毕业设计（论文）逆向思维——反证法在中学数学中的应用.doc

本科生毕业论文设计逆向思维反证法在中学数学中的应用作者姓名：杜丹丹指导教师：周丽娜所在学院：数学与信息科学学院专业（系）：数学与应用数学班级（届）：2015届数学C班二一五年五月一日目录中文摘要、关键字 11 引言 22 反证法的基础知识 32.1 反证法的定义及步骤 32.2 反证法的逻辑依据及分类 32.2.1 反证法的逻辑依据42.2.2 反证法的分类42.3 如何运用反证法 52.3.1 怎样正确的进行“反设”  52.3.2 如何正确的导出矛盾63 反证法的适用范围63.1 何时宜用反证法 63.1.1 结论是以否定的形式存在的63.1.2 “反设”简单的命题 83.1.3 数学中起始命题的证明 93.1.4 要证明题的逆命题成立 103.1.5 结论涉及“无限”的命题113.1.6 结论中有“至少”或者“至多”命题123.1.7 “唯一性”命题133.2 反证法的注意事项144 结论15参考文献17英文摘要、关键字18逆向思维反证法在中学数学中的应用数学与信息科学学院 数学与应用数学专业 指导教师 周丽娜 作者 杜丹丹摘要：反证法是我们比较熟悉的一种证明方法，然而很多学生对这种方法的熟悉仅仅停留在他的表面，而没有真正的掌握这种方法。本文主要从反证法的基础知识和反证法的运用两方面来进行阐述。反证法的基础知识方面主要写了反证法概念和解题步骤，逻辑基础和分类。反证法的运用方面主要写了反证法的适用范围和注意事项。关键词：数学 逆向思维 反证法 解题1 引言通过对数学的学习，我们知道要证明一个数学的题目，有两种方法，一种是直接证明，另一种是间接证明。两种证明方法都非常的重要，相辅相成。对于前者我们比较熟悉，接触的比较多，也是我们习惯于运用的方法，而间接证明方法运用则比较少，其中反证法就是我们在中学中就接触过的一种间接证明方法，它是数学解题中的一种不可缺少的证明办法，所以在中学数学的教育学习中，它占据不可忽视的位置。然而对于中学生而言，对于反证法的理解存在着一定的误区，从教学实际过程中，我发现学生习惯于运用常规的方法去解决问题，解决问题的时候从正面入手，只运用正向的思维，然而，数学中有着形形色色的问题，有些问题从正面入手比较好解决，有的问题从反面入手比较好解决，如果一味的只运用正向思维，而不注重逆向思维，我们在解题的过程中就会遇到许许多多的麻烦，反证法是依照逆向思维来解决问题。所以掌握好反证法对我们解决问题有很大帮助。我们所学习的反证法是毕达哥拉斯学派的影响下发展的一种证明方法。在西方的数学认为所有的事物都可以用数来表示，比如一些常见的桌椅板凳都可以用整数来表示他的数目，甚至认为自己可以用整数与几何能够描述这个宇宙。但是随着数学这门学科的不断发展，数学史上出现了第一次数学危机“”。这打破了西方人固有的数学理念-万物皆是数。这一次的数学危机使人们观察事物，还要注重逻辑思维。西方的数学主要是在证明方面是比较成功。他们在数学上追求数学的精准。虽然他们也研究计算的，但是计算是低级的，计算的作用只是为而服务的。他们重视数学中的证明和推理。西方思想家柏拉图推出证明数学要从他的反面来进行假设。然后通过一系列的逻辑推理，等价的变换等多种方法，最后达到你的目的，证明你的结论。亚里士多德也提出要好好利用这种逻辑思想，他并不赞成毕达哥拉斯的数学理念。亚里士多德认为数学证明就是通过逻辑思维可以使证明原理能被大家看到的过程。于是几何原本就这样诞生了。英国近代数学家哈代曾说：“反证法是数学家最有力的一件武器，比起象棋开局时牺牲一子以取得优势的让棋法，它还要高明，象棋对弈者不外牺牲一卒或顶多一子，数学家索性把全局拱手让予对方！”这就充分的对反证法的地位和作用做出了充分的肯定，同时说明了反证法的核心思想，先提出与命题结论的反面是正确的，然后推导出矛盾，如此就证明了我们做出的假设不能成立，从而肯定了原来的结论是正确的。法国数学家阿达玛曾经这样评价反证法：“这种方法在于表明：若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾。”这段话的意思是说，如果假设命题的结论不正确，并运用其进行推导，如果推导产生矛盾，从而知道与结论相反的方面是错误的，从而可知结论本身是正确的。2 反证法的基础知识2.1 反证法的定义及步骤反证法是指从反面的角度对问题进行思考的一种证明方法，他首先要在原命题的条件下，假设原命题的发面成立，即做出“反设”，然后进行推导，直至推导出显而易见的矛盾结果，从而证明原命题成立。这种证明方法叫做反证法。从上面反证法的定义我们已经知道，利用这种方法进行证明，我们并不是上来就要证明这个命题，而是通过判断与原命题对立的命题，即“反设”是错误的来证明原命题是正确的。因此，它的步骤是：（1）进行“反设”-审清题目，分清题目中的前提和结论。假设我们要证命题的结论对立面是成立的,并且把它当作新增的一个条件,加入到已知的条件中去。（2）推导矛盾-通过合乎逻辑的推理,最终推导出来矛盾。（3）做出判断-判断出我们做出的“反设”不能成立,从而确定要证的命题的结论成立。2.2 反证法的逻辑依据及分类逆向思维是反证法的主导，反证法的目的是推导出矛盾。从而证明“反设”是不成立的，达到证明原命题是正确的。证明的步骤简单的归纳为成：否定（结论）-矛盾-否定（“反设”）。可以这样来说反证法的基本思想，就是的“否定再否定”。反证法被誉为数学家最精良的武器之一，它在证明方法中具有不可磨灭的位置。2.2.1 反证法的逻辑基础我们在应用反证法进行证明时，从“反设”开始进行推导，如果能够推导出，则证明使“反设”成立的必要条件是不可能存在的，原命题的成立就获得了证明。反证法是随着人们的活动产生，它所应用的思维逻辑的规律主要是“”和“”。在相同的一个思维环境里，两个相反的判断不可能同时都是正确的，所以两个命题中最多有一个是真的，这就是我们所说的“”。例如判断“是偶数”和“是奇数”，这两个判断不能同时成立，必定有一个是假的。而“排中律”是指在相同一个思维环境里，在两个相反的判断里，不可能同时为错误的，其中最多有一个是假的判断。例如“是有理数数”和“不是有理数数”中必定有一个为真的判断。在运用反证法的解决问题过程中。我们做出的“反设”与要证明的题目是两个相反的判断，依据“”我们知道这两个相反的判断不可能同时为真的，必有一假，因为我们知道与我们做出的“反设”相矛盾的已知条件、公理、定理等都是正确的，所以“反设”是假的，我们又根据“排中律”可以知道两个相反的判断中，不能同时是假的，我们已经确定“反设”为错误的，因为他们之中一定有一个判断为真。所以原命题就一定是真的。所以，反证法是有一定的逻辑根据的，反证法作为一种证明方法是有强大的逻辑基础作为支撑的。2.2.2 反证法的分类我们利用这种方法解决证明题时，我们会发现有时候“反设”的情况只有一种情况。我们只要证明“反设”这一种情况是错误的即可证明原命题是正确的。例如原命题为“在一个内的两、都和平行，求证、不”，我们做出的“反设”应为“、”只要证明、相交这种情况不成立就可以了。然而有些结论的“反设”不只一种情况，可能有两种情况，甚至好几种情况。我们必需把“反设”中的每种情形全部进行反驳，然后才可以证明原命题是成立的。例如原命题为“三角形中最多有一个钝角”那么我们做出的“反设”应该为“三角形中至少有两个钝角”，“反设”中包括的三角形中有两个钝角和三个钝角两种情况，我们运用反证法解题时，首先把三角形中有两个钝角作为条件，推导出矛盾，证明这种情况不成立，然后把三角形中有三个钝角作为条件，推导出矛盾，证明这种情况也不成立，进而肯定原来的命题正确。因此，我们根据“反设”的情况不同来给反证法进行分类。如果结论的反面只有一种情况，我们把它叫做简单归谬法。如果“反设”不仅仅有一种，我们把它叫做穷举归谬法。2.3 如何运用反证法2.3.1 怎样正确的进行“反设”做出“反设”是反正法的开始的步骤，所以运用这种方法来证明题目能否成功，这一步非常重要，在反证法的证明方法中，推导的过程是根据“反设”作为条件，一步一步来寻找使之成立的必要条件，如果“反设”没有作对，那么接下来的证明也不会顺利的进行，即使能够推导出矛盾，也不能运用“排中律”和“矛盾律”来推出原命题的结论是正确的。所以如果做出的“反设”是错误的，导致整道题都不能做出来。所以我们应该学会做出“反设”。首先，我们要懂得分清哪个是命题中的题设，哪个是命题中的结论。我们做出的“反设”只是对命题的结论进行，而不是对命题的条件进行，更不是对命题的条件和结论一起。例如“若,.则,”的“反设”为“若,则,”。然后要分清结论与“反设”之间的逻辑关系，不是所有的“反设”都是只把原命题中的“是（不是）”变成“不是（是）”这样简单。例如结论为“，中至少有一个大于”他的“反设”不是简单的为“，中至少有一个小于等于”，正确的“反设”应该为“，都等于”。因此分清逻辑关系是我们做出准确的“反设”的关键。以下是一些我们经常遇到的几种词语和与之对应的否定形式。结论中的“是”“反设”中应为“不是”，结论中“存在”的“反设”中应为“不存在”，结论中“都是”的“反设”中应为“不都是”，结论中“至少有个”的“反设”中应为“至多有个”，结论中“大于（小于）”的“反设”中应为“不大于（不小于）”，结论中“等于”的“反设”中应为“不等于”，结论中“至多有一个”的“反设”中应为“至少有两个”，结论中“至少有一个”的“反设”中应为“一个都没有”等等。2.3.2 如何正确的导出矛盾我们正确的做出了“反设”，我们知道接下来就要把“反设”当作已知条件来进行推导，然后推导出矛盾，这一步是我们做题的核心过程，如果这一步出错，那么我们可能推不出矛盾，即使能够推导出矛盾也不能否定“反设”，来证明要证明的结论是成立的。所以能正确的进行推导非常重要。在推导的过程中，我们要从“反设”出发，不要从给出的条件出发，例如“对于任意非负数恒有，求证”，我们应该从“反设”开始证明，而不是从开始证明，这样证明即使导出矛盾，这种证明方法也不是反证法。所以我们进行推导要从“反设”出发。进行推理时每一步都必须有理论可依，我们每一步都是在寻找使“反设”成立的必要条件，然后还要充分的利用已知条件。例如“是中的三个内角，证明至少有一个不小于”。证明：假设、,因此,这和“三角形的内角和为”的定理矛盾，因此、这一假设不成立，故而、至少有一个不小于。3 反证法的适用范围3.1 何时适合运用反证法3.1.1 结论是以否定的形式存在的此类题目中经常有“不”，“没有”、“不是”、“不可能”的一些短语出现。我们想要证明某个东西不会具有某种性质，或者拥有着某个性质的东西不可能存在。在大部分的情况下“存在”、“可能”具有某些性质，比“不存在”、“不可能”拥有某种性质要具体的多，我们也更加的容易理解、研究和掌握。而且我们数学中的大多是以的形式出现的，运用的方法不方便，所以此时运用间接证明的方法要比直接证明更加的简单。例1已知，是中相邻的三项，而且不等于零，求证：，不可能是。证明：假设，是成等差数列有 ，即，两边乘以，得又由于，成，且不等于零所以，由此可知即，所以这与已知，的不为零，即相矛盾。因此数列，不可能是。例2假设，且，求证：证明：假设因为，所以即所以等式两边同时乘以得：即所以，所以所以，这和题目中知条件相盾所以假设不能成立，所以3.1.2 “反设”简单的命题这类题目的“反设”与原题的结相比，“反设”更加的明确、简单。用反证法易于导出矛盾例3已知，且，求证：，中至少有一个小于证明：假设，都不小于，即，因为，所以，因此即，这与已知条件中相矛盾因此假设是错误的，因此，中至少有小于例4证明：等腰的两个，必定是。证明：假设，不是，即，是因为，是等腰三角形的两个底角，所以（1）假设，都是直角，则而，这与“三角形内角和等于”的定理相矛盾（2）假设，都是钝角，则而，这与三角形内角和等于的定理相矛盾综上所述，假设（1），（2）都是错误的，所以，一定是锐角所以等腰三角形的两个底角一定是锐角例5如图所示，是，、两点在上，、两点在上，求证：和是异面直线。证明：假设和不是，那么和是共面直线设他们都在平面内所以，所以，即直线这与已知条件，是相矛盾，所以假设是错误的，所以和是。3.1.3 数学中起始命题的证明证明起始命题，因为可以利用的定理和定义比较少，所以直接证明比较困难，然而运用反证法，增加了“反设”这一个可以利用的条件，所以利用反证法更容易证明。例6的证明，如图所示，在中，设、的长度分别为、，的长为，作，是。证明。证明：假设，即假设，则由可知，或者即，或者在和中，因为所以若，则在和中，因为所以若，则又因为所以，这与作法相矛盾，所以的假设是错误的所以例7如图所示，直线，于同一个，则证明：假设与不平行，设是经过点与直线平行的直线,因为，,所以我们知道经过一点只有一条直线于平面所以这与我们的定理相矛盾所以与不平行是错误的，因此由此,我们得到：于一个平面的两条直线平行。3.1.4 要证命题的逆命题成立已知一个命题的逆命题成立，来证原命题成立时，使用反证法可以更加充分的利用已知条件，带来了很多方便。例8证明两条直线，被直线，如图所示，如果两直线所形成的，求证：与不平行。证明：假设，所以有因为两直线平行，同旁内角互补所以，这与已知相矛盾所以不成立所以与不平行例9，不在内，在内，证明与平行。证明：假设直线与平面不平行，因为不在平面内，所以与相交，过点做在内的平行线所以因为，所以又因为，且，所以与相交于点，这与相矛盾所以做出的假设不正确，所以与平行。3.1.5 结论涉及“无限”的命题原的结论中提到“无限”和“无穷”等词语时。我们运用反证法来解决这一类问题，第一步要对原命题的结论做出“反设”，所以“无限”的反面就变为“有限”。我们对于处理“有限”的问题比处理“无限”的问题办法要多一些，“有限”的问题比较具体，我们也比较容易理解。是以此时使用反证法来解题更加简便简单些。例10 证明是。证明：假设是有理数，所以（是不可约分的分数）所以，所以可以被整除，所以也可以被整除。设（是正的自然数）所以，得所以也可以被整除，也可以被整除。这样，有公约数，和，互质相矛盾所以假设不正确，所以是3.1.6 结论中有“至少”或者“至多”命题它的结论中常常含有“至多”、“至少”、“最多”、“最少”“”、“”等词汇。这一类命题如果利用正向思维，很难入手，命题中包含着几种情况，使我们容易漏掉一种情况，或者多考虑一种情况，反而更加容易出错。而如果利用反证法，“反设”的情况会比较容易理解和明确，使我们更加容易找到方向入手，所以运用反证法更加的方便。例11已知、是互不相等的，求，中至少有一个方程有相异的。证明：假设，中都没有相的所以，所以即，所以，这与题设中、是互不相等的相。所以假设是错误的所以，中至少有一个方程有相异的例12证明一个三角形的中有一个证明：假设的中有两个。则这两个的都是钝角，也就是说中有两个钝角。那么这个的和就大于。这与三角形的和为这一定理相矛盾。所以的中不可能有两个，即证明的中最多有一个。3.1.7 “唯一性”命题结论中常常出现“唯一存在”、“有且只有一个”等词汇。“唯一性”命题与“至多有一个”是不同的，“唯一性”命题是指“有且只有一个”存在。而“至多有一个”是指“有一个或者一个也没有”。他们很相似，而“至多一个”是“至多”的命题，所以要证明这个命题，需要运用反证法，只需反驳多于一个的情况就可以了，所以证明“唯一性”问题也需要运用反证法，因此证明“唯一性”命题只要否定它多余一个，并且要证明它存在。例13已知，证明关于的方程有且只有一个根证明：因为，所以方程至少有一个根（证明存在性）假设方程至少存在两个根，假设为，则，所以所以又因为所以因此，这和已知条件，所以假设不正确，方程有且只有一个根例14证明：两条直线相交有且只有一个交点。如图所示，已知直线，求证直线、相交时只有一个交点证明：假设直线，相交时有两个交点，分别，则，既在直线上，又在直线上那么经过，两点有两条直线分别为直线和直线这与两点决定一条直线这一定理相矛盾所以假设是错误的，两条直线有且只有一个交点。例15若函数在上的图像是的，并且,而且在上是增函数，求证在内有且只有一个。证明：因为在上的图像是的，且,即所以在内至少有一个。假设在内有两个零点，且。所以，。因为在上单调增，所以若，则,即,这与自然事实矛盾若，则,即,这与自然事实矛盾所以假设不正确，所以在内有且只有一个。3.2 反证法的注意事项在数学证明中，反证法有的时候确实能够起到直接证明方法无法起到的特殊作用，他可以把困难的问题变得简单，把繁琐的过程变得简洁。甚至直接证明方法解决不了的问题，可以运用反证法求解。然而我们不能对每一道题都运用反证法，要根据具体的问题具体分析。如果滥用反证法，反而达不到反证法把问题变简单的效果，甚至会把简单的问题变得复杂。当我们遇到一个证明题时，首先要考虑我们能不能用正向思维，直接证明的方法来解决它，如果能用直接证明的方法来解决，我们就采用直接证法，不能放着平坦的大道不走，而走偏僻的小径。了解什么时候适合运用反证法，一般都是正面证明不容易时才会使用。反证法并不是万能的。在运用反证法解题时，要按照反证法的解题步骤来写，每一个步骤都不能省略，“反设”是反证法的开始部分，推导矛盾是反证法的核心过程，做出判断是反证法的重要结果，三者缺一不可。运用反证法的推理过程一定要完全正确，而且要运用题中给出的已知条件，如果没有用上已知条件，要么推导不出矛盾，要么推导出的矛盾不能判定“反设”是错误的。如果“反设”的情况不只一种，我们要分清“反设”中包含的各个情况之间的逻辑关系，每一种情况之间都应该是彼此互斥的，他们的总和正好是“反设”，要做到每种情况都不重不漏。这样才能有条理的对“反设”进行一一反驳，如果有两种情况是重合的，那将会给你的证明增加困难，加大了证明的工作量，你需要在多对一种情况进行反驳，而如果漏掉了一种情况，对“反设”就没有进行彻底的否定，就不能得出“反设”是错误的判断，所以就不能解决该证明题。反证法是逻辑推理的一种基本方法，通常与其他的证明方法一起使用，或者把它运用到证明的某个环节当中，不是孤立使用的。4 结论在我们解决问题时一般会采用正向思维，所以我们遇到问题时就会习惯性的运用正向思维，正向思维就成为了我们的定式思维。然而并不是所有的问题都能用这种思维定式解决，所以我们还要学会从辩证思维的观点出发，冲破这种思维定式，学会从习惯思路的反方向去思考分析问题。许多中学生不能掌握反证法在数学中的应用，只能看到它的表面，而不能理解它的精神实质，所以我从反证法的由来，反证法的概念，解题步骤，逻辑基础和分类，以及反证法的适用范围和等方面来说明。反证法这种逆向的思维方式，在我们学习数学的道路上扮演着非常重要的角色，反证法的应用非常普遍，在我们中学中的几何问题的证明，三角形的证明，不等式的证明，数列的证明中都有它的应用，反证法是我们学习数学的另一种方法，学习和研究反证法是我受益匪浅。参考文献1杜永忠.中学数学解题方法反证法M.四川教育出版社.1989.2孙玉清.反证法M.上海教育出版社.1986.3杨景星.怎样运用反证法M.福建教育出版社.1986.4唐德论.反证法及其应用M.湖南教育出版社.1988.5王连笑.反证法漫谈M.天津人民出版社.1981.6刘绍学.人教版高中数学必修二M.人民教育出版社.2004.7段耀勇，杨朝明.反证法的历史沿革J.武警学院学报.2003，19（4）：86-88.8杨婷.数学中反证法的应用J.佳木斯教育学院学报.2013，19（4）：86-88.9丁 琳.反证法在数学解题中的应用J.教学与管理.2006，78-79.10程向阳.浅析反证法的逻辑基础J.阜阳师范学院学报.1997，14-16、39.11李丹丹.反证法证明数学问题的重要方法 J.教育教学.2010，178-179.12Sean Larsen，Michelle Zandieh. Proofs and refutations in the undergraduatemathematics classroom J. Educe Stud Math.2008，205216.The reverse thinking- The Application of proof by contradiction in Middle School MathematicsAbstract：The proof by contradictionis a method that we are more familiar with, but many students only know a little of this method, and they could not master it very well. This article mainly talks about the proof by contradictionfrom two aspects that the basic knowledge and the use. Thebasic knowledge of the proof by contradictionmainly writesabout the concept and solving steps of the proof by contradiction.Theapplication of the proof by contradiction mainly writes the scope of application and the matters that we need to attention.Key word：mathematics thereverse thinkingproof by contradictionsolvingproblem