《几何与代数》期中试卷(答案)729617751115083223.doc

北 京 交 通 大 学2012-2013学年 第一学期 几何与代数 期中考试卷(A) 答案一填空题（本题满分24分，共8道小题，每道小题3分，少填、多填或填错均不得分）1设矩阵，且，则，2向量，满足，则内积 3若三点，共线，则、45设、为阶方阵，且，则6若4阶行列式，则7是矩阵，其秩，则8阶行列式二应用题（每题8分，共40分）9计算阶行列式解：10已知，证明：及都可逆，并求及解：由，得，因此，可逆，且 ； 由，得，因此，可逆，且 11当为何值时，线性方程组 有唯一解，并求出该解解：线性方程组的增广矩阵 因此，当且时，方程组有唯一解，且 因此， 12已知向量为单位向量，垂直于，垂直于，试求向量与向量的夹角解：由条件，得 即 得，故， 因此，13设阶方阵满足：证明：可以表示成个秩为的矩阵之和解：由已知，存在阶可逆阵、，使得 因此， 且，三应用题（每题12分，共36分）14求通过直线且垂直于的平面方程解：显然，待求平面过点，而其法向量及，即 故所求平面方程为 或 15平面与是否相交？若相交，求出它们的交线在平面上的投影的直线方程；若不相交，请给出证明解：因为，因此，与相交设交线为，并设为通过直线且垂直于的平面，则交线在平面上的投影直线就是与的交线设通过直线的平面的方程为 ，即 由于与垂直，故 ，解得，因此，得平面的方程为 ：，因此，所求投影直线方程为 16已知矩阵 ， ，且矩阵满足：，其中为三阶单位阵，求解：化简矩阵方程，有 ，即 由于 ，所以可逆，且 所以，附加题：（满分10分）已知阶方阵，下列等式是否成立，若成立，证明之；若不成立，说明原因或给出其成立的条件解：成立因为