守恒定律.ppt

云南大学信息学院宗容,第二章 守恒定律,大学物理（College Physics）,力对物体的空间积累效应能量守恒定理,平动情形下的空间积累效应,转动情形下的空间积累效应,质点动能定理,刚体转动动能定理,质点转动动能定理,质点系动能定理,力对物体的空间积累效应能量守恒定理,功、动能、势能，动能定理功能原理、机械能守恒定律,力矩作功,转动动能,刚体势能刚体转动动能定理,机械能守恒,第五章,平动情形下的时间积累效应,转动情形下的时间积累效应,质点动量定理,刚体角动量定理,质点角动量定理,质点系动量定理,力对物体的时间积累效应动量守恒定理,冲量、动量、动量定理、动量守恒定理,冲量矩、角动量角动量定理、角动量守恒,第四/五章,第三章,第二章 守恒定律,一、机械能守恒定律1、功和功率功功率2、动能和动能定理3、势能引力势能和重力势能弹力势能保守力势能曲线4、机械能守恒定律功能原理机械能守恒定律,二、动量守恒定律1、动量和动量定理2、质点系动量定理和质心运动定理质点系动能定理质心质心运动定理3、动量守恒定理4、碰撞碰撞现象完全弹性碰撞完全非弹性碰撞5、*运载火箭的运动,三、角动量守恒定律1、力矩力矩的一般意义力对轴的力矩2、质点角动量守恒定律角动量角动量定理质点角动量守恒定律3、*质点系角动量守恒定律,第二章 守恒定律,2.1 机械能守恒定律,1、功,1）恒力的功 力对质点所作的功等于该力在位移方向上的分量与位移大小的乘积,说明功是标量，没有方向，只有大小，但有正负/2，功A为负值，力对物体作负功，或物体克服该力作功。,单位：焦耳(J)1J=1Nm,功是相对量。因位移的大小与参考系的选择有关，因而功的大小也与参考系的选择相关。求解问题时，应指明参考系。,功是过程量，不是状态量,一、功与功率,2）变力的功,分成许多微小的位移元，在每一个位移元内，力所作的功为,总功,3）合力的功,合力对质点所作的功，等于每个分力所作功的代数和。,b,a,直角坐标系中，合力对质点所作的功，等于其直角分量所作功的代数和。,理解：,即功的独立性原理,4）功的计算,(1)分析质点受力情况，确定力随位置变化的关系；(2)写出元功的表达式，选定积分变量；(3)确定积分限进行积分，求出总功。,例1设作用在质量为2kg的物体上的力F=6t(N)。如果物体由静止出发沿直线运动，问在头2s时间内，这个力对物体所作的功。,解：按功的定义式计算功，必须首先求出力和位移的关系式。根据牛顿第二定律F=ma可知物体的加速度为 a=F/m=6t/2=3t所以 dv=adt=3tdt,力所作的功为,解：,（1）OD段：y=0,dy=0,DC段：x=2,Fy=0,（2）OB段：Fy=0,BC段：y=2,结论：力作功与路径有关，即力沿不同的路径所作的功是不同的,2、功率,定义：单位时间内完成的功，叫做功率,物理意义：表示作功的快慢,功率的公式,单位：瓦特(W)（即J.s-1，焦耳/秒）功有时也用功率与时间的乘积为单位(千瓦小时)1KW.h=3.6106J,几个功率的数量级：睡觉 7080W(基础代谢)闲谈 7080W走路 170380W 听课 70140W跑步 7001000W 足球 630840W,功率等于力在运动方向的分量与速率的乘积；或等于力的大小与速度在力的方向上的分量的乘积。,P46例题2-1例题2-2,二、质点的动能和动能定理,1、问题：一质量为m 的物体在合外力F的作用下，由A点运动到B点，其速度的大小由v1变成v2。求合外力对物体所作的功与物体动能之间的关系。,2、定义：动能 Ek=mv2/2,单位：J 量纲：ML2T2,动能是质点以自身的运动速率所决定的对外做功的能力。,4、说明,1.动能定理表明，动能定理与状态相联系。力在空间上的累积是动能改变的原因。功是质点能量改变的量度；2.动能定理中的合外力，包含所有外力保守力和非保守力3.只有合外力对质点作功(正值或负值)，质点的动能才发生变化(增大或减小)；,3、质点的动能定理：,合外力对质点所作的功等于质点动能的增量。,动能也是描述物体运动状态的物理量，它是标量，且只有正值；由于物体运动速度与参考系选取有关，故一运动物体相对于不同的参考系（惯性系）可能有不同的动能。,5、应用,4.合力所作的功，只与质点初、末状态动能的变化相联系，而不管质点的运动状态在这一过程中的变化如何复杂，也不管作用在质点的力是恒力还是变力。故动能定理为解决变力作功的问题提供了便利。5.质点的动能定理只适用于惯性系,例3一质量为10g、速度为200ms-1的子弹水平地射入铅直的墙壁内0.04m后而停止运动。若墙壁的阻力是一恒量，求墙壁对子弹的作用力。,解：用动能定理,初态动能,末态动能,作功,由动能定理,得,负号表示力的方向与运动的方向相反。,P48例题2-3,三、保守力与非保守力 势能,1）万有引力作功的特点,引力作功只与质点的起始和终了位置有关，而与质点所经过的路径无关,1、万有引力、重力、弹性力作功的特点,万有引力所作的功等于系统引力势能增量的负值即重力势能的降低,若选择两个以万有引力相互作用的质点相距无限远时的引力势能为零，则定义一个质量为m与地心相距r的质点与地球所组成的系统的引力势能为：Ep=-GmM/r,A=-(EP2-EP1),引力作功演示,2）重力作功的特点,重力作功只与质点的起始和终了位置有关，而与质点所经过的路径无关。,若选择y=0处的重力势能为零，则定义一个质量为m，处于高度y的质点与地球所组成的系统的重力势能为：Ep=mgy,重力所作的功等于系统重力势能增量的负值，即重力势能的降低,重力作功演示,3）弹性力作功的特点,弹性力作功只与质点的起始和终了位置有关，而与质点所经过的路径无关。,若选择物体位于平衡位置时系统的弹力势能为零，则定义弹簧形变量为x时，弹簧系统所具有的弹力势能为：Ep=kx2/2,弹性力所作的功等于弹簧系统弹力势能增量的负值，即弹力势能的减小量,1）保守力与非保守力,保守力：作功只与初始和终了位置有关而与路径无关这一特点的力万有引力、重力、弹性力、静电力非保守力：作功与路径有关的力摩擦力、空气阻力、磁场力和爆破力,2）保守力作功的数学表达式,物体沿任意闭合路径运行一周时，保守力对它所作的功为零。保守力作功与路径无关和保守力沿任意路径一周所的功为零保守力的判据,2、保守力与非保守力 保守力作功的数学表达式,内力作功演示,称为矢量微分算符。,(旋度，无旋场),其中：,1）势能的概念,在具有保守力相互作用的系统内，只由质点间的相对位置决定的能量称为势能,保守力作功等于势能增量的负值,3、势能,势能是标量，有大小、正负之分，对于一定相互作用的形式，势能是物体间相互作用的函数,势能定理,上式的意义是:保守力的功等于势能增量的负值。若取b点为零势点，则由式我们得到系统在位置a的势能为：,上式表示，系统在位置a的势能等于系统从该位置移到势能零点时保守力所作的功。这就是计算势能的方法。原则上讲，势能的零点是可以任意选择的，因此势能仅具有相对的意义。,2）关于势能的说明,只有对保守力，才能引入势能的概念势能是物体状态的函数势能具有相对性，势能的值与势能的零点有关，而势能增量不因零点的不同而改变重力势能：零点可以任意选择，一般选地面；引力势能：零点选在无穷远点；弹性势能：零点选在弹簧的平衡位置。势能属于系统，势能是由于系统内各物体间具有保守力作用而产生的，讨论单独一个物体的势能是无意义的。重力势能：物体和地球组成的系统；引力势能：两个物体组成的系统；弹力势能：物体和弹簧内力系统内部物体（视为质点）间的相互作用；外力系统以外的物体对系统内物体的相互作用；既然势能由系统内物体间相互作用决定，故势能必与内力相对应。并非所有内力都对应一定势能，只有保守力才成立；非保守力（或耗散力）不存在对应的势能。,势能曲线的功能：可直接看出系统势能随物体间相对位置的变化趋势；如重力曲线为直线；,4、势能曲线,系统的势能与物体间相对位置的关系曲线势能曲线,直线,抛物线,双曲线,势能曲线的功能,可直接看出系统势能随物体间相对位置的变化趋势；可直接判断出物体在某段相对位移上系统保守力所作功的大小；因为保守力作功的大小等于该位移所对应的势能变化可大致估计在某相对位置时的作用力；曲线斜率为保守力的大小因为势能曲线上任意一点切线的斜率的负值代表了在该相对位置时的作用力，斜率为零处表示作用力为零可判断系统平衡的稳定性 以弹力势能曲线为例：当系统受扰动使x0，该处斜率为正，则斜率负值小于零，即f0，表示力仍指向平衡位置；故点O是系统的稳定平衡位置可直接看出物体运动范围和动能与势能之间相互转化的情形。（见教材）,四、功能原理 机械能守恒定律,作用于质点系的内力和所有合外力所作的功等于系统动能增量,1、质点系的动能定理,推导：质点i的初动能记为Ei0，末动能记Ei由单质点动能定理,将上述各式相加,将上述各式相加,记,记,于是,或,讨论：适用条件：惯性系，所有质点相对于同一参考系。动能定理中的合外力，包含所有外力保守力和非保守力 质点系的动能守恒定理：当 时，质点系动能守恒,定义：系统的动能与势能之和为系统的机械能,质点系的功能原理,质点系的机械能的增量等于外力和非保守内力对系统所作的功之和。,2、质点系的功能原理,考虑质点系动能定理,联立上述三个方程，得,同时令,注意：,原理表明，一个系统的机械能的变化，是由于外力作功和非保守内力作功的结果。当A外+A非保内0时，EE0,系统机械能增加；当A外+A非保内0时，EE0,系统机械能减小；故系统机械能的增量是以外力和非保守内力对系统作功的代数和来度量的。功能原理与动能定理一样，处理具体问题时比直接利用牛顿运动定律简便，因而有较广泛的应用，但须注意。（由于在其中引入了势能，在计算功时不再考虑）,.成立条件：惯性系.功能原理的物理意义：力对空间的累积效应体现于物体系机械能的改变。或，功是物体系机械能改变的量度。.功能原理中，只计及非保守内力和合外力对功的贡献，保守内力所作的功已记入机械能的势能中。,使用功能原理时要注意研究对象的系统划分问题例如，讨论的问题是地面上几个相互作用的物体。假如把这几个物体作为我们研究的系统，地球处于系统之外，这时物体所受重力就属于外力，重力作功就是外力作功，不应列入系统的势能；假如把这几个物体和地球一起划为我们研究的系统，这时物体所受重力就属于保守内力，重力作功必须归入系统的重力势能中；万有引力和弹性力也有类似的情形。,虽然功能原理由动能定理推得，但比动能原理具有更加普遍的意义和适应性；同时要注意两者的差异：动能定理是以单个质点为研究对象；而功能原理是以质点系为研究对象。在功能原理的推导过程中，明显使用了动能定理，而实际上还应用了势能定理的普遍结论。在动能定理中未加入势能的概念，它所指的合力所作的功，是指作用于质点的一切力所作功的代数和，其中也包含重力、万有引力和弹性力所作的功；而在功能原理中，由于引入势能的概念，系统内保守力所作的功便不再出现，代之以系统势能的变化，并包含在系统的机械能的变化之中。动能定理中，质点动能的增量是有合(外)力的功决定的；而功能原理中系统机械能的增量，是由外力的功和非保守内力的功共同决定的。,功能原理和动能定理的差异：,功能原理和动能定理从不同的角度反映了功和能之间的相互联系：作功可以使系统（或物体）的能量发生变化，而能量变化的大小是用作功的多少加以量度的。,从物理过程看，功和能是不容混同的系统和物体所具有的能量是由该系统或物体的运动状态决定的；系统和物体所具有的功是由该系统或物体的运动状态的变化决定的；一个物体或系统处于一定的状态，就具有一定的能量，谈不上功或是否作功；一个系统（含单质点系统）能量的改变，唯一的途径就是作功,判断：功可以转化为能，能也可以转化为功。,如果A外0，A非保内0，则E E0常量,机械能守恒定律：当作用在质点系的外力和非保守内力都不作功时，质点系的机械能是守恒的。,应用机械能守恒定律要注意的问题：1)选择好系统，分清内力与外力。2)分清系统的内力中的保守力和非保守力，判断机械能守恒定律的条件是否满足。3)选择合适的势能零点。,3、机械能守恒定律,注意：,机械能守恒定律总是对一个确定的系统和一个确定的过程而言的。在涉及机械能是否守恒的问题时，必须首先明确是哪个系统，并且在哪个过程中；所谓机械能守恒，是指系统在某一确定的过程中，动能和势能的总和一直保持不变，而不能仅理解为过程的始末两状态机械能相等故该定律应用的条件应为：在整个过程中外力和非保守内力都始终不存在，或始终不作功，或两者所作功代数和始终为0 但有时应用条件不能严格满足，如物体运动时阻力或摩擦力作功，系统机械能要发生变化。伴随系统机械能的增加或减少，总有等量其它形式的能量的减少或增加能量守恒一个系统在只有保守内力作功的情况下机械能守恒，表明保守内力不会使系统的机械能传递到系统外，也不会转化为其它形式的能量，却可以使系统自身的动能和势能之间相互转化机械能守恒定律为解决力学问题提供了简便方法。但要注意使用条件,例1、如图所示用一弹簧把两块质量分别为m1和m2的板连接起来。问在m1上需要加多大的压力使力停止作用后，恰能使m1在跳起时m2稍被提起。弹簧的质量忽略不计。,解：取弹簧的原长处O为重力势能和弹性势能的零点，并以此点为坐标轴的原点，如图(a)。当在弹簧上加上m1和外力F后，弹簧被压缩到y1处，如图(b)；当外力F撤去后，弹簧被推到y2处，如图(c)。在此过程中，只有重力和弹性力作功，故系统的机械能守恒，设弹簧的劲度系数为k，则有,整理得,由图(b)得,由图(c)可知，欲使m2跳离地面，必须满足,解得,例2在一截面积变化的弯曲管中，稳定流动着不可压缩的密度为的流体，如图所示。在图中a处的压强为p1、截面积为S1；在点b处的压强为p2、截面积为S2。由于点a和点b之间存在压力差，流体在管中移动。在a和b处的速率分别为v1和v2，求流体的压强和速率之间的关系。,解：取如图所示的坐标，在点a和点b处的流体因压力差的缘故而移动的距离分别为dx1和dx2，那么由压力差所作的功为：dAp=p1S1dx1-p2S2dx2考虑到流体的不可压缩性，有：S1dx1=S2dx2=dV所以上式为：dAp=（p1-p2）dV,另外，在流体流动过程中重力所作的功为dAg=-dm g（y2-y1）=-g（y2-y1）dV根据动能定理，外力对流体所作的功等于流体动能的增量，故有,即流体在管中任意点都有下述关系,伯努利方程,讨论：若 y1=y2，则伯努利方程可写成,结论：在不可压缩的、密度均匀的流体中，压强较小的区域流速较大，反之亦然。,例3：今有一倔强系数为k的轻弹簧，竖直放置，下端连接一质量为m的物体，开始时使弹簧为原长而物体m恰好与地面接触。今将弹簧上端缓慢地提起，直到物体m刚能脱离地面时止，求此过程中外力作的功。,解：建立如图所示的坐标系。外力 F=kx，这是一个变力。物体m脱离地面的条件是,所以外力作的功为,解：合外力所作的功,当t=0时，x=a，y=0；当t=/(2)时，x=0，y=b。,合外力:,例4：一质量为m的质点在xoy平面上运动，其位置矢量为：，式中a、b、是正值常数，且ab。求：t=0到t=/(2)时间内合外力的功及分力Fx、Fy的功。,合外力的功为,分力Fx、Fy的功为,讨论：(1)显然合外力的功也可由下式求出,由动能定理得合外力的功为,当t=/(2)时，大小,当t=0时，大小：,(2)若只求合外力的功则用动能定理求解最为方便,例5：在光滑的水平桌面上，平放着如图所示的固定的半圆形屏障。质量为m的滑块以初速度v0沿切线方向进入屏障内，滑块和屏障间的摩擦系数为。求：滑块滑过屏障的过程中，摩擦力的功。,解：滑块在水平面内受两个力的作用：摩擦力fr、屏障给它的支持力N，如图所示。滑块在沿屏障作圆周运动的过程中，支持力N不作功，只有摩擦力fr作功；但摩擦力是个变力，不易直接求出，借助动能定理，摩擦力的功为：,求v，滑块作圆周运动，采用自然坐标系,法向：(1),切向：(2),将式(1)代入式(2)，并将积分变量换为后，有：,代入动能定理得,对上式分离变量并积分,例6：如图所示，一链条总长为L、质量为m，放在桌面上，一端下垂，下垂一端的长度为a，链条与桌面之间的滑动摩擦系数为。令链条由静止开始运动。求：链条末端离开桌面时的速率,解：链条受三个力作用：摩擦力、重力(保守力)以及桌面对它的支持力(此力不作功)。此题适宜用功能原理求解，因为这 样只需要考虑摩擦力的功就行了。建立如图所示的坐标ox，摩擦力(变力)的功为,(对链条、细棒这样一些均质、规则的物体，计算重力势能和重力的力矩时可将其质量集中在质心，从而当作一个质点处理),取桌面为零势面，由功能原理得,即,代入A，解得,例7 如图所示，一根质量均匀分布且不可伸长的柔软细绳，总长为L，其一部分放置在光滑的水平桌面上，另一部分经桌边下垂，下垂部分的长度为l0，释放后细绳从静止开始下落。求绳子的下落速度与下落长度的关系。,解 取桌边一点为座标原点O，y轴竖直向下，建立坐标系。Oy0=l0，把地球和细绳划为一个系统，由于桌面是光滑的，故该系统既不受外力作用，也不存在非保守力，系统的机械能守恒。设绳子质量为m，它的线密度为=m/L 取绳子全部处于桌面时为势能零点，则初试状态势能为：,初始状态绳子的动能为零，当下滑点落到y处时，绳子的速度为v，这时系统的动能、势能为：,解得,法二：牛顿定律求解：,这就是所要求的绳子下落速度与下落长度的关系,据机械能守恒定理，有Ep0=Ep+Ek,在绳子全部离开桌面的瞬间，绳子下落速度为：,据牛顿第二定律，y方向可列出,即,作变换,代入，有,当y=y0时，v=0;当y=y时，v=v,两边积分，得,整理，并考虑到y0=l0，得,小结,功与功率,质点的动能定理,万有引力、重力、弹性力作功的特点,势能,质点系的动能定理,质点系的功能原理,机械能守恒定律,作业：思考题：P62 2习 题：P62 1，7，9，11，15，17，18预 习：教材第三章,1、动量,定义：物体的质量与速度的乘积叫做物体的动量,动量描述在力的时间积累效应中质点的运动状态动量是矢量，大小为 mv，方向就是速度的方向；动量是状态量，它具有瞬时性，即处于一定状态的质点具有确定的能量,单位：kgms-1 量纲：MLT1,牛顿第二定律的另外一种表示方法为：,一、动量和动量定理,由牛顿第二定律，有,表示为：,任一瞬间，质点动量的时间变化率等于同一瞬间作用于质点的合力，其方向与合力的方向一致,2.2 动量守恒定律,引入动量的必要性,在侠义相对论中，物体的质量是其运动速率的函数,m0是物体静止质量；v运动速率；c真空中光速,即使在经典力学中质量看作常量，引入动量也有必要。假如有两个质量不同、起初都处于静止状态的质点，在相同力的作用下，并且作用的时间相同，显然这两个质点的速度变化不同：质量小的质点末速度大，质量大的物体末速度小。但可以证明，这两个质点动量变化却是相同的。动量的变化比速度的变化更能反映质点运动状态变化的本质。,（力的作用对时间的积累，矢量）,定义：,方向：速度变化的方向,单位：Ns 量纲：MLT1,说明1）冲量是表征力持续作用一段时间的累积效应，是改变物体机械运动状态的原因；作用效果是改变质点的运动状态；,2、冲量,动量定理的微分形式,为力F在t1到t2的冲量,2）冲量是过程量，与某一过程或时间间隔相对应。I与Ft成比例，要改变运动状态，F小，则t长；3）冲量与功,4）冲量是矢量，其方向与力的性质有关当力的方向不变时，冲量的方向与力的方向一致；当力的方向变化时，冲量的方向不由瞬间力的方向决定，而由mv2-mv1的方向决定；5）一质点受若干个力的共同作用，均在t1至t2内，则,6）冲量与冲力冲量是指持续施加于质点上的力对时间的积累效应，Ft冲力是一种量值大，作用时间短、变化快的力，如碰撞、敲击等.在诸如打桩、爆破和锻打一类问题中，冲力的作用时间短促，力的变化规律很难确定，常常只计算t时间内的平均冲力，用平均冲力的冲量来代替变力的冲量。,3、动量定理,F为恒力时，可以得出IF tF作用时间很短时，可用力的平均值来代替。,在给定的时间间隔内，外力作用在质点上的冲量，等于该质点在此时间内动量的增量动量定理,说明,1）动量定理说明质点动量的改变是由外力和外力作用时间两个因素，即冲量决定的2）动量定理表达了冲量与动量增量的数值与方向关系力的冲量的方向与动量增量的方向一致3）动量定理由牛顿第二定理推出牛顿第二定理反映了在力的瞬时作用下，质点动量随时间变化的规律动量定理说明在力的持续作用下，质点动量增量所遵从的规律4）力作用于物体可以不作功，但不可能不产生冲量，即力作用于物体可以不引起物体动能的变化，但不可能不引起该物体动量的变化5）故物体在力的作用下动量要改变，但其动能有可能是守恒的；相反，物体在力的作用下若动能改变了，其动量必定改变,6）动量与动能,8）动量定理的分量式,9）应用：利用冲力：增大冲力，减小作用时间冲床 避免冲力：减小冲力，增大作用时间轮船靠岸时的缓冲,求作用力,例1、质量为2.5g的乒乓球以10m/s的速率飞来，被板推挡后，又以20m/s的速率飞出。设两速度在垂直于板面的同一平面内，且它们与板面法线的夹角分别为45o和30o，求：（1）乒乓球得到的冲量；（2）若撞击时间为0.01s，求板施于球的平均冲力的大小和方向。,解：取挡板和球为研究对象，由于作用时间很短，忽略重力影响。设挡板对球的冲力为F 则有：,为 F 与x方向的夹角。,二、质点系的动量定理和质心运动定理,1）两个质点的情况,作用在两质点组成的系统的合外力的冲量等于系统内两质点动量之和的增量，即系统动量的增量。,1、质点系的动量定理,2）多个质点的情况,作用在系统的合外力的冲量等于系统动量的增量质点系的动量定理,由牛顿第三定律，内力fij与fji为作用力与反作用力，总是成对出现，故fij+fji0（ij),说明,动量定理适用条件：惯性系，所有质点相对于同一参考系内力对物体系的总动量改变量没有贡献，但对其中某一质点的动量改变有贡献。质点系的动量定理同样具有矢量的独立性,动量定理的分量形式,冲量在某个方向的分量等于在该方向上质点动量分量的增量，冲量在任一方向的分量只能改变自己方向的动量分量，而不能改变与它垂直到其它方向大动量分量,例2、一质量均匀分布的柔软细绳铅直地悬挂着，绳的下端刚好触到水平桌面上，如果把绳的上端放开，绳将落在桌面上。试证明：在绳下落的过程中，任意时刻作用于桌面的压力，等于已落到桌面上的绳重量的三倍。,证明：取如图坐标，设t时刻已有x长的柔绳落至桌面，随后的dt时间内将有质量为dx(M dx/L)的柔绳以dx/dt的速率碰到桌面而停止，它的动量变化率为：,根据动量定理，桌面对柔绳的冲力为：,柔绳对桌面的冲力FF 即：,而已落到桌面上的柔绳的重量为mg=Mgx/L所以F总=F+mg=2Mgx/L+Mgx/L=3mg,1）引入,水平上抛三角板,运动员跳水,投掷手榴弹,2）质心,代表质点系质量分布的平均位置，质心可以代表质点系的平动,2、质心,质心位置矢量各分量的表达式,质量连续分布的物体,说明：1)坐标系的选择不同，质心的坐标也不同；2)对于密度均匀,形状对称的物体,其质心在物体的几何中心处;3)质心不一定在物体上，例如圆环的质心在圆环的轴心上；4)质心和重心是两个不同的概念,对于不太大的实物，质心与重心重合。(重心：重力作用点),例题：试计算如图所示的面密度为恒量的直角三角形的质心的位置。,解：取如图所示的坐标系。由于质量面密度为恒量，取微元ds=dxdy的质量为dm=ds=dxdy所以质心的x 坐标为,积分可得,同理,因而质心的坐标为,教材P70例题3-2,教材P70例题3-2 求半径为R、顶角为2的均匀圆弧的质心。,解：选择x轴沿圆弧的对称轴，圆心O为坐标原点，此时，质心应处于x轴上。设圆弧的线密度为，则 dm=Rd元段dl的坐标为x=Rcos 则圆弧质心的坐标为：,1）系统的动量,结论：系统内各质点的动量的矢量和等于系统质心的速度与系统质量的乘积,3、质心运动定律,2）质心运动定理,质心运动定律：作用在系统上的合外力等于系统的总质量与系统质心加速度的乘积。,它与牛顿第二定律在形式上完全相同，相对于系统的质量全部集中于系统的质心，在合外力的作用下，质心以加速度ac 运动。,说明,质心运动定理描述了质心的运动规律质点系的动量定理与质心运动定理是一回事，他们是同一规律的两种表现形式；质心运动定理表示了质点系作为一个整体的运动规律，这一规律是由质心的运动状态来表述的，但是它不能给出各质点围绕质心的运动和系统内部的相对运动,质心运动定理的微分形式,质心运动定理的积分形式质点系动量定理的又一形式,例题：设有一个质量为2m的弹丸，从地面斜抛出去，它飞行到最高点处爆炸成质量相等的两块碎片。其中一块碎片竖直自由下落，另块个碎片水平抛出，它们同时落地。试问第二块碎片落地点在何处？,解：考虑弹丸为一系统，空气阻力略去不计。爆炸前后弹丸的质心的运动轨迹都在同一抛物线上。如取第一块碎片的落地点为坐标原点，水平向右为坐标轴的正方向，设m1和m2为两个碎片的质量，且m1=m2=m；x1和x2为两块碎片落地点距原点的距离，xc为弹丸质心距坐标原点的距离。有假设可知x1=0，于是,由于x1=0，m1=m2=m，由上式可得,即第二块碎片的落地点的水平距离为碎片质心与第一块碎片水平距离的两倍。,质心运动演示,当系统所受合外力为零时，即F外=0时，系统的动量的增量为零，即系统的总动量保持不变动量守恒定律,三、动量守恒定律,动量守恒演示,守恒的意义：动量守恒是指系统的总动量的矢量和不变，而不是指某一个质点的动量不变。守恒的条件：系统所受的合外力为零。内力的作用：不改变系统的总动量，但可以引起系统内动量的变化动量是描述状态的物理量，而冲量是过程量动量守恒定律是物理学中最普遍、最基本的定律之一。它主要用来处理诸如碰撞、冲击、反冲以及变质量运动等问题,解题步骤：1选好系统，分析要研究的物理过程；2进行受力分析，判断守恒条件；3确定系统的初动量与末动量；4建立坐标系，列方程求解；5必要时进行讨论。,说明：,应用动量守恒定律时注意：,动量守恒的适用条件是质点系所受外力矢量和为零，不需考虑内力的性质和作用的细节实际问题中上述条件往往不能严格满足，但当质点系中物体之间的相互作用，即内力远大于质点系所受的外力时，该定律适用条件可认为近似满足有时虽然质点系所受外力的矢量和不为零，但可以适当选取坐标轴取向，使外力矢量和的分量中，有一个或两个为零，可在该方向使用定律在动量守恒定律中涉及的质点运动速度是相对于同一参考系而言的，若题目条件中所给物体的运动速度不是相对于同一参考系的，则必须将其变换为相对于同一参考系方可,例题：水平光滑铁轨上有一车，长度为l，质量为m2，车的一端有一人（包括所骑自行车），质量为m1，人和车原来都静止不动。当人从车的一端走到另一端时，人、车各移动了多少距离？,解：以人、车为系统，在水平方向上不受外力作用，动量守恒。建立如图所示的坐标系，有m1v1-m2v2=0 或 v2=m1v1/m2人相对于车的速度 u=v1+v2=(m1+m2)v1/m2设人在时间t 内从车的一端走到另一端，则有,在这段时间内人相对于地面的位移为,小车相对于地面的位移为,教材P73例题3-3，3-4,P73例3-3 如图所示，大炮在发射时炮身会发生反冲现象，设炮身的仰角为，炮弹和炮身的质量分别为m和m0，炮弹在离开炮口时的速率为v，若忽略炮身反冲时与地面的摩擦力，求炮身的反冲速度.,解:忽略了炮身与地面的摩擦力，在水平方向上可以运用动量守恒定律，设x轴沿水平向右，炮弹发射前系统的总动量为零，发射时炮弹以速度v沿与x轴成角的方向离开炮口，炮身则以速度v沿x轴负方向运动，应有:m0v+mvcos=0所以炮身的反冲速度为,P73例3-4一原先静止的装置炸裂为质量相等的三块，已知其中两块在水平面内各以80ms-1和60ms-1的速率沿互相垂直的两个方向飞开，求第三块的飞行速度。,解：设碎块的质量都为m，速度分别为v1,v2和v3,根据题意，v1垂直于v2，并处于水平面内，取水平面为xy平面，并设v1和v2分别沿x轴负方向和y轴负方向，如图所示将整个装置视为一个系统,在炸裂过程中内力远大于外力，可以用动量守恒定律 来处理。炸裂前动量为零，炸裂后总动 量也必定为零，即 m1v1+m2v2+m3v3=0,因为三碎块质量相等，所以 v1+v2+v3=0(1)题意已示明，两个碎块的动量都处于xy平面内，第三个碎块的动量也必定处于xy平面内设其方向与x轴成角，于是可将式(1)写成两个分量方程：-v1十v3cos=0，(2)-v2+v3sin=0(3)两式联立可解得 tan=v2/v1=60/80=0.75故=37o将值代入式(2)，求得v3=v1/cos=80/cos37o=1.0*102ms-1,1）概念,两个或两个以上的物体相遇，在极短时间内，它们之间的相互作用达到相当大数值，致使它们的运动状态突然发生显著变化，该现象称为碰撞。,2）特点,物体间的相互作用是突发性，持续时间极短。作用力峰值极大，以至于外力相对很小，碰撞符合动量守恒定律的适用条件。碰撞过程中物体会产生形变。,四、碰撞,1、碰撞现象,3）碰撞过程的分析,接触阶段：两球对心接近运动形变产生阶段：两球相互挤压，最后两球速度相同动能转变为势能形变恢复阶段：在弹性力作用下两球速度逐渐不同而分开运动势能转变为动能分离阶段：两球分离，各自以不同的速度运动,碰撞中动量守恒演示,4）碰撞中动量守恒,5）分类,（1）按碰撞前后总动能是否变化分类,（2）按碰撞前后两球的运动方向分类,正碰：也称对心碰撞，碰撞前后两球都沿连心线运动而发生的碰撞斜碰：两球不沿连心线运动而发生的碰撞,1）碰撞前后速度的变化,两球m1，m2对心碰撞，碰撞前速度分别为v10、v20，碰撞后速度变为v1、v2,动量守恒,由上面两式可得,2、完全弹性碰撞,(4)/(3)得,碰撞前两球相互趋近的相对速度（v10-v20）等于碰撞后两球相互分开的相对速度（v2-v1）,由（3）、（5）式可以解出,2）讨论,若m1=m2，则v1=v20，v2=v10，两球碰撞时交换速度。若v20=0，m1m2，则v1-v1，v2=0，m1反弹，即质量很大且原来静止的物体，在碰撞后仍保持不动，质量小的物体碰撞后速度等值反向。若m2m1，且v20=0，则v1v10，v22v10，即一个质量很大的球体，当它的与质量很小的球体相碰时，它的速度不发生显著的改变，但是质量很小的球却以近似于两倍于大球体的速度运动,碰撞后系统以相同的速度运动 v1=v2=v,动量守恒,动能损失为,3、完全非弹性碰撞,见教材P76例题3-5,P76例题3-5 如图所示的装置称为冲击摆，可用它来测定子弹的速度。质量为m0的木块被悬挂在长度为l的细绳下端，一质量为m的子弹沿水平方向以速度v射中木块，井停留在其中，木块受到冲击而向斜上方摆动，当到达最高位置时，木块的水平位移为s，试确定子弹的速度。解：这类问题通常分两步来讨论第一步是从子弹射中木块直到在木块中停止这一步是完全非弹性碰撞过程，遵从动量守恒定律；第二步是从子弹和木块一起运动直至摆动到最大水平位移，这一步是机械能转换的过程木块在子弹的冲击下获得的动能，全部转变为摆动到最高点时与地球所组成的系统的势能，遵从机械能守恒定律;由上面的分析，可得到两个方程式mv=(m+m0)u(1)(m+m0)u2/2=(m+m0)gh(2),式中u是第一步结束时子弹和木块一起摆动的速率，h是木块摆动的最大高度，显然它可由下式求得:,如果木块摆动到最大高度时悬线的偏角为,则s=lsin，h也可以表示为 h=l(1-cos)由式(1)解出u并代入式(2)，得 所以子弹的速度v可由下式确定：,恢复系数,牛顿提出碰撞定律：碰撞后两球的分离速度v2-v1与碰撞前两球的接近速度v10-v20之比为以定值，比值由两球材料的性质决定。该比值称为恢复系数。,完全非弹性碰撞：e=0，v2=v1完全弹性碰撞：e=1，v2-v1=v10-v20 非完全弹性碰撞：0e1,4、非完全弹性碰撞,例题：如图所示，质量为1kg的钢球，系在长为l=0.8m的绳子的一端，绳子的另一端固定。把绳子拉至水平位置后将球由静止释放，球在最低点与质量为5kg的钢块作完全弹性碰撞。求碰撞后钢球升高的高度。,解：本题分三个过程：第一过程：钢球下落到最低点。以钢球和地球为系统，机械能守恒。以钢球在最低点为重力势能零点。,第二过程：钢球与钢块作完全弹性碰撞，以钢球和钢块为系统，动能和动量守恒。,第三过程：钢球上升。以钢球和地球为系统，机械能守恒。以钢球在最低点为重力势能零点。,解以上方程，可得,代入数据，得,五、系统内质量流动问题运载火箭的运动,在t 时刻，火箭燃料系统的质量为M，速度为v；在tt+t时间间隔内，有质量为m 的燃料变为气体，并以速度u相对火箭喷射出去。在时刻t+t火箭相对选定的惯性参考系的速度为v+v，而燃烧气体粒子相对选定的惯性参考系的速度则为v+v+u。,1、火箭运动的微分方程,叫作火箭发动机的推力,对于在远离地球大气层之外，星际空间中飞行的火箭，可以认为系统不受外力作用，即 F=0,考虑初速度为零，则火箭的速度大小为,M0/M叫做质量比,2、火箭运动的速度公式,质量比Ni=M0/M,但级数越多，技术越复杂。一般采用三级火箭。,3、多级火箭,火箭发射演示,例题：一长为 l，密度均匀的柔软链条，其单位长度的密度为。将其卷成一堆放在地面上。若手握链条的一端，以匀速v 将其上提。当绳端提离地面的高度为x 时，求手的提力。,解：取地面为惯性参考系，地面上一点为坐标原点O，竖直向上为x轴。以整个链条为一系统。设在时刻t，链条一端距原点的高度为x，其速率为v，由于在地面部分的链条的速度为零，故在在时刻t，链条的动量为,链条的动量随时间的变化率为,作用在整个链条的外力，有手的提力F，重力xg和(l-x)g以及地面对链条的支持力N，由牛顿第三定律知N与(l-x)g大小相等，方向相反，所以系统所受的合外力为,动量定理应用问题,1.可运用动量定理求解的问题特征,不考虑中间过程或中间过程很繁杂，而物体系状态量易求，或由物体系的状态量就可以求解的问题。,2.动量定理应用的常用近似方法,平均冲力：由于碰撞问题中作用力的时间一般很短暂，因而，在没有特别注明情况下，一般将碰撞过程中随时间变化的冲力视为平均力，即平均冲力。,.忽略较小外力。一般情况下，冲力的大小比物体的重力、摩擦力等外力大一到二个数量级，因而，它们常可被忽略。,3.运用动量定理解题应注意的问题,.动量定理的独立性、矢量性。.弹性碰撞、非弹性碰撞、完全非弹性碰撞问题弹性碰撞中动量、能量均守恒；非弹性碰撞中，动量守恒，但能量不守恒；完全非弹性碰撞中，动量守恒，但能量不守恒。且碰撞后物体结合在一体共同运动。,.动量守恒与能量守恒一样，是自然界中成立范围最广泛的基本定理之一。至今，没有发现动量守恒定理遭到破坏的事例,解：由动量定理的矢量独立性，分别在各坐标分量方向上应用动量定理：,例1：一物体质量m=2kg,受合外力(SI)的作用，初速度求：第1秒末物体的速度。,完成积分得,说明：本题的目的要求会应用动量定理矢量的独立性解题,解：平均冲力可视为恒力，由动量定理有,因,为计算平均冲力，如图建立坐标系，求解始末状态速度差,代入式(1)得,说明：始末状态速度矢量差也可由三角形法则求得,例2：质量为m的质点，经时间t、以不变的速率v越过一水平 光滑轨道60的弯角求：轨道作用于质点的平均冲力的大小。,例3：如图，用传送带A输送煤粉，料斗口在A上方高h=0.8m 处煤粉自料斗口自由落在传送带A上。设料斗口连续卸煤的流量为qm=40kg/s,传送带A以v=3m/s的水平速度匀速向右运动求：卸煤的过程中，煤粉对传送带A的平均作用力的大小和方向。（不计相对传送带静止的煤粉质量，取g=10m/s2）,解：煤粉下落 h 时的速度。取