2004浙江11市中考数学专题18：综合问题.doc

2004-2013年浙江11市中考数学选择填空解答压轴题分类解析汇编专题18：综合问题一、选择题1.（2006年浙江绍兴4分）如图，正方形OABC，ADEF的顶点A，D，C在坐标轴上，点F在AB上，点B，E在函数的图象上，则点E的坐标是【】A; BC; D【答案】A。【考点】反比例函数的应用，曲线上点的坐标与方程的关系，二次根式的化简和大小比较。【分析】点E在函数上，E点的横纵坐标之积为1。 ， 点和不符合。 又由图可知E点的横坐标大于纵坐标，而，点不符合。 故选A。2.（2007年浙江台州5分）（1）善于思考的小迪发现：半径为，圆心在原点的圆（如图1），如果固定直径AB，把圆内的所有与轴平行的弦都压缩到原来的倍，就得到一种新的图形椭圆（如图2），她受祖冲之“割圆术”的启发，采用“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的方法正确地求出了椭圆的面积，她求得的结果为 （2）（本小题为选做题，做对另加3分，但全卷满分不超过150分）小迪把图2的椭圆绕轴旋转一周得到一个“鸡蛋型”的椭球已知半径为的球的体积为，则此椭球的体积为 【答案】（1）；（2）。【考点】转换思想的应用。【分析】（1）根据“化整为零，积零为整”、“化曲为直，以直代曲”的方法，结合圆的面积求法可知，椭圆的面积为。 （2）因为半径为a的球的体积为，所以椭球的体积为：。3.（2009年浙江舟山、嘉兴4分）如图，等腰ABC中，底边BC=a，A=36°，ABC的平分线交AC于D，BCD的平分线交BD于E，设k= ，则DE=【 】AB CD【答案】A。【考点】等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，二次根式化简。【分析】等腰ABC中，A=36°，BCD和CDE都是等腰三角形，且CBD=DCE=A=36°。CD=CE=BE，BD= BC=a，CDEBCD。设DE=x，则，即，解得：。DEBD，舍去。又k=，。故选A。4.（2008年浙江台州5分）善于归纳和总结的小明发现，“数形结合”是初中数学的基本思想方法，被广泛地应用在数学学习和解决问题中用数量关系描述图形性质和用图形描述数量关系，往往会有新的发现小明在研究垂直于直径的弦的性质过程中（如图，直径AB弦CD于E），设AE=x，BE=y，他用含x，y的式子表示图中的弦CD的长度，通过比较运动的弦CD和与之垂直的直径AB的大小关系，发现了一个关于正数x，y的不等式，你也能发现这个不等式吗？写出你发现的不等式 【答案】。【考点】动线问题，垂径定理，相交弦定理。【分析】直径AB弦CD于E，AE=x，BE=y， 根据垂径定理和相交弦定理，得，即。 又运动的弦CD最大时是过圆心O时，此时CD为圆O的直径，。 。5.（2009年浙江宁波3分）如图，点A、B、C在一次函数的图象上，它们的横坐标依次为，1，2，分别过这些点作轴与轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是【 】A1B3CD【答案】B。【考点】直线上点的坐标与方程的关系。【分析】如图，设ADy轴于点D；BEy轴于点E；BFCF于点F，由题意可得：A点坐标为（1，2m），B点坐标为（1，2m），C点坐标为（2，m4），D点坐标为（0，2m），E点坐标为（0，m），F点坐标为（0，2m），G点坐标为（1，m4），DE=EF=BG=2，AD=BE=GC=1。图中阴影部分的面积和等于。 故选B。6.（2009年浙江温州4分）一张等腰三角形纸片，底边长l5cm，底边上的高长22.5cm现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图所示已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是【 】 A第4张 B第5张 C.第6张 D第7张【答案】C。【考点】一元一次方程的应用（几何问题），正方形的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】设是第n个，则它的上边所在三角形的底边高是22.53n，底边是3，由三角形的相似性可知，解得n=6。故选C。7.（2009年浙江绍兴4分）如图，在x轴上有五个点，它们的横坐标依次为1，2，3，4，5分别过这些点作x轴的垂线与三条直线相交，其中a0则图中阴影部分的面积是【 】A12.5 B25 C12.5a D25a【答案】A。【考点】一次函数的性质，直线上点的坐标与方程的关系，转化和整体的思想的应用。【分析】根据等底等高的三角形、梯形面积相等的性质可知，图中阴影部分的面积是与，当x=5时所夹得三角形的面积，即：，故选A。8.（2009年浙江衢州3分）如图，ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(1，0)以点C为位似中心，在x轴的下方作ABC的位似图形，并把ABC的边长放大到原来的2倍，记所得的像是ABC设点B的对应点B的横坐标是a，则点B的横坐标是【 】A B CD【答案】D。【考点】中心对称，图形位似。【分析】如图，ABC变换为ABC的变换为：，点B 的横坐标是a还原为点B的横坐标的变换为：。故选D。9.（2010年浙江湖州3分）如图，已知在直角梯形AOBC中，ACOB，CBOB，OB18，BC12，AC9，对角线OC、AB交于点D，点E、F、G分别是CD、BD、BC的中点以O为原点，直线OB为x轴建立平面直角坐标系，则G、E、D、F四个点中与点A在同一反比例函数图象上的是【 】A点G B点E C点D D点F【答案】A。【考点】反比例函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，直角梯形的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】在直角梯形AOBC中，ACOB，CBOB，OB18，BC12，AC9，A（9，12）。设经过点A的反比例函数解析式为：，将A（9，12）代入得k108，反比例函数解析式：。过点D作DHOB于点H。由CBOB， BC12，AC9，根据勾股定理可得：AB=15。由ACOB可得ACDBOD，。由CBOB，DHOB可得ODHOCB，。D（12，8）。由D（12，8），B（18，0），C（18，12）可得：E（15，10），F（15，4），G（18，6）。分别将各点坐标代入验证，知点G在反比例函数的图像上。故选A。10.（2010年浙江舟山、嘉兴4分）如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为斜边并且在AB的同一侧作等腰直角ACD和BCE，连结AE交CD于点M，连结BD交CE于点N，给出以下三个结论：MNAB；MNAB，其中正确结论的个数是【 】A0 B1 C2 D3【答案】D。【考点】等腰直角三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，分式的变形，不等式的性质。【分析】ADC和BCE都是等腰直角三角形，ADC=DCE=CEB=90°。ADCE，DCEB。MN/BC。由得CMN为等腰直角三角形，MC =MN。又，即。由得， MNAB。都正确。故选D。11.（2010年浙江衢州、丽水3分）如图，四边形ABCD中，BAD=ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是【 】A B CD【答案】C。【考点】由实际问题列函数关系式，全等三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】作AEAC，DEAE，两线交于E点，作DFAC垂足为F点，BAD=CAE=900，即BAC+CAD=CAD+DAE。BAC=DAE。又AB=AD，ACB=E=90°，ABCADE（AAS）。BC=DE，AC=AE。设BC=a，则DE=a，DF=AE=AC=4BC=4a， CF=ACAF=ACDE=3a，在RtCDF中，由勾股定理得，即，解得：。故选C。12.（2012年浙江湖州3分）如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于【 】A B C3 D4 【答案】A。【考点】二次函数的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质。【分析】过B作BFOA于F，过D作DEOA于E，过C作CMOA于M，BFOA，DEOA，CMOA，BFDECM。OD=AD=3，DEOA，OE=EA=OA=2。由勾股定理得：DE=。设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x，BFDECM，OBFODE，ACMADE。，即，解得：。BF+CM=。故选A。13.（2013年浙江舟山3分）对于点A（x1，y1），B（x2，y2），定义一种运算：例如，A（5，4），B（2，3），若互不重合的四点C，D，E，F，满足，则C，D，E，F四点【 】A在同一条直线上 B在同一条抛物线上 C在同一反比例函数图象上 D是同一个正方形的四个顶点【答案】A。【考点】新定义，一次函数图象上点的坐标特征。【分析】对于点A（x1，y1），B（x2，y2），如果设C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F（x6，y6），那么，。又，。令，则C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F（x6，y6）都在直线上，互不重合的四点C，D，E，F在同一条直线上。故选A。14.（2013年浙江宁波3分）7张如图1的长为a，宽为b（ab）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足【 】Aa=b Ba=3b Ca=b Da=4b【答案】B。【考点】整式的混合运算（几何问题），矩形的性质。【分析】如图，设左上角阴影部分的长为AE，宽为AF=3b，右下角阴影部分的长为PC，宽为CG=a， AD=BC，即AE+ED=AE+a，BC=BP+PC=4b+PC，AE+a=4b+PC，即AEPC=4ba，阴影部分面积之差。S始终保持不变，3ba=0，即a=3b。故选B。15.（2013年浙江嘉兴4分）对于点A（x1，y1），B（x2，y2），定义一种运算：例如，A（5，4），B（2，3），若互不重合的四点C，D，E，F，满足，则C，D，E，F四点【 】A在同一条直线上 B在同一条抛物线上 C在同一反比例函数图象上 D是同一个正方形的四个顶点【答案】A。【考点】新定义，一次函数图象上点的坐标特征。【分析】对于点A（x1，y1），B（x2，y2），如果设C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F（x6，y6），那么，。又，。令，则C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F（x6，y6）都在直线上，互不重合的四点C，D，E，F在同一条直线上。故选A。二、填空题1.（2004年浙江丽水5分）中国象棋棋盘中蕴含着直角坐标系，下图是中国象棋棋盘的一半，棋子“马”走的规则是沿“日”形的对角线走，例如：图中“马”所在的位置可以直接走到A、B等处若“马”的位置在C点，为了到达D点，请按“马”走的规则，在下图的棋盘上用虚线画出一种你认为合理的行走路线 【答案】（答案不唯一）。【考点】开放型，网格问题。【分析】按照题意，棋子“马”走的规则是沿“日”形的对角线，答案不唯一，如：2.（2005年浙江金华5分）在直角坐标系xOy中，O是坐标原点，抛物线与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C。如果点M在y轴右侧的抛物线上，那么点M的坐标是 。【答案】（1，6），（4，6）。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，解一元二次方程。【分析】在抛物线中，当y=0时，x=2或3，即A（2，0），B（3，0）；当x=0时，y=-6，即C（0，6）。SCOB=9。设点M的纵坐标为y，必有，解可得y=±6。点M在y轴右侧的抛物线上，当y=6时，即，解得：（舍去）。当y=6时，即，解得：（舍去）。点M的坐标是（1，6），（4，6）。3.（2006年浙江衢州5分）如图是一张传说中的“藏宝图”,图上除标明了ABC三点的位置以外,并没有直接标出”宝藏”的位置,但图上注有寻找“宝藏”的方法:把直角ABC补成矩形，使矩形的面积是ABC的2倍，“宝藏”就在矩形未知的顶点处，那么“宝藏”的位置可能是 (用坐标表示)【答案】（2，）或（，）或（，）。【考点】网格问题，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，分类思想的应用。【分析】如何补成符合要求的矩形是关键有2种方法：以两直角边为邻边组成矩形；以斜边为一边，直角顶点在对边上补成矩形，分别根据图形计算求解：由图上可知，以原三角形的直角顶点为坐标原点建立平面直角坐标系，直角三角形的两个锐角分别为30°和60°，两条直角边长分别为2和，且把直角ABC补成矩形，有两种可能：（1）让相同的直角三角形与原三角形斜边重合的，这样面积为原来的2倍，另一个顶点坐标为（2，）。（2）以原三角形的斜边为矩形的一边补成矩形，如图所示： 在原三角形的斜边上作出过直角顶点的高，垂足为点H，则把原三角形分成两个直角三角形，以长为的直角边为斜边，再补一个与这个小直角三角形重合斜边的小直角三角形的顶点D，即为矩形的顶点D，以长为2的直角边为斜边，再补一个与这个小直角三角形重合斜边的小直角三角形的顶点E，即为矩形的顶点E。则点，点D的横坐标， 点D的纵坐标=-1×sin60°=-32， 点D的坐标为（，）。点CE ，点E的横坐标=，点E的纵坐标=，点E的坐标为（，）。综上所述，“宝藏”的位置可能是：（2，）或（，）或（，）。4.（2007年浙江绍兴5分）绍兴黄酒是中国名酒之一某黄酒厂的瓶酒车间先将散装黄酒灌装成瓶装黄酒，再将瓶装黄酒装箱出车间，该车间有灌装、装箱生产线共26条, 每条灌装、装箱生产线的生产流量分别如图1、2所示 某日8:0011:00，车间内的生产线全部投入生产，图3表示该时段内未装箱的瓶装黄酒存量变化情况，则灌装生产线有 条【答案】14。【考点】一次函数和一元一次方程的应用。【分析】从图象1、2可以知道灌装和装箱的速度，从图3可知从8：00至11：00灌装比装箱多300瓶。因此，设灌装生产线有x条，装箱生产线有（26x）条，根据题意：，解得x=14，即灌装生产线有14条。5.（2009年浙江金华4分）如图，在第一象限内作射线OC,与x轴的夹角为30o,在射线OC上取一点A，过点A作AHx轴于点H.在抛物线y=x2 (x>0)上取点P，在y轴上取点Q，使得以P，O，Q为顶点的三角形与AOH全等，则符合条件的点A的坐标是 .【答案】，。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，分类思想的应用。【分析】由题意，根据锐角三角函数可知：A的横坐标是纵坐标的倍，故设A的坐标为。 分四种情况讨论： 当POQ=OAH=60°，PQO=OHA=90°，若以P，O，Q为顶点的三角形与AOH全等，即AOHOPQ，如图1，那么A、P重合， P，代入y=x2得。 x>0，。 A。当POQ=AOH=30°，PQO=AHO=90°，若以P，O，Q为顶点的三角形与AOH全等，即AOHPOQ，如图2， P，代入y=x2得。x>0，。 A。当POQ=AOH=30°，QPO=AHO=90°，若以P，O，Q为顶点的三角形与AOH全等，即AOHQOP，如图3，OP=OH=，DP=，OD= P，代入y=x2得。x>0，。 A。当POQ=OAH=60°，OPQ=OHA=90°，若以P，O，Q为顶点的三角形与AOH全等，即AOHOQP，如图4， OP=AH=，EP=，OH=。 P，代入y=x2得。x>0，。A。综上可知：符合条件的点A有四个，坐标为：，。6.（2009年浙江衢州4分）如图，DB为半圆的直径，A为BD延长线上一点，AC切半圆于点E，BCAC于点C，交半圆于点F已知BD=2，设AD=x，CF=y，则y关于x的函数解析式是【答案】。【考点】由实际问题列函数关系式，圆周角定理，切线的性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质。【分析】连接DF、OE，过点D作DGAC于点G，C=CGD=CFD=90°，四边形CGDF是矩形。DG=CF=y。OEDG，AOEADG。，即 ，即。7.（2010年浙江舟山、嘉兴5分）在直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点称为格点已知一个圆的圆心在原点，半径等于5，那么这个圆上的格点有 个【答案】12。【考点】网格问题，点的坐标，勾股定理，分类思想的应用。【分析】坐标轴上到圆心距离为5的点有4个，由勾股定理，四个象限中，到圆心距离为5的点有3个，共l2个，如图所示：8.（2011年浙江金华、丽水4分）如图，将一块直角三角板OAB放在平面直角坐标系中，B（2，0），AOB=60°，点A在第一象限，过点A的双曲线为在轴上取一点P，过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，线段OB经轴对称变换后的像是O´B´（1）当点O´与点A重合时，点P的坐标是 ；（2）设P（t，0），当O´B´与双曲线有交点时，t的取值范围是 【答案】（4，0），4t2或2t4。【考点】反比例函数综合题，解二元一次方程组，一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理。【分析】（1）当点O´与点A重合时，即点O与点A重合，AOB=60°，过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，线段OB经轴对称变换后的像是O´B´。AP=OP，AOP是等边三角形。B（2，0），BO=BP=2。点P的坐标是（4，0）。（2）AOB=60°，PMO=90°，MPO=30°。OM=t，OO=t。过O作ON轴于N，OON=30°，ON=t，NO=t。O（t，t）。同法可求B的坐标是（），设直线OB的解析式是，将O、B的坐标代入，得，解得：。ABO=90°，AOB=60°，OB=2，OA=4，AB=2，A（2，2），代入反比例函数的解析式得：=4，代入上式整理得：（2t8）2+（t2+6t）4=0， =（t2+6t）24（2t8）（4）0，解得：t2或t2。当点O´与点A重合时，点P的坐标是（4，0）。4t2或2t4。9.（2012年浙江温州5分）如图，已知动点A在函数(x>o)的图象上，ABx轴于点B，ACy轴于点C，延长CA至点D，使AD=AB，延长BA至点，使AE=AC.直线DE分别交x轴，y轴于点P,Q.当QE：DP=4:9时，图中的阴影部分的面积等于 _.【答案】。【考点】反比例函数综合题，曲线上坐标与方程的关系，勾股定理，相似三角形的判定和性质。【分析】过点D作DGx轴于点G，过点E作EFy轴于点F。A在函数(x>o)的图象上，设A（t，），则AD=AB=DG= ，AE=AC=EF=t。在RtADE中，由勾股定理，得。EFQDAE，QE：DE=EF：AD。QE=。ADEGPD，DE：PD=AE：DG。DP=。又QE：DP=4：9， 。解得。图中阴影部分的面积=。10.（2013年浙江衢州4分）如图，在菱形ABCD中，边长为10，A=60°顺次连结菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1；顺次连结四边形A1B1C1D1各边中点，可得四边形A2B2C2D2；顺次连结四边形A2B2C2D2各边中点，可得四边形A3B3C3D3；按此规律继续下去则四边形A2B2C2D2的周长是 ；四边形A2013B2013C2013D2013的周长是 【答案】20；。【考点】探索规律题（图形的变化类），菱形、矩形的判定和性质，三角形中位线定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】根据菱形、矩形的判定和性质以及三角形中位线的性质以及锐角三角函数定义求出四边形各边长得出规律求出即可：菱形ABCD中，边长为10，A=60°，顺次连结菱形ABCD各边中点，AA1D1是等边三角形，四边形A1B1C1D1是菱形，四边形A2B2C2D2是菱形。A1D1=5，AC=，C1D1=AC=，A2B2=C2D2=C2B2=A2D2=5。四边形A2B2C2D2的周长是：5×4=20。同理可得出：A3D3=，C3D3=；A5D5=，C5D5=；A2013D2013=，C2013D2013=。四边形（矩形）A2013B2013C2013D2013的周长是：。三、解答题1.（2004年浙江杭州12分）在ABC中，AB=AC，D为BC上一点，由D分别作DEAB于E，DFAC于F；设DE=，DF=，且实数，满足，并有；A使得方程有两个相等的实数根（1）试求实数，的值； （2）试求线段BC的长。【答案】解：（1），。a2b=48。 由得：，则3a4b=0，即3a=4b。由解得。（2）关于x的方程有两个相等的实数根，方程根的判别式。sinA=。A为三角形的一个内角，A=60°或A=120°。当A=60°时，ABC为等边三角形，B=C=60°。分别在RtBDE和RtCDF中有。BC=BD+DC=。当A=120°时，ABC为等腰三角形，B=C=30°。同上方法可得BC=14。综上所述，线段BC的长为或14。【考点】同底幂的性质，一元二次方程根的判别式，解直角三角形， 锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，等腰（边）三角形的判定和性质，分类思想的应用。【分析】（1）由题意可知：，则，则a2b=48。化简得：，则3a4b=0，即3a=4b。则根据 可求得a与b的值。 （2）要求BC的长需求出BD和CD的长，知BD、CD分别是直角三角形BDE和直角三角形CDF中的斜边，又知在ABC中，AB=AC，则B=C，则根据三角函数只要知道B或C即可，要求B或C需求的A，根据判别式可以求得A。2.（2004年浙江湖州11分）如图，H是O的内接锐角ABC的高线AD、BE的交点，过点A引O的切线，与BE的延长线相交于点P，若AB的长是关于x的方程的实数根。 （1）求：C= 度；AB的长等于 （直接写出结果）。 （2）若BP=9，试判断ABC的形状，并说明理由。【答案】解：（1）60， 。（2）结论：ABC是等边三角形。理由如下：AD、BE是ABC的高，P+PAC=BAD+ABC=90°。又PA切O于A，PAC=ABC。P=BAD。又PBA=ABH，PBAABH。当PB=9时，。在RtBHD中，。在RtABD中，。ABD=60°，即ABC=60°。C=60°，ABC是等边三角形。【考点】一元二次方程根的判别式，偶次幂的非负数性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，等边三角形的判定。【分析】（1）关于x的方程有实根，则，化简得：。根据偶次幂的非负数性质，即。C=60°。此时方程有相等的根，AB+AB=，AB=。（2）已知C=60°，则再证明ABC中一个角为60°，则可知ABC为等边三角形。3.（2005年浙江杭州10分）为了参加市科技节展览，同学们制造了一个截面为抛物线形的隧道模型，用了三种正方形的钢筋支架，在画设计图时，如果在直角坐标系中，抛物线的解析式为，正方形ABCD的边长和正方形EFGH的边长比为5：1，求： （1）抛物线解析式中常数c的值； （2）正方形MNPQ的边长。【答案】解：（1）因各点坐标都关于y轴对称，可以设特殊点坐标。又抛物线的函数解析式为，AB=BC，设AB=a，则FE=。又抛物线关于y轴对称，可设B（，a），F（，），代入得：，解得。抛物线解析式中常数c的值为。（2）正方形ABCD的边长和正方形EFGH的边长之比为5：1，即FG=BC=，F（，）。设MN=NP=b，则 N（），N（），代入得。整理得方程，解得（舍去负值）。正方形MNPQ的边长为。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，正方形的性质，解方程（组）。【分析】（1）观察各点坐标之间的关系，巧妙设点，减少未知量，由待定系数求出函数表达式，求出c的值。（2）由题已知条件正方形ABCD的边长和正方形EFGH的边长之比为5：1，求出正方形MNPQ的边长。4.（2005年浙江宁波12分）已知抛物线（k>0）交x轴于A、B两点，交y轴于点C，以AB 为直径的E交y轴于点D、F(如图)，且DF=4，G是劣弧上的动点(不与点A、D重合)，直线CG交x轴于点P.（1）求抛物线的解析式;（2）当直线 CG是E的切线时，求tanPCO的值.（3）当直线CG是E的割线时，作GMAB，垂足为H，交PF于点M，交E于另一点N，设MN=t，GM=u，求u关于t的函数关系式.【答案】解：（1）解方程，得x1=3k，x2=k。由题意知OA=|3k|=3k，OB=|k|=k。直径ABDF，DF=4，OD=OF=DF=2。OAOB=ODOF，解得： （负的舍去）。所求的抛物线的解析式为。（2）由（1）可知AO=，AB=，EG=，抛物线过C点，OC=4。连接EG，CG切E于G，PGE=POC=90°。RtPGERtPOC。 ，即。由切割线定理得，又，整理得：。解得。PA0，。 （3）GNAB，CFAB，GNCF。PGHPCO，。同理 ，。CO=4，OF=2，。GM=3MN。u=3t（0t ）。【考点】二次函数综合题，解一元二次方程，垂径定理，相交弦定理，相似三角形的判定和性质，切割线定理。【分析】（1）本题抛物线解析式只有一个待定系数k，用k表示A、B两点坐标，用相交弦定理OAOB=ODOF，可求k值，确定抛物线解析式。 （2）由（1）可求圆的直径AB，半径EG及OC长，连接GE，由RtPGERtPOC，得出对应边的比相等，及切割线定理结合运用可求PA、PO长，在RtPOC中，可求tanPCO的值。（3）由GNCF，得相似，由中间比 ，及GH=HN，CO=4，OF=2，得 ，故HN=2HM，M为线段HN的中点，从而可得出：GM=3MN，即u=3t。5.（2005年浙江湖州12分）如图，已知直角坐标系内的梯形AOBC（O为原点），ACOB，OCBC，AC，OB的长是关于x的方程的两个根，且SAOC：SBOC=1：5。（1）填空：OC=_，k=_；（2）求经过O，C，B三点的抛物线的解析式；（3）AC与抛物线的另一个交点为D，动点P，Q分别从O，D同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，其中点P沿OB由OB运动，点Q沿DC由DC运动，过点Q作QMCD交BC于点M，连结PM，设动点运动时间为t秒，请你探索：当t为何值时，PMB是直角三角形。【答案】解：（1），4。（2）由（1）得关于x的方程为：，解得。 AC=1，OB=5。C（1，2），B（5，0）。设经过O，C，B三点的抛物线的解析式为。将C（1，2）代入得：。经过O，C，B三点的抛物线的解析式为，即。（3）直线AC：y=2，直线AC与抛物线交于点C，D， 由解得：x1=1，x2=4。CD=3。延长QM交x轴于点N，若MPOB，则四边形AOPQ是矩形，AQ=OP，4t=t，解得：t=2。若PMBM，则，。，解得：t1=1（舍去），。综上所述，当t=2秒或秒时，PMB是直角三角形。【考点】二次函数综合题，动点问题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理，矩形的判定和性质，射影定理，分类思想的应用。【分析】（1）AC，OB是关于x的方程的两个根，。SAOC：SBOC=1：5，即OB=5AC。OB=5，AC=1k+2=AC+OB=6。k=4。在直角三角形ACO中，根据OA=2，AC=1即可根据勾股定理求得OC=5。 （2）可根据O，C，B三点的坐标用待定系数法求出抛物线的解析式。（3）先求出CD的距离，关键是求出D的坐标，可根据直线AC的解析式和（2）得出的抛物线的解析式求出D点的坐标，然后用时间t表示出QD，CQ，OP，PB的长。如果MPOB，此时四边形AOPQ是矩形，那么AQ=OP，可据此求出t的值。如果PMBM，可延长QM交OB于N，则MNOB，如果过C作OB的垂线设垂足为E，那么NE=CDQD，可用含t的式子表示出NE的长，进而可表示出BN，NP的长，然后根据MNCE，依据平行线分线段成比例定理可得出MN：OC=BN：BE，可求出MN的长，在直角三角形BPM中由于MNPB，可根据射影定理得出关于t的方程，从而求出t的值。综上所述可求得符合条件的t的值。6.（2005年浙江衢州14分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，点A的坐标为（1，0），以CD为直径，在矩形ABCD内作半圆，点M为圆心设过A、B两点抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，顶点为点N（1）求过A、C两点直线的解析式；（2）当点N在半圆M内时，求a的取值范围；（3）过点A作M的切线交BC于点F，E为切点，当以点A、F，B为顶点的三角形与以C、N、M为顶点的三角形相似时，求点N的坐标【答案】解：（1）在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，点A的坐标为（1，0），B（4，0），C（4，2）。设过A，C两点的直线解析式为，把A，C两点代入得：，解得。过点A，C直线的解析式为。（2）由抛物线过A，B两点，可设抛物线的解析式为，整理得，。顶点N的坐标为。由抛物线、半圆的轴对称可知，抛物线的顶点在过点M且与CD垂直的直线上，又点N在半圆内，由A（1，0），B（4，0），C（4，2）得AD=2，半圆离AB的最短距离为，解这个不等式，得。 （3）设EF=x，则CF=x，BF=2x，AF=2+x，AB=3，在RtABF中，由勾股定理，即， 解得，BF=。 由ABFCMN得，。当点N在CD的下方时，由，得N1。当点N在CD的上方时，由，得N2。由ABFNMC得，。当点N在CD的下方时，由，得N3。当点N在CD的上方时，由，得N4。综上所述，当以点A、F，B为顶点的三角形与以C、N、M为顶点的三角形相似时，点N的坐标为或或或。【考点】一次、二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，矩形的性质，切线的性质，勾股定理，相似三角形的性质，分类思想的应用。【分析】（1）根据矩形的性质及A点坐标可求出C点坐标，再根据A、C两点的坐标用待定系数法即可求出过A、C两点直线的解析式 （2）矩形ABCD中，AB=3，BC=2，点A的坐标为（1，0），可求出B、D、M、E点的坐标，根据抛物线与坐标轴交与A、B两点故可设出抛物线的交点式，根据交点式可求出N点坐标，由抛物线、半圆的轴对称可知，抛物线的顶点在过点M且与CD垂直的直线上，又点N在半圆内，即可求出a的取值范围。（3）根据切线的性质定理、矩形的边长及勾股定理可求出各边的长，因为在ABF与CMN均为直角三角形，故应分两种情况讨论即ABFCMN，ABFNMC，同时在讨论时还要考虑到N在CD的下方与上方的情况。7.（2005年浙江丽水14分）为宣传秀山丽水，在“丽水文化摄影节”前夕，丽水电视台摄制组乘船往返于丽水（A）、青田（B）两码头，在A、B间设立拍摄中心C，拍摄瓯江沿岸的景色往返过程中，船在C、B处均不停留，离开码头A、B的距离s（千