创设情境激发兴趣自主探究 教学设计.docx

创设情境激发兴趣自主探究一元二次不等式的解法教学案例与反思花都区第一中学黄金燕情景说明一元二次不等式的解法是北师大版高二数学必修五(2004年审查通过)第三章第2节的内容。这一章是由“不等关系”、“一元二次不等式”、“基本不等式”、“简单线性规划”四部分组成的。一元二次不等式解法是解不等式的基础和核心，它在高中代数中起着广泛应用的工具作用，它已成为代数、三角、解析几何交汇综合的重要部分,是高考综合题的热点。新课标指出：数学学习要以探究为核心，要给学生提供充分的数学探究机会，探究身边的数学，使他们能像科学家那样进行数学探究，体验学习数学的乐趣，增强数学探究的能力。因此，我把本课的教学目标确定为：1、知识目标：使学生掌握三种类型的一元二次不等式的图解法；2、能力目标：通过图象解法渗透数形结合、分类化归等数学思想，培养学生动手能力、观察分析能力、抽象概括能力、归纳总结等系统的逻辑思维能力，培养学生简约直观的思维方法和良好的思维品质；3、情感目标：激发学习数学的热情，培养勇于自主探索和合作学习的精神以及勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。我把教学重点定为三种类型的一元二次不等式图象解法。教学难点定为二次不等式、二次方程和二次函数三者的联系和应用。数形结合和分类转化等数学思想的理解和运用。本小节是初中一元一次不等式解法在知识上的延伸和发展，教学时先给出具体的事例，让学生经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型，并通过研究已学过的一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的关系，在学生初步了解它们之间具有内在联系的基础上，再通过利用二次函数的图象，找出一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，进而得到利用二次函数图象求解一元二次不等式的方一元二次不等式法.这部分内容的主要基础是一元二次方程和二次函数，它作为高中数学的重要基础知识和基本技能，对今后大量的运算和推理将起到至关重要的作用.教学过程I、创设情境、激发兴趣(教师通过多媒体出示如下问题)问题：汽车在行驶过程中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，一般称这段距离为“刹车距”，“刹车距”S(m)与车速X(km/h)之间具有确定的函数关系，不同车型的刹车距函数不同,它是分析交通事故的一个重要数据。上周在学校附近坪山路段甲、乙两辆汽车相向而行，在一个弯道上相遇，弯道限制车速在40(km/h)以内，由于突发情况，两车相撞了。交警在现场测得甲车的刹车距接近但未超过12m,乙车的刹车距离刚刚超过了IOm,又知道这两辆汽车的“刹车距”S(m)与车速X(km/h)之间分别有以下函数关系：S甲=0.0Ix2+0.1xS乙=0.005x2+0.05x谁的车速超过了40(km/h),谁就违章了。试问：哪一辆车违章行驶？同学们很快得出只要解不等式0.0Ix2+(!£<12与0.(X)5f÷0.05x>10求出甲、乙两车的行驶速度，就可以判断哪一辆车违章超速行驶。教师从本例中引出形如ax2+bx+c>0或axx+c<0的不等式(其中a0)叫作一元二次不等式。那么，如何解一元二次不等式呢？此处利用电脑多媒体就地取材，创设了在我们身边发生的交通事故情境，既让学生感受一元二次不等式源自实际生活中，并且不等式与函数的联系非常紧密，也极大调动了学生学习的积极性和兴趣，增强学生学习和应用数学的信心。n、提出问题，回顾旧知通过电脑多媒体给出问题：解方程：2x+3=0作函数y=2x+3的图像解不等式2x+3>0教师：在解决上述三个问题的基础上分析一元一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的关系。能通过观察一次函数的图像求得一元一次方程、一元一次不等式的解集吗？学生A：能。函数图像与X轴的交点横坐标为方程的根，不等式2x÷3>0的解集为函数图像落在X轴上方部分对应的横坐标。教师：通过多媒体作一次函数的图像。扼要讲解怎样通过观察一次函数的图像求得一元一次不等式的解集。在这里我们发现一元一次方程，一次不等式与一次函数三者之间有着密切的联系。利用这种联系(集中反映在相应一次函数的图像上！)我们可以快速准确地求出一元一次不等式的解集。类似地，我们能不能将现在要求解的一元二次不等式与二次函数联系起来讨论找到其求解方法呢？例：如何解不等式x2-2x-3>0?(学生自主学习，主动思考)思维从问题开始，设置的三个问题能刺激学生回忆起自己已有的知识和技能，把复杂的问题简单化，特殊问题一般化，充分发挥学生主体作用，教师适时引导、点拔，学生理解一次函数，一元一次方程，一元一次不等式之间的关系，初步体验函数与方程、不等式之间的联系，为后续的新知识学习作铺垫。m.对比归纳，探究规律学生A：转化为(-3)(x+l)>O得x<T或x>3教师：不错！这位同学想到用转化为一元一次不等式的思路。还有其他方法吗？虽然这不是本节课的目标，但对学生不同的方法，特别与我们备课设计不相符时,态度上应支持、鼓励。当然，此转化在本节课不深究。学生B：令y=2-2-3,画函数y=2-2-3图象来解。(大部分同学很茫然)教师：下面我们来试试，在初中学习了一元二次函数的图像和性质，可以画出函数y=2-2-3的图像吗？鼓励学生动手画出草图，教师巡视课堂，y-把个别学生的答案实物投影，启发学生二次函数的图像Vl/X是一条抛物线，其开口方向由二次项系数决定，然后由多媒体蕤,脑所画出的标准图形，让学生观察和比较。教师：观察图像，方程2-2-3=0的解是什么？图像与X轴的交点坐标是多少？学生B：X=T或x=3；图像与X轴的交点坐标是(-1,0)与(3,0)教师：如果对一般的一元二次方程a2+bx+c=0(aW0)分别有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根，没有实数根的话，其对应的二次函数y=a2+bx+c(a>0)的图像与X轴的位置关系如何？(提问程度较好的学生)学生C：二次函数y=a2+bx+c(a0)的图像分别与X轴交于两点，一点及无交点。在二次函数这个“最近发展区”内，通过学生的观察、思考，教师的点拨启发，以及学生领悟，促进学生主体的学习活动(如画图像、读图等)，主动建构函数图像与对应的一元二次方程、一元二次不等式的联系，实现学生对知识的再创造。教师：你们能在抛物线上找出纵坐标y>。和y。的点吗？学生C：y>o的点位于图像X轴的上方，y。的点位于图像X轴的下方。(用多媒体动画展示结果)教师：X的取值范围是什么时，y>0?不等式2-2x-3>0的解集是什么？学生C:x>3或x<T时,y>0,即2-2-3>0的解集为xx<T,或x>3;教师：那么X的取值范围是什么时，y<0?不等式2-2x-30的解集又是什么？学生学-1（x3时，y<0,BPx2-2-30的解集为x<-lx<3）;教师：（用多媒体动画展示出X的取值范围）这难道不是解一元二次不等式的一种方法吗？，以上一系列“问题链”，由浅入深，循序渐进，符合学生的认知规律，搭建了学生主动参与学习的“脚手架”，通过学生自主参与解决问题和教师的指导，建构新知识和发展能力.一系列的创设实际情境、设问和反问中水到渠成地揭开本课的课题，学生恍然大悟。此时教师已运用多媒体的教学手段让学生初步领略到图象法解一元二次不等式的基本原理和基本步骤。（多媒体展示出本课课题和教学目标）培养学生动手能力、观察分析能力、抽象概括能力、归纳总结等系统的逻辑思维能力，V.积极实践，深化认识下面我们对一般的一元二次不等式a2+bx+c>0或a2+bx+c<0（其中aW0）来进行讨论。为了研究的方面，我们这里只研究a>0的情况，若水0时，只需在不等式的两边同乘以T,把二次项系数变为正便可。（多媒体课件展示）例1：解下列一元二次不等式：(1)3x2+5-2>0（2）-x2-3x+100y。（请三位中等水平的同学板演，教师巡视）在学生独立解题过程中，教师通过巡视了解情况，主要关注中下生，给予指导和帮助，并让得出答案的同学互相合作讨论解一元二次不等式的步骤是什么。教师：好！黑板上的前两题都做得不错，其中第（2）小题的同学懂得二次项系数为负时，需先变为正处理。第（3）小题的同学不会做，问题难在什么地方？哪位同学帮帮他呢？学生E：方程2-T=0的根不能用十字相乘法求，只能用求根公式F=区笋求，由二次函数y=2-XT的图像得解集为<x<教师：同学E新旧知识都掌握得很好！例1是最常见>（）类型的，方程的根分为两种情况一一可用十字相乘法的情况和只能用求根公式法的情况。从这个例题我们可以得到解一元二次不等式a2+bx+c>O或a2+bx+c<O（其中a#0）的基本步骤吗？学生B解一元二次不等式的基本步骤：1、求出对应方程a2+bx+c=O的根；2、画出对应函数y=a2+bx+c的图像简图；3、由图像得出不等式的解集。教师：有没有补充？学生G：当水0时，要先在不等式的两边同乘以-1,把二次项系数变为正再求解。教师：学生G考虑问题很仔细。当二次项系数为负时，需先变为正处理。解一元二次不等式的三个步骤可简记为：求根一一画图一一找解。上述根据图像来解一元二次不等式的方法叫图像法.根据图像来解题，是我们数学中一种很重要的思想，即：数形结合的思想，关键的一步是确定二次函数与X轴交点并画出二次函数图像，引导学生观察函数的图像，总结出不等式的解集和方程的根之间的关系：“小于取中间，大于取两边”。学生的课堂表现说明，学习过程是学生主动建构其认知结构的过程，他们以自己的方式建立起对问题的理解，并通过对自己建构的反思稳定、深化其理解，学生具有很强的认知主体性，学生是待开发的沃土，学生中蕴含着丰富的智慧。有例1作为基础，鼓励学生独立探索，按例1的步骤进行，大部分学生会求出根x1=x2=p该如何画图呢？启发学生：当方程有两个相等实根时，即=()意味着抛物线与X轴只有一个交点，从而引导学生画出正确的图形，同时强调当二次项系数为负时，需首先变为正处理。(多媒体课件展示图像、答案)变式训练：能根据上图找出不等式4x2-4x+l>0,-42+4-120的解集吗？(教师鼓励学生大胆讨论，仔细观察图像得出正确答案)(多媒体课件展示)例3解下列一元二次不等式Jy/(1)2x2-4x+3>0(2)2x2-4x+30,X(有例1、例2的基础，学生一看到题目，迫不急待做题|按“求根画图找解"三步进行，在求根时发现十字相乘法行不通，用求根公式法试试，很快发现也不行，从而得出<(),方程无根的结论，第一步受阻，第二步画图该怎么办呢？大部分学生产生一定程度的焦虑，甚至得出解集为空集的错误结论)教师：通过计算，方程无实数根，即<(),意味着抛物线与X轴无交点。鼓励学生画出图形，观察结果，看看与自己最初的猜想是否一致。学生很快发现(1)的解集为R,(2)的解集为中。变式训练：若不等式2+2x+a<0的解集为空集，求实数a的取值范围。(通过变式,培养学生思维的灵活性和深刻性，进一步深化图像法的基本要领。)通过步步深入设置问题，新的需要与学生原有的数学水平直接产生了认知冲突，这种认知冲突能诱发学生数学思维的积极性。教师抓住这一矛盾和焦虑感将图像法解二次不等式推向高潮，使二次不等式的解法更加完备。这样既培养了学生大胆猜想，勇于探索的勇气，又培养了学生勤于思考，寻根问底的科学精神。，IV.反馈练习、创新提高1、解下列不等式：(1)3x2-7x+2>0;(2)-6x2-÷2>0;(3)2x2-4x+20;(4)x2-3x+50.2、若不等式2+a>0的解集为R,求实数a的取值范围.3、利用刚学的知识判断本节课开始时的问题，甲、乙哪一辆车违章超速行驶？学生独立做题，请四位中等水平的同学上黑板演算第1题。教师巡视课堂，在多媒体课件中公布答案，让同学交换批改。最后让学生以举手的方式让老师了解第一题完成的情况，对完成得好的学生进行表扬，对完成得不太好的同学进行鼓励，根据黑板上演算的过程，教师纠正普遍性问题，并对个别问题进行个别指导。通过以上练习，让全体学生都参与教学，充分发挥学生的主体作用和教师主导地位，使学生加深对知识的理解，提高技能，活跃思维，培养创新。VI.课后小结下面请同学们回忆一下，这节课学习的主要内容？用到了哪些数学思想方法？（教师鼓励学生积极回答，答不完整的没有关系，其它同学补充。以此培养学生的口头表达能力，归纳概括能力。）用多媒体把学生的归纳用一张表展示出来：1、一元二次不等式与一元二次方程及一元二次函数的关系。>O>0=0<0一元二次函数产加+必+C的图象V心一元二次方程ax2+r+C=O的根有两不相等实根X=X1SX=X2有两个相等的实根X=xi=X2无实根一元二次不等式加+反+c>0的解集x<*,或1>再t,b,(X-2aR不等式ax2+6x+c<0的解集xx1<<x22、解一元二次不等式的步骤：求根一一画图一一找解注意：当二次系数为负时，一般转化为正数。思考：若二次项系数不变为正，画图找解该如何进行？以此培养学生思维的灵活性和批判性。3、本节课渗透了函数与方程、数形结合、分类化归等数学思想。v布置作业：1、课本P98页A组第7题（补充）2、m为何值时，二次方程2+2（mT）x+3m2Tl=0有两个不相等的实数根？3、In为何值时，二次函数y=m2-（l-m）x+m与X轴无交点？（选做）4、解关于X的不等式2-2ax+l>O选做题的目的是注意分层教学和因材施教，让学有余力的学生有思考的空间。该题有意培养学生对含有参数的问题进行分类讨论的数学思想。回顾反思：1、突出学生的主体地位，重学生参与学习活动建构主义认为学习不是知识的简单传授，而是学生自己建构知识的过程，这种建构是无法由他人代替的。建构主义的核心是以学生为中心，强调学生对知识的主动探索，主动发现和对所学知识意义的主动建构。本节课教学时先给出具体的事例，让学生经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型，并经过一系列由浅入深、循序渐进的设问、反问，教师适当启发、点拔，促进学生主体的学习活动（如画图像、读图等），并通过自己的积极思维去发现找出一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，进而得到利用二次函数图象求解一元二次不等式的方法，解一元二次不等式的基本步骤等，自始至终充分发挥学生的主体地位，课堂气氛活跃，有利于培养学生独立思考能力。2、体现了认知规律，重教师指导点拨按照认知规律及学生认知特点，由浅入深，由表及里，设计一系列教学活动过程。在学生自主探究、实践的基础上，相机启发，恰当点拨，促进学生知识由感性向理性提升，由具体到概括抽象，形成师生间的有效互动。函数与图像应用是初中生数学的薄弱之处，需要加强主动学习的指导。基于此，在学生初中知识经验的基础上，以旧探新；以一系列问题，促进主体的学习活动（如画图、读图等），建构知识；以问题情景激励学生参与，在恰当时机进行点拨启发，练导结合，讲练结合；通过学生自己做数学，教师启发指导，以及学生领悟，实现学生对知识的再创造和主动建构；具体通过教材中的问题及设计的问题情景，给予学生活动的空间，通过这些问题（“脚手架”）的解决，使学生逐步攀升，达到知识与能力的目标。3、重视新课的导入，激发学生的学习兴趣这一节课的引例是教师精心设计的，我们身边发生的交通事故情境，引入新课的学习，既提升新奇又联系实际，解决实质问题既提升问题的层次，又紧扣学生的学习，因此，一下子吸引了学生的注意，激发起学生的急切探究的欲望和热情，从现场教学情况看，投影一打出，课堂气氛时活跃起来，学生在学习中的积极心向如好奇心,好胜心，求知欲被有效地调动起来。这种设疑诱导、交流讨论的方式在整个教学过程中都得到了体现。4、强化过程体验，重视能力培养新课程积极倡导让学生亲身经历以探究为主的学习活动，培养学生的科学素养。探究能力只有通过学生的主动实践才能发展，科学素养也只有通过学生的主动参与才能养成。因此，在本课教学中，我按照新课标的要求，努力体现新的教学理念，积极创设教学情境，通过学生自主探索、深入实践、合作交流，亲身经历了提出问题、解决问题的过程，学生成为一元二次不等式的图解法的“发现者”和“创造者”,切身感受了创造的苦和乐，知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实。