考研数学汇编.doc

第一部分：考研数学真题近十年考题路线分析(高数部分)第二部分：2011考研高数基础知识第三部分：新东方考研数学汇编考研数学真题近十年考题路线分析(高数部分)以下给出了高等数学每章近10年（1997-2006）的具体考题题型，可以使考生清晰地了解和把握各章出题的方式、命题的频率及其分值比重，在全面复习的过程中，也不失对重点知识的明确和强化。 高等数学（10年考题总数：117题 总分值：764分 占三部分题量之比重：53%占三部分分值之比重：60%）第一章 函数、极限、连续（10年考题总数：15题 总分值：69分 占第一部分题量之比重：12%占第一部分分值之比重：9%）题型 1 求1型极限（一（1），2003）题型 2 求0/0型极限（一（1），1998；一（1），2006）题型 3 求-型极限（一（1），1999）题型 4 求分段函数的极限（二（2），1999；三，2000）题型 5 函数性质（奇偶性，周期性，单调性，有界性）的判断（二（1），1999；二（8），2004）题型 6 无穷小的比较或确定无穷小的阶（二（7），2004）题型 7 数列极限的判定或求解（二（2），2003；六（1），1997；四，2002；三（16），2006）题型 8 求n项和的数列极限（七，1998）题型 9 函数在某点连续性的判断（含分段函数）（二（2），1999）第二章 一元函数微分学（10年考题总数：26题 总分值：136分 占第一部分题量之比重：22%占第一部分分值之比重：17%）题型 1 与函数导数或微分概念和性质相关的命题（二（7），2006）题型 2 函数可导性及导函数的连续性的判定（五，1997；二（3），2001；二（7），2005）题型 3 求函数或复合函数的导数（七（1），2002）题型 4 求反函数的导数（七（1），2003）题型 5 求隐函数的导数 （一（2），2002）题型 6 函数极值点、拐点的判定或求解（二（7），2003）题型 7 函数与其导函数的图形关系或其他性质的判定（二（1），2001；二（3），2002）题型 8 函数在某点可导的判断（含分段函数在分段点的可导性的判断）（二（2），1999）题型 9 求一元函数在一点的切线方程或法线方程（一（3），1997；四，2002；一（1），2004）题型 10 函数单调性的判断或讨论（八（1），2003；二（8），2004）题型11不等式的证明或判定（二（2），1997；九，1998；六，1999；二（1），2000；八（2），2003；三（15），2004）题型12在某一区间至少存在一个点或两个不同的点使某个式子成立的证明（九，2000；七（1），2001；三（18），2005）题型 13 方程根的判定或唯一性证明（三（18），2004）题型 14 曲线的渐近线的求解或判定（一（1），2005）第三章 一元函数积分学（10年考题总数：12题 总分值：67分 占第一部分题量之比重：10%占第一部分分值之比重：8%）题型 1 求不定积分或原函数（三，2001；一（2），2004）题型 2 函数与其原函数性质的比较（二（8），2005）题型 3 求函数的定积分（二（3），1997；一（1），2000；三（17），2005）题型4 求变上限积分的导数（一（2），1999；二（10），2004）题型 5 求广义积分（一（1），2002）题型6 定积分的应用（曲线的弧长，面积，旋转体的体积，变力做功等）（七，1999；三，2003；六，2003）第四章 向量代数和空间解析几何（10年考题总数：3题 总分值：15分 占第一部分题量之比重：2%占第一部分分值之比重：1%）题型 1 求直线方程或直线方程中的参数（四（1），1997）题型2求点到平面的距离（一（4），2006）题型 3 求直线在平面上的投影直线方程（三，1998）题型4 求直线绕坐标轴的旋转曲面方程（三，1998）第五章 多元函数微分学（10年考题总数：19题 总分值：98分 占第一部分题量之比重：16%占第一部分分值之比重：12%）题型1多元函数或多元复合函数的偏导的存在的判定或求解（二（1），1997；一（2），1998；四，2000；四，2001；二（9），2005；三（18（），2006）题型 2 多元隐函数的导数或偏导的求解或判定（三，1999；三（19），2004；二（10），2005）题型 3 多元函数连续、可导与可微的关系（二（2），2001；二（1），2002）题型4 求曲面的切平面或法线方程（一（2），2000；一（2），2003）题型5 多元函数极值的判定或求解（八（2），2002；二（3），2003；三（19），2004；二（10），2006）题型 6 求函数的方向导数或梯度或相关问题（八（1），2002；一（3），2005）题型7 已知一二元函数的梯度，求二元函数表达式（四，1998）第六章 多元函数积分学（10年考题总数：27题 总分值：170分 占第一部分题量之比重：23%占第一部分分值之比重：22%）题型 1 求二重积分（五，2002；三（15），2005；三（15），2006）题型 2 交换二重积分的积分次序（一（3），2001；二（10），2004；二（8），2006）题型 3 求三重积分（三（1），1997）题型 4 求对弧长的曲线积分（一（3），1998）题型5求对坐标的曲线积分（三（2），1997；六，1998；四，1999；五，2000；六，2001；六（2），2002；一（3），2004；三（19），2006）题型 6 求对面积的曲面积分（八，1999）题型 7 求对坐标的曲面积分（三（17），2004；一（4），2005；一（3），2006）题型 8 曲面积分的比较（二（2），2000）题型 9 与曲线积分相关的判定或证明（六（1），2002；五，2003；三（19（），2005）题型 10 已知曲线积分的值，求曲线积分中被积函数中的未知函数的表达式（六，2000；三（19（），2005题型 11 求函数的梯度、散度或旋度（一（2），2001）题型 12 重积分的物理应用题（转动惯量，重心等）（八，2000）第七章 无穷级数（10年考题总数：20题 总分值：129分 占第一部分题量之比重：17%占第一部分分值之比重：16%）题型1无穷级数敛散性的判定（六，1997；八，1998；九（2），1999；二（3），2000；二（2），2002；二（9），2004；三（18），2004；二（9），2006）题型 2 求无穷级数的和（九（1），1999；五，2001；七（2），2002；四，2003；三（16），2005）题型3求函数的幂级数展开或收敛域或判断其在端点的敛散性（一（2），1997；七，2000；五，2001；四，2003；三（16），2005；三（17），2006）题型 4 求函数的傅里叶系数或函数在某点的展开的傅里叶级数的值（二（3），1999；一（3）；2003）第八章 常微分方程（10年考题总数：15题 总分值：80分 占第一部分题量之比重：1%占第一部分分值之比重：10%）题型 1求一阶线性微分方程的通解或特解（六，2000；一（2），2005；一（2），2006；三（18（），2006）题型 2 二阶可降阶微分方程的求解（一（3），2000；一（3），2002）题型 3 求二阶齐次或非齐次线性微分方程的通解或特解（一（3），1999）题型 4 已知二阶线性齐次或非齐次微分方程的通解或特解，反求微分方程（一（1），2001）题型 5 求欧拉方程的通解或特解（一（4），2004）题型 6 常微分方程的物理应用（三（3），1997；五，1998；八，2001；三（16），2004）题型 7 通过求导建立微分方程求解函数表达式或曲线方程（四（2），1997；五，1999）考研数学真题近十年考题路线分析(线代部分)以下给出了线性代数每章近10年（1997-2006）的具体考题题型，可以使考生清晰地了解和把握各章出题的方式、命题的频率及其分值比重，在全面复习的过程中，也不失对重点知识的明确和强化。线性代数（10年考题总数：51题 总分值：256分 占三部分题量之比重：23%占三部分分值之比重：20%）第一章 行列式（10年考题总数：5题 总分值：18分 占第二部分题量之比重：9%占第二部分分值之比重：7%）题型 1 求矩阵的行列式（十（2），2001；一（5），2004；一（5），2005；一（5），2006）题型2判断矩阵的行列式是否为零（二（4），1999）第二章 矩阵（10年考题总数：8题 总分值：35分 占第二部分题量之比重：15%占第二部分分值之比重：13%）题型 1 判断矩阵是否可逆或求逆矩阵（八，1997）题型 2 解矩阵方程或求矩阵中的参数（一（4），1997；十，2000；一（4），2001）题型3 求矩阵的n次幂（十一（3），2000）题型4 初等矩阵与初等变换的关系的判定（二（11），2004；二（12），2006）题型5 矩阵关系的判定（二（12），2005）第三章 向量（10年考题总数：9题 总分值：33分 占第二部分题量之比重：17%占第二部分分值之比重：12%）题型1向量组线性相关性的判定或证明（十一，1998；二（4），2000；十一（2），2000；二（4），2003；二（12），2004；二（11），2005；二（11），2006）题型 2 根据向量的线性相关性判断空间位置关系或逆问题（二（4），1997；二（4），2002）第四章 线性方程组（共考过约11题， 约 67分）题型 1 齐次线性方程组基础解系的求解或判定（七（1），1997；九，2001）题型 2 求线性方程组的通解（十二，1998；九，2002；三（20（），2005）题型 3 讨论含参数的线性方程组的解的情况，如果方程组有解时求出通解（三（20），2004；三（21），2005）题型 4根据含参数的方程组的解的情况，反求参数或其他（一（4），2000；三（20），2006）题型 5 两个线性方程组的解的情况和它们的系数矩阵的关系的判定（一（5），2003）题型 6 直线的方程和位置关系的判定（十，2003）第五章 矩阵的特征值和特征向量（10年考题总数：13题 总分值：76分 占第二部分题量之比重：25%占第二部分分值之比重：29%）题型 1 求矩阵的特征值或特征向量（一（4），1999；十一（2），2000；九，2003；三（21（），2006）题型 2 已知含参数矩阵的特征向量或特征值或特征方程的情况，求参数（七（2），1997；三（21），2004）题型 3 已知伴随矩阵的特征值或特征向量，求矩阵的特征值或参数或逆问题（一（4），1998；十，1999）题型 4 将矩阵对角化或判断矩阵是否可对角化（七（2），1997；三（21），2004；三（21（），2006）题型 5 矩阵相似的判定或证明或求一个矩阵的相似矩阵（二（4），2001；十（1），2001）题型 6 矩阵相似和特征多项式的关系的证明或判定（十，2002）第六章 二次型（10年考题总数：5题 总分值：27分 占第二部分题量之比重：9%占第二部分分值之比重：10%）题型 1 化实二次型为标准二次型或求相应的正交变换（三（20（），2005）题型 2 已知一含参数的二次型化为标准形的正交变换，反求参数或正交矩阵（十，1998；一（4），2002）题型 3 已知二次型的秩，求二次型中的参数和二次型所对应矩阵的表达式（三（20（），2005）题型 4 矩阵关系合同的判定或证明（二（4），2001）题型 5 矩阵正定的证明（十一，1999考研数学真题近十年考题路线分析(概率部分)以下给出了概率论与数理统计每章近10年（1997-2006）的具体考题题型，可以使考生清晰地了解和把握各章出题的方式、命题的频率及其分值比重，在全面复习的过程中，也不失对重点知识的明确和强化。 概率论与数理统计（10年考题总数：52题 总分值：249分 占三部分题量之比重：23%占三部分分值之比重：19%）第一章 随机事件和概率（10年考题总数：7题 总分值：31分 占第三部分题量之比重：13%占第三部分分值之比重：12%）题型1求随机事件的概率（一（5），1997；一（5），1999；一（5），2000；十一（2），2003；一（6）；2005；三（22），2005）题型2随机事件的运算（二（13），2006）第二章 随机变量及其分布（10年考题总数：6题 总分值：25分 占第三部分题量之比重：11%占第三部分分值之比重：10%）题型 1 求一维离散型随机变量的分布律或分布函数（九，1997）题型 2 根据概率反求或判定分布中的参数（一（5），2002；二（14），2006）题型 3一个函数为某一随机变量的分布函数或分布密度的判定（一（5），2002）题型 4 求一维随机变量在某一区间的概率（一（6），2004）题型5求一维随机变量函数的分布（三（22（），2006）第三章 二维随机变量及其分布（10年考题总数：13题 总分值：59分 占第三部分题量之比重：25%占第三部分分值之比重：23%）题型1求二维离散型随机变量的联合分布律或分布函数或边缘概率分布（十一（2），2001；三（22（），2004；三（22），2005）题型 2 已知部分边缘分布，求联合分布律（十二，1999；二（13），2005）题型 3 求二维连续型随机变量的分布或分布密度或边缘密度函数（一（5），1998；三（22（），2006）题型 4 求两个随机变量的条件概率或条件密度函数（十一（1），2001）题型 5 两个随机变量的独立性或相关性的判定或证明（二（5），2000）题型 6 求两个随机变量的相关系数（三（22（），2004）题型 7 求二维随机变量在某一区域的概率（二（5），1999；一（5），2003；一（6），2006）第四章 随机变量的数字特征（10年考题总数：8题 总分值：43分 占第三部分题量之比重：15%占第三部分分值之比重：17%）题型 1 求随机变量的数学期望或方差（九，1997；十二，2000，十一（1），2003）题型 2 求随机变量函数的数学期望或方差（二（5），1997；十三，1998；十一，2002）题型 3 两个随机变量的协方差或相关系数的求解或判定（二（5），2001；二（14），2004）第五章 大数定律和中心极限定理（10年考题总数：1题 总分值：3分 占第三部分题量之比重：1%占第三部分分值之比重：1%）题型 1 利用切比雪夫不等式估计概率（一（5），2001）第六章 数理统计的基本概念（10年考题总数：17题 总分值：88分 占第三部分题量之比重：32%占第三部分分值之比重：35%）题型 1 求样本容量（十四，1998）题型 2 分位数的求解或判定（二（13），2004）题型3求参数的矩估计量或矩估计值或估计量的数字特征（十，1997；十三，2000；十二，2002；三（23（），2004）题型4求参数的最大似然估计量或估计值或估计量的数字特征（十，1997；十三，1999；十二，2002；三（23（），2004；三（23），2006）题型 5 总体或统计量的分布函数的判定或求解（二（6），2003；十二（1），2003；二（14），2005）题型 6 讨论统计量的无偏性，一致性或有效性（十二（3），2003）题型 7 求统计量的数学期望或方差或两个统计量的协方差（十二，2001；三（23），2005）题型 8 求单个正态总体均值的置信区间（一（6），2003）题型 9 显著性检验的判定（十五，1998）第三部分：2011考研数学解题快捷定理来源：万学教育发布时间：2010-05-18 10:15:46考研数学作为一门逻辑性非常强的学科，在学习上除了要学会举一反三，不断的通过大量做题提高自己的熟练程度之外，无疑在解题上还要掌握一定的答题技巧。下面，万学海文数学考研辅导专家就结合多年的辅导经验为广大2011年考研学生简单的归纳概括一下高数、现代、概率和数理统计几门科目的快捷定理，希望对考生们能够有所帮助。一、高等数学1.在题设条件中给出一个函数f(x)二阶和二阶以上可导，“不管三七二十一”，把f(x)在指定点展成泰勒公式。2.在题设条件或欲证结论中有定积分表达式时，则“不管三七二十一”先用积分中值定理对该积分式处理一下。3.在题设条件中函数f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=0或f(b)=0或f(a)=f(b)=0，则“不管三七二十一”先用拉格朗日中值定理处理。4.对定限或变限积分，若被积函数或其主要部分为复合函数，则“不管三七二十一”先做变量替换使之成为简单形式f(u)。二、线性代数1.题设条件与代数余子式Aij或A*有关，则立即联想到用行列式按行(列)展开定理以及AA*=A*A=|A|E 。2.若涉及到A、B是否可交换，即AB=BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。3.若题设n阶方阵A满足f(A)=0，要证aA+bE可逆，则先分解出因子aA+bE再说。4.若要证明一组向量a1,a2,as线性无关，先考虑用定义。5.若已知AB=0，则将B的每列作为Ax=0的解来处理。6.若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零。7.若已知A的特征向量0，则先用定义A0=00处理。8.若要证明抽象n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则用定义处理。三、概率与数理统计1.如果要求的是若干事件中“至少”有一个发生的概率，则马上联想到概率加法公式;当事件组相互独立时，用对立事件的概率公式。2.若给出的试验可分解成(0-1)的n重独立重复试验，则马上联想到Bernoulli试验，及其概率计算公式。3.若某事件是伴随着一个完备事件组的发生而发生，则马上联想到该事件的发生概率是用全概率公式计算。关键：寻找完备事件组。4.若题设中给出随机变量X N 则马上联想到标准化 N(0,1)来处理有关问题。5.求二维随机变量(X，Y)的边缘分布密度 的问题，应该马上联想到先画出使联合分布密度 的区域，然后定出X的变化区间，再在该区间内画一条/y轴的直线，先与区域边界相交的为y的下限，后者为上限，而 的求法类似。6.欲求二维随机变量(X，Y)满足条件Yg(X)或(Yg(X)的概率，应该马上联想到二重积分的计算，其积分域D是由联合密度 的平面区域及满足Yg(X)或(Yg(X)的区域的公共部分。7.涉及n次试验某事件发生的次数X的数字特征的问题，马上要联想到对X作(0-1)分解。即令8.凡求解各概率分布已知的若干个独立随机变量组成的系统满足某种关系的概率(或已知概率求随机变量个数)的问题，马上联想到用中心极限定理处理。以上就是为考生们简单归纳总结的考研数学做题时需要联想到的快捷定理，这些可以帮助考生在第一时间快速找到答题思路。当然，这些定理的使用还是要求大家在平时多通过做题来实现加以锻炼，还是那句老话，“熟能生巧”，只有熟练掌握这些定理才能更好的、更快速的解题。2010考研强化班高等数学讲义主讲：汪诚义欢迎使用新东方在线电子教材考研强化班高等数学讲义(一至三章)第一章 函数、极限、连续§1.1 函数(甲)内容要点一、函数的概念1函数的定义2分段函数3反函数4隐函数二、基本初等函数的概念、性质和图象三、复合函数与初等函数四、考研数学中常出现的非初等函数1用极限表示的函数(1) , 例 (2) ，例 2用变上、下限积分表示的函数(1) 其中连续，则(2) 其中可导，连续，则五、函数的几种性质1 有界性：设函数在X内有定义，若存在正数M，使都有，则称在X上是有界的。2 奇偶性：设区间X关于原点对称，若对，都有，则称在X上是奇函数。若对，都有，则称在X上是偶函数，奇函数的图象关于原点对称；偶函数图像关于轴对称。重要公式3 单调性：设在X上有定义，若对任意，都有 则称在X上是单调增加的单调减少的；若对任意，都有，则称在X上是单调不减单调不增（注意：有些书上把这里单调增加称为严格单调增加；把这里单调不减称为单调增加。）若在 内，4 周期性：设在X上有定义，如果存在常数，使得任意，都有，则称是周期函数，称T为的周期。由此可见，周期函数有无穷多个周期，一般我们把其中最小正周期称为周期。例(乙) 典型例题一、定义域与值域例1 设的定义域为（）求的定义域解：要求，则，当时，则当时，也即或例2 求并求它的反函数。解：，所以的值域为反函数二、求复合函数有关表达式例1 设，求 解：，若，则根据数学归纳法可知，对正整数，例2 已知，且，求解：令，因此，三、有关四种性质例1 设，则下列结论正确的是 （A）若为奇函数，则为偶函数（B）若为偶函数，则为奇函数（C）若为周期函数，则为周期函数（D）若为单调函数，则为单调函数例2 求解 是奇函数，是奇函数， 因此是奇函数于是例3 设是恒大于零的可导函数，且，则当时，下列结论成立的是 （A）（B）（C）（D）思考题：两个周期函数之和是否为周期函数例1例2四、函数方程例1设在上可导，反函数为，且，求。解：两边对求导得，于是，故，由，得，则。例2 设满足，求解：令，则，各式相加，得， 因此，于是或（k为整数）思考题设均为常数，求方程的一个解。§1.2 极限(甲)内容要点一、极限的概念与基本性质1极限的概念(1) 数列的极限(2) 函数的极限； ；2极限的基本性质定理1 （极限的唯一性 ） 设，则A=B定理2 （极限的不等式性质） 设，若变化一定以后，总有，则反之，则变化一定以后，有（注：当，情形也称为极限的保号性）定理3 （极限的局部有界性）设则当变化一定以后，是有界的。定理4 设，则（1）（2）（3）（4）（5） 二、无穷小量1无穷小量定义：若，则称为无穷小（注：无穷小与的变化过程有关，当时为无穷小，而或其它时，不是无穷小）2无穷大量定义：任给M>0，当变化一定以后，总有，则称为无穷大，记以。3无穷小量与无穷大量的关系：在的同一个变化过程中，若为无穷大量，则为无穷小量，若为无穷小量，且，则为无穷大量。4无穷小量与极限的关系：，其中5两个无穷小量的比较设，且（1），称是比高阶的无穷小量，记以 称是比低阶的无穷小量（2），称与是同阶无穷小量。（3），称与是等阶无穷小量，记以6常见的等价无穷小量，当时，。7无穷小量的重要性质有界变量乘无穷小量仍是无穷小量。三、求极限的方法1利用极限的四则运算和幂指数运算法则2两个准则准则1：单调有界数列极限一定存在(1) 若（为正整数）又（为正整数），则存在，且(2) 若（为正整数）又（为正整数），则存在，且准则2：夹逼定理设。若，则3两个重要公式公式1：公式2：；4用无穷小量重要性质和等价无穷小量代换5用泰勒公式（比用等价无穷小量更深刻）当时，例：6洛必达法则第一层次，直接用洛必达法则法则1：（型）设（1）（2）变化过程中，皆存在（3）（或）则（或）（注：如果不存在且不是无穷大量情形，则不能得出不存在且不是无穷大量情形）法则2：（型）设（1）（2）变化过程中，皆存在（3）（或）则（或）第二层次，间接用洛必达法则型和型例 第三层次：间接再间接用洛必达法则型、型、型7利用导数定义求极限基本公式：如果存在8利用定积分定义求极限基本公式如果存在9其它综合方法10求极限的反问题有关方法例：已知（乙）典型例题一、有关无穷小量例1 例2设当时，是比高阶的无穷小量，而又是比 高阶的无穷小量，则等于（ ）（A）1（B）2（C）3（D）4二、通过各种基本技巧化简后直接求出极限例1 设，求解：例2 设，求解： 特例 （1）求解：例2中取，可知原式（2）例3求解：分子、分母用除之，原式=（注：主要用当时，）例4 设是正整数，求解： 因此原式特例：（1） （）（2） （）三、用两个重要公式例1 求解：当，原式=1当时，原式=例2 求解一：解二：例3 =四、用夹逼定理求极限例1求解：令，则，于是由夹逼定理可知：，于是原极限为0例2 求解：而由夹逼定理可知例3 求解：设，则于是，由夹逼定理可知，五、用定积分定义求数列的极限例1求分析：如果还想用夹逼定理中的方法来考虑而，由此可见，无法再用夹逼定理，因此我们改用定积分定义来考虑解：例2 求解：而由夹逼定理可知，六、用洛必达法则求极限1型和型例1求解：离散型不能直接用洛必达法则，故考虑 原式例2求解：若直接用型洛必达法则1，则得=（不好办了，分母的次数反而增加）为了避免分子求导数的复杂性，我们先用变量替换，令于是（型）例3 设函数，求解：原式（分母作变量替换）（用洛必达法则，分子、分母各求导数）（用积分中值定理）（在0和之间）2型和型例1 求解：原式=例2 设，常数。求解：原式 （型）用洛必达法则3“”型，“”型和“”型这类都是形式可化为而都是“”型，按2的情形处理例1 求解：令， 例2 设，常数，求解：先考虑它是“”型令， （型）因此，于是，七、求分段函数的极限例 求解： 八、用导数定义求极限例1 设，求解：原式=例2 设曲线与在原点相切，求解：由题设可知，于是九、递推数列的极限例1 设，证明存在，并求其值。解：， （几何平均值算术平均值）用数学归纳法可知时， 有界。又当时， ，则单调增加。根据准则1，存在把两边取极限，得，（舍去）得， 思考题 设，求十、求极限的反问题例1 设，求和解：由题设可知，再由洛必达法则得例2 设在内可导，且满足，求。解：因此，由，可知则§1.3 连续(甲)内容要点一、函数连续的概念1函数在一点连续的概念定义1 若，则称在点处连续。定义2 设函数，如果，则称函数在点处左连续；如果，则称函数在点处右连续。如果函数在点处连续，则在处既是左连续，又是右连续。2函数在区间内（上）连续的定义如果函数在开区间（）内的每一点都连续，则称在内连续。如果在开区间内连续，在区间端点右连续，在区间端点左连续，则称在闭区间上连续。二、函数的间断点及其分类1函数的间断点的定义如果函数在点处不连续，则称为的间断点。2函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设是函数的间断点，如果在间断点处的左、右极限都存在，则称是的第一类间断点。第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。（2）第二类间断点第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点。常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。例如：是的可去间断点，是的跳跃间断点，是的无穷间断点，是的振荡间断点。三、初等函数的连续性1在区间I连续的函数的和、差、积及商（分母不为零），在区间I仍是连续的。2由连续函数经有限次复合而成的复合函数在定义区间内仍是连续函数。3在区间I连续且单调的函数的反函数，在对应区间仍连续且单调。4基本初等函数在它的定义域内是连续的。5初等函数在它的定义区间内是连续的。四、闭区间上连续函数的性质在闭区间a ,b上连续的函数，有以下几个基本性质，这些性质以后都要用到。定理1 （有界定理）如果函数f(x)在闭区间a, b上连续，则f(x)必在a, b上有界。定理2 （最大值和最小值定理）如果函数f(x)在闭区间a, b上连续，则在这个区间上一定存在最大值M和最小值m.其中最大值M和最小值m的定义如下：定义 设是区间上某点处的函数值，如果对于区间上的任一点，总有，则称为函数在上的最大值。同样可以定义最小值.定理3 （介值定理）如果函数在闭区间上连续，且其最大值和最小值分别为和，则对于介于和之间的任何实数，在上至少存在一个，使得推论：如果函数在闭区间上连续，且与异号，则在内至少存在一个点，使得这个推论也称零点定理。思考题：什么情况下能保证推论中的是唯一的？（乙）典型例题一、讨论函数的连续性由于初等函数在它的定义区间内总是连续的，所以，函数的连续性讨论多是指分段函数在分段点处的连续性。对于分段函数在分段点处的连续性，若函数在分段点两侧表达式不同时，需根据函数在一点连续的充要条件进行讨论。例1 讨论函数在点处的连续性。解 因 即有，故在点连续。二、间断点问题例1 设，在内有定义，为连续，且，有间断点，则下列函数中必有间断点的为（ ）（A）（B）（C）（D）例2 求的间断点，并判别其类型。解：当时，当时，当时，所以它是分段函数，分段点为，。所以皆是第一类间断点，（跳跃间断点）例3 求的间断点，并判别其类型。解：，考虑（用洛必达法则） 于是（整数）是间断点，是可去间断点。是第二类间断点。三、用介值定理讨论方程的根例1 证明五次代数方程在区间（1，2）内至少有一个根。证 由于函数是初等函数，因而它在闭区间上连续，而由于与异号，故在（1，2）中至少有一点，使就是说，五次代数方程在区间（1，2）内至少有一个根。例2 设在上连续，且，,证明 在内至少有一个根。证 令，可知在上连续。由介值定理的推论，可知在（）内至少有一个零点，即在内至少有一个根。例3 设在上连续，且。求证：在上至少存在一点使（正整数）证：令，则于是（）如果有为0，则已经证明 ，成立。（）如果全不为0， 则不可能同号，否则相加后不为0，矛盾。 所以其中一定有异号，不妨假设，与异号。根据介值定理推论存在使则，使成立。第二章 一元函数微分学§2.1 导数与微分（甲）内容要点一、导数与微分概念1、导数的定义设函数在点的某领域内有定义，自变量在处有增量，相应地函数增量。如果极限存在，则称此极限值为函数在处的导数（也称微商），记作，或，等，并称函数在点处可导。如果上面的极限不存在，则称函数在点处不可导。导数定义的另一等价形式，令，则我们也引进单侧导数概念。右导数：左导数：则有在点处可导在点处左、右导数皆存在且相等。2导数的几何意义与物理意义如果函数在点处导数存在，则在几何上表示曲线在点（）处的切线的斜率。切线方程：法线方程：设物体作直线运动时路程S与时间t的函数关系为，如果存在，则表示物体在时刻时的瞬时速度。3函数的可导性与连续性之间的关系如果函数在点处可导，则在点处一定连续，反之不然，即函数在点处连续，却不一定在点处可导。例如，在处连续，却不可导。4微分的定义设函数在点处有增量时，如果函数的增量有下面的表达式 （）其中为为无关，是时比高阶的无穷小，则称在处可微，并把中的主要线性部分称为在处的微分，记以