无穷级数求和的若干方法 毕业论文.doc
陕西理工学院函授本科毕业论文题目 无穷级数求和的若干方法 学生姓名 专业名称 数学与应用数学 无穷级数求和的若干方法 摘 要：本文介绍了十种无穷级数求和的方法，并通过举例说明这些方法的应用. 关键词：无穷级数；级数收敛；级数发散；求和无穷级数包括数项级数和函数项级数.它是表示函数性质的一个重要工具，也是对函数进行数值计算的一个重要手段.我们较常见到的无穷级数求和多为数项级数和幂级数的求和，无穷级数求和问题是无穷级数中的难点，因此这里给出的十种方法主要是针对上述两种级数，并通过例题讲述这些求和方法的应用.1 定义法1这是利用无穷级数和的定义来求级数和的一种方法，这种方法用于级数前项部分和数列比较好求的级数，在此我又把其分为以下三类.(1) 直接法：适用于为等差或等比级数或通过简单变换易化为这两种级数.例1 求级数 的和，.解 (1)中各项的系数1、3、5、是公差为2的等差数列，(1)的两边同乘以得： (2)(1)(2)得： 因为，所以.(2) 拆项法：. 例2 求级数的和.解 ,即 .(3) 递推法：是利用问题本身所具有的递推关系来求解问题的一种方法.例3 求级数的和.解 由数学归纳法可证： ,故.2 阿贝尔法2（即构造幂级数法）若级数收敛，则.由构造一个幂级数是很简单的，而幂级数的和函数可通过逐项微分或积分得到，故易得的和.例4 级数的和.解 令,. 之所以这样构造幂级数,是为了消去系数中的因子.逐项积分 ,即.上式两边对求导: ,故.3 逐项微分法2由于幂函数在微分时可以产生一个常系数，这便为我们处理某些幂函数求和问题提供方法.当然从实质上讲，这是求和运算与求导（微分）运算交换次序问题，因而应当心幂级数的收敛区间（对后面的逐项积分法亦如此）.例5 级数 的和函数，其中.解 令,.由,则;类似地,故.有时候，所求级数的通项为另一些函数的导数，而以这些函数为通项的级数易于求和，则可将这些函数逐项求导.例6 求级数的和函数，在区间内.解 .4 逐项积分法同逐项微分法一样，逐项积分法也是级数求和的一种重要方法，这里当然也是运用函数积分时产生的常系数，而使逐项积分后的新级数便于求和.例7 求级数的和函数，这儿.解 令,.而,故,则.5 逐项微分、积分有时在同一个级数求和式中既需要逐项微分,又需要逐项积分,这往往是将一个级数求和问题化为两个级数求和问题才会遇到.例8 求级数的和函数，这儿.解 .6 通过函数展开法数项级数的求和也可通过函数幂级数或傅里叶级数展开后赋值而得到（当然它们常与幂级数逐项微分、积分技巧配合使用）.(1) 幂级数的赋值法：根据所给数项级数的特点构造一个容易求和的幂级数，在此幂级数的收敛域内有一点，当时所得的常数项级数恰是要求和的级数.设所求级数的和为，幂级数的和为，则.例9 求级数的和.解 作,由,则 令,则.(2) 傅里叶级数的赋值法：利用函数的傅里叶级数展开再赋值是求数项级数和的一个重要手段.例10 求级数的和.解 把在上展成余弦级数 令,则 ,故.7 复数法1（三角级数求和法）这是求三角级数和常用的方法，为了求级数及的和，常把它们视为复数域内的幂级数（其中）的实部和虚部.如果的和好求，则级数及级数的求和问题就已解决.例11 求级数的和函数.解 ,其中令 ,故 .8 积分法(1) 2积分概念实际上可视为无穷级数求和概念的拓广，但相对来说，定积分较无穷级数好处理，因而有些级数求和问题可化为定积分问题去考虑，但它与定积分的递推公式有关.例12 求级数的和.解 令,考虑到.待添加的隐藏文字内容2当时，由于，故,于是，即，又，即.综合上两式有 ,故.再者递推可有 , (3)又.将(3)式两边取极限且则.(2)3利用公式，.来求无穷级数的和，当、为非负整数时，利用此公式求级数的和特别简单，下面我们验证此公式的正确性.作函数 由于，故.而,所以.例13 求级数的和.解 此级数与上面公式比较知从而.9 化为微分方程求解有些级数的和函数经过微分后，再与原来的级数作某种运算后，可以组成一个简单的微分方程，这样级数求和问题就化为微分方程的求解问题.例14 求的和函数，.解 设,考虑到,则,于是.又，则，这样可有.10 利用无穷级数的乘积2有些级数可视为两个无穷级数的乘积，这时便可将所求级数和问题化为先求两个级数积（当然它们应该好求），再计算它们的乘积，当然这基于下面的结论：若级数与均收敛，又也收敛，其中,则.若,都收敛且至少其中之一绝对收敛，其中收敛于.例15 求级数的和函数，其中.解 考虑为绝对收敛级数，且收敛，这里. 又,则,再由,故.无穷级数求和的方法远不止这十种，还有待于继续探索和总结，有些求和问题用一种方法求解很麻烦，甚至不可能，它需要多种方法的灵活交错使用，有些题目则可以多种方法求解，比如例13用定义法求和也可以(拆项相消就可求出部分和),这就要求我们熟练掌握上述方法,根据具体的题型寻找简单可行的途径来求解.参考文献：1 陈文灯，黄先开，曹显兵，施明有高等数学复习指导M北京：清华大学出版社，2007：516-5242 陈文灯，吴振奎，黄惠青高等数学解题方法和技巧M北京：中国财政经济出版社，2004：334-3453 周翠莲，于兰芳无穷级数求和的方法J承德民族师专学报:自然科学版，1996，（2）：15-18
