结构动力学多自由度系统的振动.ppt
2023/3/1,1,第三章 多自由度系统的振动,2023/3/1,2,多层房间的侧向振动、不等高排架的振动、块式基础的水平回转振动等,作为多自由度体系进行分析。(multi-degree of freedom system),2023/3/1,3,对具有无限个自由度的弹性结构,精确地处理其振动问题:,有时是非常困难的,在某些情况下也并不必要。,在某些特定条件下可对问题作一些简化假定,使一个无限自由度体系离散为有限多个自由度体系,,使原来的问题变得容易求解,能获得原结构体系的主要属性和特征。,2023/3/1,4,3.1 两个自由度体系的自由振动,针对两个自由度体系;介绍三种常用的方法:平衡力系法 刚度法 柔度法,2023/3/1,5,1、平衡力系法 如图,两集中质量 和 通过三个弹簧、和 相互联结,在任意一时刻它们偏离其平衡位置的水平位移分别为 和,2023/3/1,6,根据两质量块的平衡条件,可以得到:,2023/3/1,7,表示成矩阵形式:,式中:,整理:,2023/3/1,8,写成一般形式:,对于图中结构体系,有,2023/3/1,9,假设两个质点为简谐振动,上式的解设为:,位移振幅 和,以及频率 和相位角 均为待定参数。,2023/3/1,10,1)、在振动过程中,两个质点具有相同的频率 和相同的相位角。,2)、在振动过程中,两个质点的位移在数值上随时间而变化,但两者的比值始终保持不变:,2023/3/1,11,主振型:结构位移形状保持不变的振动形式称为主振型或振动模态(normal mode)。,2023/3/1,12,齐次方程有非零解的条件为其系数行列式等于零,即:,确定了固有频率应满足的条件,称为频率方程或特征方程。(eigen equation or characteristic equation),利用这个方程可计算固有频率,2023/3/1,13,展开上式,求得 的两个根为:,正实根,仅依赖于结构体系的物理性质,即质量和弹簧刚度。,2023/3/1,14,2023/3/1,15,比值所确定的振动形式就是与第一圆频 率 相应的振型,称为第一振型或基本振型(fundamental mode),分析频率各自对应的振型,2023/3/1,16,和 表示第二振型中质点1和2的振幅。,下标与质量 和 相对应,上标表示模态号码。,由于模态方程是齐次的,所以 及 只有相对关系。,2023/3/1,17,主振动:结构体系以某一阶固有频率按其相应的主振型作振动,称为体系的主振动。,各点同时经过静平衡位置,并同时到达最大偏移位置,以确定的频率和振型作简谐振动。,一般情况下,体系的自由振动不是主振动,而是两种不同频率及其振型的组合振动:,2023/3/1,18,方程的全解:,其中,、和 由初始条件确定。,2023/3/1,19,2、刚度法(a)具有两个集中质量的结构体系,两个自由度,(b)为 和 的隔离体图。,根据达朗伯原理,平衡方程为:,2023/3/1,20,2023/3/1,21,弹性力 和 是质量 和 与结构之间的相互作用力,图(b)中的 和 是质点所受的力,图(c)中的 和 是结构所受的力,两者的方向相反。结构所受的力 和 与结构的位移 和 之间应满足如下刚度方程:,2023/3/1,22,是结构的刚度系数。如 是使质点2产生单位位移而质点1保持为零时在质点所需施加的作用力。,2023/3/1,23,2023/3/1,24,3、柔度法以两个自由度体系为例进行分析:,2023/3/1,25,用柔度法建立自由振动微分方程的思路:在自由振动过程中的任一时刻,质量 和 的位移 和 应当等于体系在惯性力 和 作用下所产生的静力位移。,2023/3/1,26,是结构体系的柔度系数(flexibility coefficient),即体系在点j承受单位力时,在点i产生的位移。,设解的形式为:,2023/3/1,27,2023/3/1,28,令系数行列式等于零,可得到 和 的非零解,即:,用柔度系数表示的频率方程或特征方程。,2023/3/1,29,求得固有圆频率的两个值为:,解出 的两个根,2023/3/1,30,体系的第一阶主振型:,2023/3/1,31,体系的第二阶主振型:,2023/3/1,32,总结:在多自由体系自由振动问题中,4)体系的自振频率和主振型是体系本身的固有性质。自振频率只与体系本身的刚度系数和质量分布有关,与外荷无关。,3)每个自振频率有其相应的主振型;,2)振动频率个数与自由度个数一致,自振频率可通过特征方程计算;,1)主要问题是确定体系全部自振频率及其相应主振型,2023/3/1,33,例3-1 试分析图示结构体系的固有频率和振型。已知:。,解:体系的运动方程为:,2023/3/1,34,体系的运动方程为:,设方程的解为:,2023/3/1,35,上式有非零解的条件是系数行列式为零:,展开行列式,可以求得,2023/3/1,36,计算振型:,其中 对应于第一阶频率 对应于第二阶频率。,2023/3/1,37,第一模态(振型)为两个质量一起振动,无相对位移,中间一个弹簧不起作用,只有第一和第三个弹簧起作用,其结果类似于质量为2m、弹簧系数为2k的单自由度体系的振动;,以横坐标表示系统的静平衡位置,纵坐标表示各点的振幅,体系的主振型图。,第二模态(振型)为两个质量作相反振动,中间一个弹簧的中点始终不动。,2023/3/1,38,例3-2 图示两层刚架,其横梁EI=。设质量集中在横梁上,第一和第二层的质量分别为 和。层间侧移刚度分别为 和。试求刚架水平振动时的自振频率和主振型。,2023/3/1,39,解:求结构的刚度系数:,2023/3/1,40,解:将刚度系数代入频率方程,则可求得:,2023/3/1,41,两个主振型:,主振型,