1.5函数的图象 1.6三角函数模型的简单应用（教、学案）.doc

1.5函数的图象一、教材分析三角函数是中学数学的重要内容之一，它既是解决生产实际问题的工具，又是学习高等数学及其它学科的基础本节课是在学习了任意角的三角函数，正、余弦函数的图象和性质后，进一步研究函数yAsin(x+)的简图的画法，由此揭示这类函数的图象与正弦曲线的关系，以及A、的物理意义，并通过图象的变化过程，进一步理解正、余弦函数的性质，它是研究函数图象变换的一个延伸，也是研究函数性质的一个直观反映二、教学目标1. 分别通过对三角函数图像的各种变换的复习和动态演示进一步让学生了解三角函数图像各种变换的实质和内在规律。 2. 通过对函数y = Asin(wx+4)(A>0，w>0)图象的探讨，让学生进一步掌握三角函数图像各种变换的内在联系。 3. 培养学生观察问题和探索问题的能力。三、教学重点难点重点：通过五点作图法正确找出函数ysin x到ysin(x+)的图象变换规律。难点：对周期变换、相位变换先后顺序调整后，将影响图象平移量的理解四、学法分析本节课是在学习了三角函数的性质和图象的基础上来学习的图像，应用三角函数的基本知识来解决实际问题对学生来说应该不会很陌生，所以对本节的学习应让学生能够多参与多思考，培养他们的分析解决问题和解决问题的能力，提高应用所学知识的能力。在教师的引导下，积极、主动地提出问题，自主分析，再合作交流，达到殊途同归在思维训练的过程中，感受数学知识的魅力，成为学习的主人五、教法分析教学的目的是以知识为平台，全面提升学生的综合能力本节课突出体现了以学生能力的发展为主线，应用启发式、讲述式引导学生层层深入，培养学生自主探索以发现问题、分析问题和解决问题的能力，注重利用非智力因素促进学生的学习，实现数学知识价值、思维价值和人文价值的高度统一。六、课时安排：2课时七、教学程序及设计意图（一）复习引入：在现实生活中，我们常常会遇到形如yAsin(x)的函数解析式(其中A，都是常数)下面我们讨论函数yAsin(x)，xR的简图的画法（二）讲解新课： 例 1、 画出函数ysin(x)，xR，ysin(x)，xR的简图解：列表x-x+02sin(x+)01010描点画图：xx02sin(x)01010通过比较，发现：(1)函数ysin(x)，xR的图象可看作把正弦曲线上所有的点向左平行移动个单位长度而得到(2)函数ysin(x)，xR的图象可看作把正弦曲线上所有点向右平行移动个单位长度而得到一般地，函数ysin(x)，xR(其中0)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左(当0时)或向右(当0时平行移动个单位长度而得到 (用平移法注意讲清方向：“加左”“减右”)ysin(x)与ysinx的图象只是在平面直角坐标系中的相对位置不一样，这一变换称为相位变换设计意图：引导学生学习ysin(x)，xR，ysin(x)，xR图象上点的坐标和y=sinx的图象上点的坐标的关系，获得对ysin(x)的图象的影响的具体认识。例2、画出函数y=2sinx xÎR；y=sinx xÎR的图象（简图）解：画简图，我们用“五点法”这两个函数都是周期函数，且周期为2我们先画它们在0，2上的简图列表：x 0p2p sinx 0 1 0 -1 0 2sinx 0 2 0 -20 sinx 00-0作图：(1)y2sinx，xR的值域是2，2图象可看作把ysinx，xR上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍而得(横坐标不变)(2)ysinx，xR的值域是，图象可看作把ysinx，xR上所有点的纵坐标缩短到原来的倍而得(横坐标不变)设计意图：研究函数中A对图象的影响。结论：1y=Asinx，xÎR(A>0且A¹1)的图象可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A倍得到的2它的值域-A, A 最大值是A, 最小值是-A例3、画出函数y=sin2x xÎR；y=sinx xÎR的图象（简图） 解：函数ysin2x，xR的周期T我们先画在0，上的简图,在0, p上作图,列表：2x0p2px0py=sin2x010-10作图：函数ysinx，xR的周期T4我们画0，4上的简图，列表：0p2px0p2p3p4psin010-10(1)函数ysin2x，xR的图象，可看作把ysinx，xR上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)而得到的(2)函数ysin，xR的图象，可看作把ysinx，xR上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)而得到设计意图：研究对函数图象的影响。结论：与y=sinx的图象作比较 函数y=sinx, xÎR (>0且¹1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(>1)或伸长(0<<1)到原来的倍（纵坐标不变）例4、画出函数y3sin(2x)，xR的简图解：(五点法)由T，得T 列表：x2x+023sin(2x+03030描点画图：（三）小结：作y=sinx（长度为2p的某闭区间）的图象得y=sin(x+) 的图象得y=sinx的图象得y=sin(x+) 的图象得y=sin(x+) 的图象得y=Asin(x+)的图象，先在一个周期闭区间上再扩充到R上沿x轴平 移|个单位横坐标 伸长或缩短横坐标伸 长或缩短沿x轴平 移|个单位纵坐标伸 长或缩短纵坐标伸 长或缩短 八、小试牛刀，当堂检测已知函数（1）作出简图；2）指出经过怎样的变换可得到的图象设计意图：教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测。九、发导学案、布置预习。设计意图：布置下节课的预习作业，并对本节课巩固提高。教师课后及时批阅本节的延伸拓展训练。十、板书设计三角函数模型的简单应用例1例2例3.例4.练习：小结：十一、教后反思 新理念下数学课堂教学的探索是一个长期的过程，充分挖掘数学的应用价值、思维价值和人文价值，需要我们教育工作者的不断创新，与时俱进 临清三中数学组 编写人：苏桂敏 审稿人： 庞红玲 李怀奎1.5函数的图象课前预习学案一、预习目标 预习图像变换的过程，初步了解图像的平移。二、预习内容1.函数，（其中）的图象，可以看作是正弦曲线上所有的点_（当>0时）或_（当<0时）平行移动个单位长度而得到. 2.函数（其中>0且）的图象，可以看作是把正弦曲线 上所有点的横坐标_（当>1时）或_（当0<<1时）到原来的 倍（纵坐标不变）而得到.3.函数>0且A1)的图象，可以看作是把正弦曲线上所有点的纵坐标_（当A>1时）或_（当0<A<1）到原来的A倍（横坐标不变）而得到的，函数y=Asinx的值域为_.最大值为_，最小值为_.4. 函数其中的（A>0,>0）的图象，可以看作用下面的方法得到：先把正弦曲线上所有的点_（当>0时）或_（当<0时）平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标_（当>1时）或_（当0<<1）到原来的 倍（纵坐标不变），再把所得各点的纵横坐标_（当A>1时）或_（当0<A<1时到原来的A倍（横坐标不变）而得到.课内探究学案一、学习目标1.会用 “五点法”作出函数以及函数的图象的图象。 2.能说出对函数的图象的影响. 3.能够将的图象变换到的图象，并会根据条件求解析式.学习重难点：重点：由正弦曲线变换得到函数的图象。难点：当时，函数与函数的关系。二、学习过程1、复习巩固；作业评讲作出函数在一个周期内的简图并回顾作图方法？2、自主探究；问题一、函数图象的左右平移变换 如在同一坐标系下，作出函数和的简图，并指出它们与图象之间的关系。问题二、函数图象的纵向伸缩变换 如在同一坐标系中作出及的简图，并指出它们的图象与的关系。问题三、函数图象的横向伸缩变换如作函数及的简图，并指出它们与图象间的关系。问题四、作出函数的图象问题五、作函数的图象主要有以下两种方法： （1）用“五点法”作图（2）由函数的图象通过变换得到的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”。（三）规律总结由正弦曲线变换到函数的图象需要进行三种变换，顺序可任意改变；先平移变换后周期变换时平移个单位，先周期变换后平移变换时平移个单位。常用变换顺序先平移变换再周期变换后振幅变换（平移的量只与有关）。 (四)当堂检测1、请准确叙述由正弦曲线变换得到下列函数图象的过程？ 2、已知函数的图象为C，为了得到函数的图象，只需把C的所有点（ ）A、横坐标伸长到原来的10倍，纵坐标不变。 B、横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变。C、纵坐标伸长到原来的10倍，横坐标不变。 D、纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变。3、已知函数的图象为C，为了得到函数的图象，只需把C的所有点（ ）A、横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变。 B、横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变。C、纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变。 D、纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变。4、已知函数的图象为C，为了得到函数的图象，只需把C的所有点（ ）A、向左平移个单位长度 B、向右平移个单位长度C、向左平移个单位长度 D、向右平移个单位长度5、将正弦曲线上各点向左平移个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，则所得图象解析式为（ ）A、 B、 C、 D、课后练习与提高一、选择题 1、已知函数图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图形沿着x轴向左平移个单位，这样得到的曲线与的图象相同，那么已知函数的解析式为（）. A. B. C. D. 2、把函数的图象向右平移后，再把各点横坐标伸长到原来的2倍，所得到的函数的解析式为（）.A. B. C. D. 3、函数的图象，可由函数的图象经过下述_变换而得到（）.A.向右平移个单位，横坐标缩小到原来的，纵坐标扩大到原来的3倍 B.向左平移个单位，横坐标缩小到原来的，纵坐标扩大到原来的3倍 C. 向右平移个单位，横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标缩小到原来的 D.向左平移个单位，横坐标缩小到原来的，纵坐标缩小到原来的 4、函数的周期是_，振幅是_，当x=_时，_；当x=_时，_. 5、已知函数（A>0，>0，0<）的两个邻近的最值点为（）和（），则这个函数的解析式为_. 6、已知函数(A>O, >0,<)的最小正周期是，最小值是-2，且图象经过点（），求这个函数的解析式. 1.6三角函数模型的简单应用一、教材分析 本节课是在学习了三角函数图象和性质的前提下来学习三角函数模型的简单应用，进一步突出函数来源于生活应用于生活的思想，让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的创新精神和实践能力二、教学目标1、通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学生初步学会由图象求解析式的方法；2、根据解析式作出图象并研究性质；3、体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型4.让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学建模思想，从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力。三、教学重点难点重点：精确模型的应用由图象求解析式，由解析式研究图象及性质难点：分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型，并调动相关学科的知识来解决问题由图象求解析式时的确定。四、学法分析本节课是在学习了三角函数的性质和图象的基础上来学习三角函数模型的简单应用，学生已经了解了数学建摸的基本思想和方法，应用三角函数的基本知识来解决实际问题对学生来说应该不会很陌生，所以对本节的学习应让学生能够多参与多思考，培养他们的分析解决问题和解决问题的能力，提高应用所学知识的能力。在课堂教学中，应该把以教师为中心转向以学生为中心，把学生自身的发展置于教育的中心位置，为学生创设宽容的课堂气氛，帮助学生确定适当的学习目标和达到目标的最佳途径,指导学生形成良好的学习习惯、掌握学习策略和发展原认知能力,激发学生的学习动机，培养学习兴趣，充分调动学生的学习积极性,倡导学生采用自主、合作、探究的方式学习。五、教法分析数学是一门培养人的思维、发展人的思维的重要学科，本节课的内容是三角函数的应用，所以应让学生多参与，让其自主探究分析问题，然后由老师启发、总结、提炼，升华为分析和解决问题的能力。六、教学程序及设计意图（一）创设情境、激活课堂生活中普遍存在着周期性变化规律的现象，昼夜交替四季轮回，潮涨潮散、云卷云舒，情绪的起起落落，庭前的花开花谢，一切都逃不过数学的眼睛！这节课我们就来学习如何用数学的眼睛洞察我们身边存在的周期现象-1.6三角函数模型的简单应用。（二）由图象探求三角函数模型的解析式待添加的隐藏文字内容2例1如图，某地一天从614时的温度变化曲线近似满足函数（1）求这一天614时的最大温差；（2）写出这段曲线的函数解析式设计意图：切入本节课的课题，让学生明确学习任务和目标。同时以设问和探索的方式导入新课，创设情境，激发思维，做好基础铺垫，让学生带着问题，有目的地参与后续教学活动。解：（1）由图可知：这段时间的最大温差是；（2）从图可以看出：从614是的 半个周期的图象，又 将点代入得：，取，。【问题的反思】： 一般地，所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况，因此应当特别注意自变量的变化范围；与学生一起探索的各种求法；（这是本题的关键！也是难点！）设计意图：提出问题，有学生动脑分析，自主探究，培养学生数形结合的数学思考习惯。 如何根据图像求解析式中的待定参数设计意图：通过总结归纳出解题的思路方法，培养学生的概括能力。探究其他解法：或 等设计意图：培养学生多角度考虑问题的习惯，培养学生的发散思维，培养学生的学习兴趣。借助三角函数模型研究的思想方法研究一些较复杂的三角函数。设计意图：升华为思想方法。（三）由解析式作出图象并研究性质例2画出函数的图象并观察其周期设计意图：通过画函数的图象来研究性质。由已知函数模型来研究函数，培养学生应用已知函数解决问题方法。分析与简解：如何画图？法1：去绝对值，化为分段函数（体现转化与化归！）；法2：图象变换对称变换，可类比的作法从图中可以看出，函数是以为周期的波浪形曲线反思与质疑：利用图象的直观性，通过观察图象而获得对函数性质的认识，是研究数学问题的常用方法；本题也可用代数方法即周期性定义验证： 的周期是（体现数形结合思想！）变式思考：的周期是 的周期是的周期是设计意图：变式练习，开阔思路，启迪思维，培养能力。数行结合求周期。（四）应用数学知识解决实际问题例3如图，设地球表面某地正午太阳高度角为，为此时太阳直射纬度，为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是当地夏半年取正值，冬半年取负值如果在北京地区(纬度数约为北纬)的一幢高为的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？解：A、B、C分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时楼顶在地面上的投影点。要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线的情况考虑，此时的太阳直射纬度为23°26，依题意，两楼的间距不小于MC，根据太阳高度的定义，有：C90°|40°（23°26）|26°34MC2h0即盖楼时，为命使后楼不被前楼遮挡，要留出当于楼高两倍的间距。设计意图：利用三角函数解决生活中的实际问题，培养解决实际问题的能力、分析与简解：（用几何画板展示变化过程）设计意图：运用信息技术直观展示问题的实质。与学生一起学习并理解教材解法（地理课中已学习过），指出该实际问题用到了三角函数的有关知识设计意图：优化学生的知识结构，使之系统化、条理化，加强知识间内在联系的理解和认识。知识性、方法性内容的小结，可把课堂所学知识尽快化为学生的素质；数学思想方法的小结，可使学生更深刻地理解数学思想方法在解题中的地位和应用，并且逐渐培养学生的良好的个性品质。七、小试牛刀，当堂检测 某动物种群数量1月1日低至最小值700,7月1日高至最大值900，其总量在此两值之间变化，且总量与月份的关系可以用函数（）来刻画，试求该函数表达式。设计意图：教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测。八、发导学案、布置预习。设计意图：布置下节课的预习作业，并对本节课巩固提高。教师课后及时批阅本节的延伸拓展训练。九、板书设计三角函数模型的简单应用例1例2.例3.练习：小结：十、教后反思以问题引导教学，让学生听有所思，思有所获，获有所感。问题串的设计，使学习内容在难度和强度上循序渐进而又螺旋上升，并通过互动逐一达成教学目标，突出重点，突破难点，较好的提高了课堂教学的有效性。 临清三中数学组 编写人：苏桂敏 审稿人： 庞红玲 李怀奎1.6三角函数模型的简单应用 课前预习学案一、预习目标 预习三角函数模型的简单问题，初步了解三角函数模型的简单应用二、预习内容1、三角函数可以作为描述现实世界中_现象的一种数学模型.2、是以_为周期的波浪型曲线.课内探究学案一、学习目标1、会用三角函数解决一些简单的问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.2通过对三角函数的应用，发展数学应用意识，求对现实世界中蕴涵的一些数学模型进行思考和作出判断.学习重难点：重点：精确模型的应用由图象求解析式，由解析式研究图象及性质难点：分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型二、学习过程自主探究；问题一、如图，某地一天从614时的温度变化曲线近似满足函数（1）求这一天614时的最大温差； （2）写出这段曲线的函数解析式 问题二、画出函数的图象并观察其周期问题三、如图，设地球表面某地正午太阳高度角为，为此时太阳直射纬度，为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是当地夏半年取正值，冬半年取负值如果在北京地区(纬度数约为北纬)的一幢高为的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？三、当堂检测1、以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店的销售价格时发现：该商品的出厂价格是在6元基础上按月份随正弦曲线波动的，已知3月份出厂价格最高为8元，7月份出厂价格最低为4元，而该商品在商店的销售价格是在8元基础上按月随正弦曲线波动的，并已知5月份销售价最高为10元，9月份销售价最低为6元，假设某商店每月购进这种商品m件，且当月售完，请估计哪个月盈利最大？并说明理由.课后练习与提高1、设是某港口水的深度关于时间t(时)的函数，其中,下表是该港口某一天从0至24时记录的时间t与水深y的关系.t03691215182124y1215.112.19.111.914.911.98.912.1经长期观察，函数的图象可以近似地看成函数的图象.根据上述数据，函数的解析式为（ ）A BC D2、从高出海面hm的小岛A处看正东方向有一只船B，俯角为看正南方向的一船C的俯角为，则此时两船间的距离为（ ）.A B C D3、如图表示电流 I 与时间t的函数关系式： I =在同一周期内的图象。（1）根据图象写出I =的解析式；（2）为了使I =中t在任意段秒的时间内电流I能同时取得最大值和最小值，那么正整数的最小值是多少？答案：预习内容：1、周期 2、自主探究：问题二、问题三、解：A、B、C分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时楼顶在地面上的投影点。要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线的情况考虑，此时的太阳直射纬度为23°26，依题意，两楼的间距不小于MC，根据太阳高度的定义，有：C90°|40°（23°26）|26°34MC2h0即盖楼时，为命使后楼不被前楼遮挡，要留出当于楼高两倍的间距。当堂检测：由条件可得：出厂价格函数为, 销售价格函数为则利润函数为: 所以，当时，Y=（2+）m，即6月份盈利最大.课后练习与提高1、A 2、A3、解：（1）由图知A300，由得（2）问题等价于，即，正整数的最小值为314。