高二数学必修5第三章《基本不等式基本不等式的实际应用（第二课时）》新授课详细教案.doc

第三章 不等式3.4基本不等式 （第二课时）【创设情景 引入新知】 小明的爷爷今年退休了，想利用家门前的一块空地养花，如图，用一段长为24m 的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？你能用不同方法去解决吗？请同学们帮助小明的爷爷做一个设计吧！【探索问题 形成概念】 根据上一节课我们学习的内容我们首先考虑基本不等式的方法，其次还可以转化为一元二次函数求最值.解法一：如图，设AB=x ，CD=y ，则篱笆的长为x +2y= 24 矩形花园的面积为xy m2ABCD，。得1442xy ，即xy 72，当且仅当x=2y时，等号成立，即x=12，y=6.因此，这个矩形的长为12m、宽为6m时，花园面积最大，最大面积是72m2解法二：设AB=x ，BC=242x ，矩形花园的面积为x(242x) m2，(其中2x+(24-2x)=24 是定值)。当且仅当2x=242x,即x=6时，等号成立。因此，这个矩形的长为12m、宽为6m时，花园面积最大，最大面积是72m2.解法三：设AB=x ，BC=242x ， 矩形花园的面积为x(242x) m2.，.当x=6时，函数y取得最小值为72.因此，这个矩形的长为12m、宽为6m时，花园面积最大，最大面积是72m2. 基本不等式在实际中的应用是指利用不等式解决生产、科研和日常生活中的问题.用基本不等式解决实际问题时，一般都是求某个量的最值，先把要求最值的量表示为某个变量的函数，再利用基本不等式求该函数的最值【例题】（1）用篱笆围成一个面积为100 m的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短.最短的篱笆是多少？（2）段长为36 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?ABDC【思路】对于（1），矩形菜园的面积是确定的，长和宽没有确定.如果长和宽确定了，篱笆的长也就确定了，因此我们要解决的问题是：当面积确定时，长和宽取什么值时篱笆的长最短?对于（2），矩形菜园的周长是确定的，长和宽没有确定.如果长和宽确定了，矩形菜园的面积也就确定了，因此我们要解决的问题是：当周长确定时，长和宽取什么值时篱笆围成的面积最大?【解答】（1）设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m.由，可得 ， .等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10.因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.（2）解法一：设矩形菜园的宽为xm，则长为（362x）m，其中0x，其面积Sx（362x）·2x（362x）当且仅当2x362x，即x9时菜园面积最大，即菜园长9m，宽为9 m时菜园面积最大为81 m2解法二：设矩形菜园的长为x m.,宽为y m ,则2(x+y)=36, x+y=18,矩形菜园的面积为xy m。由，可得当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立。因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园的面积最大，最大面积是81m【反思】1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a，bR，且abM，M为定值，则ab，等号当且仅当ab时成立.2.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a，bR，且abP，P为定值，则ab2，等号当且仅当ab时成立.【例题】 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m，如果池底每平米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？【思路】水池呈长方体形，它的高是3m，底面的长与宽没有确定.如果底面的长与宽确定了，水池总造价也就确定了.因此应当考察底面的长与宽取什么值时水池总造价最低.此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中要用到均值不等式定理.【解答】设底面的长为xm，宽为ym，水池的总造价为z元，根据题意，得由容积为4800m3，可得.因此.由基本不等式与不等式的性质，可得，即当，即时，等号成立. 因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元.【反思】此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件。【解疑释惑 促进理解】难点一、利用基本不等式解实际应用题的基本步骤是什么？均值不等式作为求最值的常用工具,经常在有关最优解的实际问题中应用.应用均值不等式解决实际问题的基本步骤是:仔细阅读题目,透彻理解题意;分析实际问题中的数量关系,引入未知数,并用它表示其它的变量,把要求最值的变量设为函数;应用均值不等式求出函数的最值;还原实际问题,作出解答. 解实际应用题要注意以下几点： （1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数； （2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值； （3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解【例题】甲、乙两人同时从A地出发，沿同一条路线行到B地。甲在前一半时间的行走速度为，后一半时间的行走速度为；乙用速度走完前半段路程，用速度走完后半段路程；问：谁先到达B地？【思路】设A、B两地的距离为，用a,b表示出甲、乙两人所用的时间、，分别利用基本不等式即可比较、的大小关系，进而得到谁先到达B地.【解答】设A、B两地的距离为，甲、乙两人用时分别为、，则 ，解得 由基本不等式得，所以 ；又所以.所以，当时，甲、乙两人同时到达B地；当时，甲先到B地。【反思】由于本题中的a,b分别为甲、乙两人行走的速度，故有这一条件，因而可以直接利用基本不等式比较两人所用时间的大小，进而问题得解.【指导运用 巩固拓展】【例题】某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 m2的三级污水处理池(平面图如图所示).如果池四周围墙建造单价为400元/m,中间两道隔墙建造单价为248元/m,池底建造单价为80元/m2,水池所有墙的厚度忽略不计.试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价.【思路】一般说来，涉及到“用料最省”、“造价最低”等实际问题时，考虑建立目标函数，求目标函数的最大值或最小值。在建立关于造价的目标函数时，造价是由池外圈周壁，中间隔墙造价，池底造价三部分组成，造价均与墙壁长度有关，应设相关墙壁长度为未知数。设出处理池的长度为x ,由于面积已知为200，故可表示出宽度为，从而用x表示出四周围墙的造价、中间两道隔墙的造价、池底的造价，三部分的和即为总造价，整理化简后利用基本不等式即可求解.【反思】不等式应用的特点是:(1)问题的背景是人们关心的社会热点问题,如“物价税收销售市场信息”等,题目往往篇幅较长.(2)解函数应用题中的最值问题一般利用二次函数的性质或基本不等式来解决.【小结归纳 自主建构】（）解决实际应用问题，关键在于弄清问题的各种数量关系，抽象出数学模型利用基本不等式解应用题，既要注意条件是否具备，还要注意有关量的实际含义（）应用均值不等式解决实际问题的基本步骤是:仔细阅读题目,透彻理解题意;分析实际问题中的数量关系,引入未知数,并用它表示其它的变量,把要求最值的变量设为函数;应用均值不等式求出函数的最值;还原实际问题,作出解答.（）利用基本不等式求最值必须满足“一正、二定、三相等”三个条件，并且和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值 【反馈学习，查缺补漏】本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函数的一些最值问题。在用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：(1) 函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。 下一节课，我们要进一步应用基本不等式及其变形公式求最值及证明一些简单的不等式，请大家预习课时详解第三十三课时，并思考下列问题： 如何利用基本不等式求解和或积不是定值的代数式的最值？基本不等式有哪些变通形式？本课后收集有关基本不等式的资料并阅读。课时作业【教材作业】习题3.4 A组1.【解答】【基础】【容易】【基本不等式的实际应用问题】【思路】直接应用基本不等式进行求解.【解答】【反思】（1）两个正数积为定值，和有最小值。（2）两个正数和为定值，积有最大值。2.【解答】【基础】【容易】【基本不等式的实际应用问题】【思路】设矩形的长和宽分别为x,y，由篱笆的总长度得到x+2y=30,而需要求的是矩形的面积s=xy的最大值，利用基本不等式即可.【解答】【反思】本题的解答是从所求式入手利用基本不等式得到一个不等式，通过解不等式的方法得到所求值。本题还可以从已知入手考虑基本不等式进行求解：，平方得，从而得到面积的最大值.3.【解答】【基础】【容易】【基本不等式的实际应用问题】【思路】矩形的面积即圆柱的侧面积，将圆柱的侧面积z用矩形长x和宽y表示出来为z=xy，又满足2（x+y）=36定值，所以利用基本不等式即可得解.【解答】【反思】求解本题除了注意正确利用基本不等式外，还需要注意抓住矩形的面积即圆柱的侧面积这种关系得到所求式。4.【解答】【巩固】【中档】【基本不等式的实际应用问题】【思路】设地面矩形的长为x，宽为y，则房屋正面的面积为3y,造价为，房屋侧面的总面积为，造价为，房顶的造价固定值5800，由此得到总造价，结合房屋的面积xy=12，利用基本不等式即可求解.【解答】【反思】本题数据较多，首项注意总造价为三部分之和不要漏掉，其次注意化简和运算的准确性.B组1.【解答】【提升】【较难】【基本不等式的实际应用问题】【思路】如图设AB=x,则AD=12-x，再设PC=a,则DP=x-a,然后在直角三角形APD中利用勾股定理得到方程，从中把a用x表示出来，再用x表示出三角形ADP的面积，利用基本不等式得到最大值即为所求.【解答】【反思】合理设元，并充分借助图形的内在联系，恰当得到它们的关系是本题的关键，另外在对式子应用基本不等式时要注意不等号的方向.2.【解答】【提升】【较难】【基本不等式的实际应用问题】【思路】利用三角函数知识将ACB的正切用C到树的距离x表示为关系x的函数，然后借助基本不等式求最值问题去求解.【解答】【反思】如果我们由图形得到ACB为锐角，联想到圆上点对定弦张角（锐角）比圆外点对此弦张角大，问题便可转化为A、B的圆与距离地面cm的水平线相切时，切点D到树的距离DO，再由切割线定理，得：，故得离此树处看此树视角最大。【补充作业】1. 【选择】【基础】【容易】【基本不等式的实际应用】某工厂第一年产量为A,第二年的增长率为a,第三年的增长率为b,这两年的平均增长率为x,则( ) 【思路】由题意得到，对等式右端利用基本不等式，然后两端开方即可得解.【反思】本题利用了基本不等式的变形公式.2.【填空】【基础】【容易】【基本不等式的实际应用】某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x= 吨【思路】先设此公司每次都购买x吨，利用函数思想列出一年的总运费与总存储费用之和，再结合基本不等式得到一个不等关系，根据等号成立的条件即可求得相应的x值【反思】利用基本不等式可以得到当“积为定值时和有最小值”，此外还需要注意使用条件，以及等号成立的条件.3.【填空】【基础】【容易】【基本不等式的实际应用】要挖一个面积为432m2的矩形鱼池，周围两侧分别留出宽分别为3m，4m的堤堰，要想使占地总面积最小，此时鱼池的长 、宽 【思路】将面积表示为鱼池的长x的函数，然后利用基本不等式.【解答】设鱼池的长宽分别为x，仅当即，时等号成立。答案：长24米，宽为18米。【反思】面积表示为和的形式求最小值，且满足积为定值，因而考虑基本不等式.但要保证等号能够成立.4.【填空】【基础】【容易】【利用基本不等式求最大值】某汽车运输公司购买一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(xN*)为二次函数关系为y(x6)211，则每辆客车营运_年，其营运的年平均利润最大【思路】欲求平均利润的最大值，需要先求出要求每辆客车营运的平均利润与营运年数的关系式，然后根据所列函数的形式，运用基本不等式即可【解答】由题意年平均利润为12(x)12102，当且仅当x，即x5时取等号5.【填空】【基础】【容易】【基本不等式的实际应用】某商场的某种商品的年进货量为1万件，分若干次进货，每次进货的量相同，且需运费100元，运来的货物除出售外，还需租仓库存放，一年的租金按一次进货时的一半来计算，每件2元，为使一年的运费和租金最省，每次进货量应为【思路】设每次进x件，则进货的次数为，故总运费为，又一年的租金为，从而得到一年的运费和租金的函数表达式，利用基本不等式求解.【解答】设每次进x件，费用为y元，由=2000，仅当 时最小。【反思】注意题目条件“一年的租金按一次进货时的一半来计算，每件2元”，由此得到到一年的租金为x.6.【 解答】【基础】【容易】【利用基本不等式求最小值 】一批货物随17列货车从A市以v km/h的速度匀速直达B市。已知两地铁路线长400 km，为了安全，两列货车的间距不得小于 （货车长度忽略不计），那么这批货物全部运到B市最快需要多少小时？【思路】利用时间等于路程除以速度表示出这批货物全部运到B市所需要的时间，是关于速度v的函数，运用基本不等式进行求解.【解答】这批货物从A市全部运到B市的时间为【反思】本题容易忽视的问题是：这批货物全部运到B市所经过的总路程还包括17辆列车之间的16个间距.7.【解答】【巩固】【中档】【利用基本不等式求最小值】某校要建一个面积为392 m2的长方形游泳池，并且在四周要修建出宽为2m和4 m的小路（如图所示）。问游泳池的长和宽分别为多少米时，占地面积最小？并求出占地面积的最小值。【思路】将整个占地面积y表示为长度x的函数，由基本不等式求出面积y的最小值。【解答】设游泳池的长为x m，则游泳池的宽为m, 又设占地面积为y m2，依题意，得=4244(x)424224=648 当且仅当x=即x=28时取“=”.答：游泳池的长为28 m宽为m时，占地面积最小为648 m2。【反思】注意所求占地面积包括游泳池的面积与游泳池四周小路的面积之和.8.【解答】【提升】【较难】【利用基本不等式求最小值】为了竖一块广告牌，要制造三角形支架.三角形支架如图，要求ACB=60°，BC长度大于1米，且AC比AB长0.5米.为了广告牌稳固，要求AC的长度越短越好，求AC最短为多少米？且当AC最短时，BC长度为多少米？ 【思路】设BC的长度为a米，AC的长度为b米，依据题意可表示出AB的长度，然后代入到余弦定理中求得a和b的关系式，利用基本不等式求得b的最小值，并求得取等号时a的值【解答】设BC=a(a>1),AB=c,AC=b,b-c=. c2=a2+b2-2abcos60°, 将c=b-代入得(b-)2=a2+b2-ab, 化简得b(a-1)=a2-. a>1,a-1>0. b=(a-1)+2+2.当且仅当a-1=时，取“=”,即a=1+时,b有最小值2+.【反思】本题在得到b关于a的表达式后关键是将代数式进行等价转化，然后才能够出现乘积为定值，由基本不等式进行得到答案.【预习作业】 本节课我们主要学习了利用基本不等式解实际应用问题，下一节课，我们要进一步应用基本不等式及其变形公式求最值及证明一些简单的不等式，请大家预习课时详解第三十三课时，并思考下列问题： 如何利用基本不等式求解和或积不是定值的代数式的最值？基本不等式有哪些变通形式？【答案】利用基本不等式求最值时，如果无定值，要先配、凑出定值，再利用基本不等式求解.基本不等式的几种变通变式.