七年级数学教师培训课件：中小学应用题教学的联系与区别.ppt

黄岩实验中学 蒋良云,中小学应用题教学的联系与区别,一、中小学应用题教学方法的侧重点不同,如：七年级教学内容中有一节列一元一次方程解应用题，当你讲完这一课后，在投影上显示出一个练习题：“比一个数的2倍小3的数等于5，这个数是多少？”,列出算式：（5+3）2=4,行程问题,二、算术解与列方程解应用题的联系与区别,甲、乙两辆汽车从相距324千米的两地同时相对开出，经6小时后在途中相遇，甲车的速度是乙车的，甲车每小时行多少千米？,甲、乙两辆汽车从相距324千米的两地同时相对开出，经6小时后在途中相遇，甲车的速度是乙车的，甲车每小时行多少千米？,甲、乙两辆汽车从相距324千米的两地同时相对开出，经6小时后在途中相遇，甲车的速度是乙车的，甲车每小时行多少千米？,甲、乙两辆汽车从相距324千米的两地同时相对开出，经6小时后在途中相遇，甲车的速度是乙车的，甲车每小时行多少千米？,例如：甲、乙两个工程队共有338人，现抽调甲队人数的，乙队人数的 共抽调78人就可完成任务，甲、乙工程队原来各有多少人？,工程问题：,例如：甲、乙两个工程队共有338人，现抽调甲队人数的，乙队人数的 共抽调78人就可完成任务，甲、乙工程队原来各有多少人？,这两种方法是有区别和联系的：,（一）解法的区别与联系,（二）思路上的比较,例 2台大收割机和5台小收割机同时工作2小时共收割小麦3.6hm,3台大收割机和2台小收割机同时工作5小时共收割小麦8hm。1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？,例 2台大收割机和5台小收割机同时工作2小时共收割小麦3.6hm,3台大收割机和2台小收割机同时工作5小时共收割小麦8hm。1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？,解：设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦xhm和yhm.根据两种工作方式中的相等关系，得方程组,2(2x+5y)=3.6 5(3x+2y)=8 解得 x=0.4 y=0.2 答：1台大型收割机工作1小时收割小麦0.4公顷，1台小型收割机工作1小时收割小麦0.2公顷,三、如何做好两者之间的衔接呢？,（一）应用题解答方式的过渡与衔接,用算术方法与列方程方法解应用题之间有着密切的内在联系，也就是多种类型的应用题的基本关系不变，但他们的思维方法各异。算术方法求解是逆推求解，而列方程方法求解是顺向推导求解。,（二）教学方法的衔接,在小学时由于小学生学习能力低，教师讲得细，练得多，直观性强；到了初中，学科增多，相对来说教师要讲得精，练得少，抽象性比较强。从实际情况看，小学生是以机械记忆、直观形象思维为主。,学生由于受思维定势的影响，用方程思想常感到不习惯，为了解决这个问题，在实际教学中，必须做到：一是引导学生复习小学数学应用题中常见的数量关系，二是着眼启发学生找等量关系，并有意识地指导学生将两种方法进行对比，通过对比使学生体会到设未知数列方程这种方法的优越性，从而使学生逐步从算术方法中解脱出来。,形式变化：字母表示未知量，等式两边可有已知量也可有未知量思维变化：等号单向的程序性思维向等号双向的结构性思维转变本质飞跃；将算术解法抽象的思维过程转化为解方程直观符号操作,有种设想是，完全抛弃算术方法解应用题，一开始就向小学生介绍方程解法。事实证明，这样学习的代数将成无源之水！正如双脚走路是基础，驾驶汽车不能取代走路。你总不能把车停在床边。你总要走到车库里去嘛！实际上，列方程时的数学思维，主要还是用的算术方法。没有算术的第一步，就难有代数的第二步。如果使得算术与代数完全脱离，使得学生没有对比，看不出算术的缺点和代数的优点，体会不到代数方法的优越性，那么代数也是很难学好的。,从算术向代数过渡，是学生数学学习过程中极为重要的转变阶段算术中的基本对象是数，包括数的表示、数的意义、数之间的关系、数的运算等。算术模型是一串“数字”的运算流程。代数中的基本对象除了数，还出现了更具广泛意义的基本对象：符号。代数模型是方程或函数，包含未知数符号的等式关系。,例1、队伍出发2小时后，发现一份文件遗忘在营地，通信员返回拿到后再追队伍，如果队伍每小时行进7千米，通信员每小时比队伍多行5千米，那么，通信员离开队伍后经过多长时间又追上队伍？,代数模型的核心思想是“文字参与运算”。一个习惯的说法是：“代数就是用文字代表数”。其实不然。小学里讲乘法的交换律，就写了AB=BA,这里，用A,B代表任意的自然数，可是和代数无关。代数的实质是用文字代表未知数，而且由文字代表的“未知数”和已知数可以进行运算，即进行“式”的运算。,学生从“数的运算”过渡到“式的运算”，好象人发明了汽车那样，运行速度大幅提高。代数运算的通性通法，取得了极高的思维效率。但是，人不能每时每刻都在坐车，走路仍然是必须的、基本的。这就是说，算术方法依然有其重要的存在价值。,例1 用100元钱买8元一本的书和4元一本的书共17本，你知道两种书各有多少本吗？,（1）利用算术的方法：解法一：(817100)(84)=364=9，17-9=8,解法二：(100417)(8-4)=324=8，17-8=9,解法三：若100元钱都买4元一本的书，可以买1004=25（本）少买2本4元的书，就可以买一本8元的书，因此可以列出如表1所示的数目与价值关系表只有买4元的书9本，8元的书8本才合题意,（2）利用代数的方法，可以设买8元一本的书x本，4元一本的书y本，列方程组,利用消元法，解得x=8，y=9,打个比方，如果未知数在对岸，那么算术方法，好象摸着石头过河找到未知数，代数方法好象用绳索将对岸的未知数捆好拉过河来，二者的思考方向刚好相反。,（3）从解决问题方法多样性的角度来看，算术的方法、列表的方法都不失为解决问题的途径但是从思维发展的角度来说，代数的思考是在抽象层面上的思考，代数的方法具有一般性，是通性通法，属于较高层次的思维按照维果茨基（Vygotsky，1962）的说法，代数对算术就像书面语言对口头语言因此，我们的教学应该引导学生从算术的思考逐步地过渡到代数的思考，逐步地从非形式化的水平上升到形式化的水平。,2 算术方法在应用题求解中的独特作用在面对现实问题时，我们首先使用算术方法思维。简单的问题用算术模型就解决了。例如我们到商场购物，自然用算术方法计算付款找零。这是一切数学问题求解的基础。对于比较复杂的应用性问题，代数方法开始显示优势，但是算术方法在训练学生独特思维，承担分析数量关系的基础方法上，其作用仍然不可替代。以大家熟悉的我国古代数学名题“鸡兔同笼”为例来说明。,“今有鸡兔同笼，上有35头，下有94脚，问鸡兔各几何?”这一问题的代数模型是解二元一次联立方程。小学生不可能用这样高年级才能掌握数学知识来解题。即使成人已经掌握了求解联立方程的知识和技能，也喜欢用算术模型来求解。,总结：算术方法与方程的比较一、算术方法相对较难，原因有二：1、思考量集中，列式的过程往往包括解、消元的步骤；2、对具体问题、特殊技巧的依赖性大，通用性差。方程方法相对简单，原因在于：,