函数f（x）= ，则关于x的方程，f（x）=x的解的个数是A1 B2 C3 D4【知识点】函数与方程B9【答案】C【解析】a满足x+lgx=4，b满足x+10x=4，a，b分别为函数y=4-x与函数y=lgx，y=10x图象交点的横坐标由于y=x与y=4-x图象交点的横坐标为2，函数y=lgx，y=10x的图象关于y=x对称a+b=4函数f（x）=当x0时，关于x的方程f（x）=x，即x2+4x+2=x，即x2+3x+2=0，x=-2或x=-1，满足题意当x0时，关于x的方程f（x）=x，即x=2，满足题意关于x的方程f（x）=x的解的个数是3【思路点拨】先根据a满足x+lgx=4，b满足x+10x=4，可得a+b=4，进而可分类求出关于x的方程f（x）=x的解，从而确定关于x的方程f（x）=x的解的个数二填空题（本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上。答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。）（一）必考题（11-14题）【题文】11已知幂函数y=f（x）图象过点（2，），则，f（9）= 【知识点】幂函数与函数的图像B8【答案】3【解析】由题意令y=f（x）=xa，由于图象过点（2，），得 =2a，a=y=f（x）=f（9）=3【思路点拨】先由幂函数的定义用待定系数法设出其解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求f（9）的值【题文】12已知=1+，则tan2= 【知识点】同角三角函数的基本关系式与诱导公式C2【答案】1【解析】=1+，即有=-1，即为tan=-1则tan2=1【思路点拨】运用同角的商数关系以及二倍角的正切公式，计算即可得到所求值【题文】13已知x>-1，y>0且满足x+2y=1，则+的最小值为 【知识点】基本不等式E6【答案】【解析】x-1，y0且满足x+2y=1，x+10，且（x+1）+2y=2，=+=当且仅当时取等号，故的最小值为【思路点拨】由题意可得x+10，且（x+1）+2y=2，可得=+，由基本不等式可得【题文】14若函数y=f（x）在定义域内给定区间a，b上存在xo（a<xo<b），满足f（xo）=，则称函数y=f（x）是a，b上的“平均值函数”，xo是它的一个均值点例如y=|x|是-2，2上的“平均值函数”，O就是它的均值点 （1）若函数，f（x）=x2-mx-1是-1，1上的“平均值函数”，则实数m的取值范围是 （2）若f（x）=x是区间a，b（b>a1）上的“平均值函数”，xo是它的一个均值点，则xo与的大小关系是 【知识点】单元综合B14【答案】(1) (0，2) (2)【解析】(1)函数f（x）=-x2+mx+1是区间-1，1上的平均值函数，关于x的方程-x2+mx+1=在（-1，1）内有实数根由-x2+mx+1=x2-mx+m-1=0，解得x=m-1，x=1又1（-1，1）x=m-1必为均值点，即-1m-110m2所求实数m的取值范围是0m2（2）解：由题知lnx0=猜想：lnx0，证明如下：，令t=1，原式等价于t+lnt2t-2lnt-令h（t）=2lnt-t+，则h（t）=，h（t）=2lnt-t+h（1）=0，得证lnx0【思路点拨】（1）函数f（x）=x2-mx-1是区间-1，1上的平均值函数，故有x2-mx-1=在（-1，1）内有实数根，求出方程的根，让其在（-1，1）内，即可求出实数m的取值范围（2）（2）猜想判断，换元转化为h（t）=2lnt-t+，利用导数证明，求解出最值得出）=2lnt-t+ h（1）=0，（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑如果全选，则按第15题作答结果计分。）【题文】15（选修4-1：几何证明选讲）如图，圆O的直径AB与弦CD交于点P，CP=，PD=5，AP=1，则DCB= 【知识点】选修4-1 几何证明选讲N1【答案】45°【解析】由相交弦定理可得：CPPD=APPB，PB=×5=7直径2R=AP+PB=1+7=8，半径R=4OP=OA-AP=4-1=3连接DO，在ODP中，OP2+OD2=32+42=52=PD2，POD=90°连接BD，由等腰直角DOB可得：DB=R由正弦定理可得：=2R，sinDCB= ，由图可知：DCB为锐角，DCB=45°【思路点拨】利用相交弦定理可得：CPPD=APPB，可得PB=7由直径2R=AP+PB=1+7=8，可求得半径R=4，OP=OA-AP=4-1=3连接DO，在ODP中，OP2+OD2=32+42=52=PD2，利用勾股定理的逆定理可得POD=90°连接BD，由等腰直角DOB可得DB=R利用正弦定理可得：=2R，由图可知：DCB为锐角，即可求出【题文】16（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）；以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，则直线l和曲线C的公共点有 【知识点】选修4-4 参数与参数方程N3【答案】1【解析】由直线l的参数方程（t为参数），消去参数t可得：直线的普通方程为x-y+4=0由曲线C的极坐标方程为，化为2=4(sin+cos)，x2+y2=4x+4y，配方为（x-2）2+（y-2）2=8，圆心为C（2，2），半径r=2圆心C到直线的距离为d=2=r，直线l和曲线C相切，公共点只有1个【思路点拨】把参数方程极坐标方程分别化为普通方程，再利用点到直线的距离公式得出圆心到直线的距离与半径的关系即可得出三解答题（本大题共6小题，满分75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）【题文】17（本大题满分l2分）定义在区间-，上的函数y=f（x）的图象关于直线x=对称，当x-，时函数f（x）=Asin（）（A>O，>0，O<<）图象如图所示（1）求函数y=f（x）的表达式；（2）设，若，f（）=，求sin（2+）的值【知识点】三角函数的图象与性质C3【答案】(1) （2）【解析】(1)解：当时，由图象知：A = 2， ，故又过，函数y = f (x)的图象关于直线对称，当时， (2)解：，由得：因此，【思路点拨】根据三角函数性质求出函数解析式，利用两角和的关系求出结果。【题文】18（本大题满分12分）数列中，已知a1=1，n2时，=数列bn满足：bn=（1）求证：数列bn是等差数列；（2）求数列的前n项和Sn【知识点】等差数列及等差数列前n项和D2【答案】(1)略（2）【解析】(1)证：由得：即又数列bn是首项为2，公差为2的等差数列 (2)解：由(1)知，记，则两式相减得：因此，【思路点拨】根据等差数列的定义证明等差数列，利用错位相减求出前n项和。【题文】19（本大题满分12分） 设f（x）=-a（x+1）(e是自然对数的底数，e=271828），且f（0）=0 （1）求实数a的值，并求函数f（x）的单调区间； （2）设g（x）= f（x）-f（-x），对任意x1、x2R（x1x2），恒有>m成立，求实数m的取值范围【知识点】导数的应用B12【答案】(1) f (x)的单调递增区间为(0，+)；单调递减区间为(，0) （2）m0【解析】(1)解：，a = 1令得：x > 0；令得：x < 0 f (x)的单调递增区间为(0，+)；单调递减区间为(，0) (2)解：当x1 < x2时，有： 当x1 > x2时，有：令，则F(x)在R上单调递增，即在R上恒成立而(当且仅当x = 0时取“=”)m0【思路点拨】求出导数确定单调性，根据单调性求出 最值求出m的范围。【题文】20（本大题满分12分）在三棱锥P-ABC中，PA底面ABC，AD平面PBC，其垂足D落在直线PB上，（1）求证：BCPB；（2）若AD=，AB=BC=2，Q为AC的中点，求二面角Q-PB-C的余弦值【知识点】单元综合G12【答案】(1)略（2）【解析】(1)证：PA平面ABC，BC在平面ABC内，PABC 又AD平面PBC，BC在平面ABC内 ，ADBCPA、AD在平面PAB内且相交于A，BC平面PAB而PB在平面PAB内，BCPB(2)解：由(1)知BC平面PAB，AB在平面PAB内，BCABAD平面PBC，其垂足D落在直线PB上，ADPB 设PA = x，则BxPACDQzy以为x轴、z轴建立空间直角坐标系，则B(2，0，0)，Q(1，1，0)，P(0，0，)，C(2，2，0)设平面PBQ的法向量为n = (x，y，z)，则在RtABD中，AB = 2，则BD = 1 由已知是平面PBC的法向量二面角QPBC的余弦值为 【思路点拨】根据线面垂直证明线线垂直，建立空间坐标系求出法向量在求出余弦值。【题文】21（本大题满分13分） 已知曲线x2=-y+8与x轴交于A、B两点，动点P与A、B连线的斜率之积为-（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）MN是动点P的轨迹C的一条弦，且直线OM、ON的斜率之积为-求OM·ON的最大值；求OMN的面积【知识点】椭圆及其几何性质H5【答案】(1) （2）【解析】(1)解：在方程中令y = 0得：A(，0)，B(，0)设P(x，y)，则整理得：动点P的轨迹C的方程为(2)解：设直线MN的方程为：y = kx + m，M(x1，y1)，N(x2，y2)由 得： ，即 当直线MN的斜率不存在时，设M(x1，y1)，则N(x1，y1)则又， 的最大值为2当直线MN的斜率不存在时， OMN的面积为 【思路点拨】利用动点P与A、B连线的斜率之积为-求出方程，由 得：根据根与系数的关系求出面积。【题文】22（本大题满分14分）已知函数f（x）=ln（x+1），g（x）=x2+bx+1（b为常数），h（x）=f（x）-g（x）（1）若存在过腰点的直线与函数f（x）、g（x）的图象相切，求实数b的值；（2）当b=-2时，、x20，1使得h（x1）-h（x2）M成立，求M的最大值；（3）若函数h（x）的图象与x轴有两个不同的交点A（x1，0）、B（x2，0），且0<x1<x2，求证：h（）<0【知识点】导数的应用B12【答案】(1) b =1或b = 3（2）1 + ln2（3）略【解析】(1)解：， f (x)在点(0，f (0)处的切线方程为y = x由得： y = x与函数g (x)的图象相切，b =1或b = 3(2)解：当b =2时，当x0，1时，h (x)在0，1上单调递增$x1、x20，1使得h (x1)h (x2)M成立M的最大值是1 + ln2(3)证：因为h (x)的图象与x轴交于两个不同的点A (x1，0)、B(x2，0)所以方程的两个根为x1、x2，故两式相减得：要证：，即也就是令，则在(0，1)上恒成立又0 < t < 1， 因此u (t)在(0，1)上是增函数，则u (t) < u (1) = 0，即故，即成立【思路点拨】根据导数的几何意义求出方程，根据单调性求出最大值再证明结果。