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现代控制理论,主讲：贺廉云德州学院机电工程系,天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难,2,第5章 控制系统的李雅普诺夫稳定性分析,5.1 李雅普诺夫稳定性定义 5.2 李雅普诺夫稳定性理论 5.3 线性系统的李雅普诺夫稳定性分析 5.5 李雅普诺夫第二法在系统设计中的应用,天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难,3,一个控制系统要能够正常工作首要条件是保证系统是稳定的。因此，控制系统的稳定性分析是系统分析的首要任务。1892年，俄国学者李雅普诺夫（Lyapunov）在“运动稳定性一般问题”一文中，提出了著名的李雅普诺夫稳定性理论。该理论作为稳定性判别的通用方法，适用于各类控制系统。李雅普诺夫稳定性理论的核心是提出了判断系统稳定性的两种方法，分别被称为李雅普诺夫第一法和第二法。,天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难,4,李氏第一法是通过求解系统的微分方程，然后根据解的性质来判断系统的稳定性。其基本思路与分析方法和经典理论是一致的。该方法又称为间接法。而李氏第二法的特点是不必求解系统的微分方程（或状态方程），而是首先构造一个类似于能量函数的李雅普诺夫函数，然后再根据李雅普诺夫函数的性质直接判断系统的稳定性。因此，该方法又称为直接法。,天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难,5,5.1 李雅普诺夫稳定性定义,稳定性指的是系统在平衡状态下受到扰动后，系统自由运动的性质。因此，系统的稳定性是相对于系统的平衡状态而言的。对于线性定常系统，由于通常只存在唯一的一个平衡状态，所以，只有线性定常系统才能笼统地将平衡点的稳定性视为整个系统的稳定性。而对于其他系统，平衡点不止一个，系统中不同的平衡点有着不同的稳定性，我们只能讨论某一平衡状态的稳定性。为此，首先给出关于平衡状态的定义，然后再介绍李雅普诺夫关于稳定性的定义。,天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难,6,初始状态为x(t0)=x0。对于上述系统，若对所有的t，状态x满足，则称该状态x为平衡状态，记为xe。故有,5.1.1 平衡状态,f（xe，t）=0 由平衡状态xe在状态空间中所确定的点，称为平衡点。,由于稳定性考察的是系统的自由运动，故令u=0。此时设系统的状态方程为,天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难,7,系统的平衡状态应满足Axe=0。当A是非奇异的，则系统存在唯一的一个平衡状态xe=0。当A是奇异的，则系统有无穷多个平衡状态。显然对线性定常系统来说，当A是非奇异的，只有坐标原点是系统的唯一的一个平衡点。,对于线性定常系统，其状态方程为,天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难,8,对于非线性系统，方程f(xe，t)=0的解可能有多个，即可能有多个平衡状态。如,解得,因此该系统有三个平衡状态,天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难,9,5.1.2 范数的概念,李雅普诺夫稳定性定义中采用了范数的概念。范数的定义：在n维状态空间中，向量x的长度称为向量x的范数，用x表示，则,向量（x xe）范数可写成,通常又将x xe称为x与 xe的距离。当向量（x xe）的范数限定在某一范围之内时，则记为 x xe 0几何意义为，在状态空间中以xe为球心，以为半径的一个球域，记为S()。,天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难,10,5.1.3 李雅普诺夫稳定性定义,定义:对于系统，若对任意给定的实数 0，都对应存在另一个实数(,t0)0，使得一切满足x0 xe(,t0)的任意初始状态x0所对应的解x，在所有时间内都满足,x xe（t t0）则称系统的平衡状态xe稳定的。若与t0无关，则称平衡状态xe是一致稳定的。,1.稳定和一致稳定,天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难,11,S(),S(),x0,x,天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难,12,定义:对于系统，若对任意给定的实数 0，总存在(,t0)0，使得x0 xe(,t0)的任意初始状态x0所对应的解x，在所有时间内都满足,2.渐近稳定,则称平衡状态xe是渐近稳定的。,x xe（t t0）,且对于任意小量 0，总有,天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难,13,x0,x,经典理论中的稳定，就是这里所说的渐近稳定。,天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难,14,定义:如果系统 对整个状态空间中的任意初始状态x0的每一个解，当t时，都收敛于xe，则系统的平衡状态xe叫做大范围渐近稳定的。,3.大范围渐近稳定,显然，由于从状态空间中的所有点出发的轨迹都要收敛于xe，因此这类系统只能有一个平衡状态，这也是大范围渐近稳定的必要条件。对于线性定常系统，当A为非奇异的，系统只有一个唯一的平衡状态xe=0。所以若线性定常系统是渐近稳定的，则一定是大范围渐近稳定的。而对于非线性系统，由于系统通常有多个平衡点，因此非线性系统通常只能在小范围内渐近稳定。在实际工程问题中，人们总是希望系统是大范围渐近稳定的。,天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难,15,定义:如果对于某个实数 0和任一实数 0，不管这两个实数有多么小，在球域S()内总存在一个初始状态x0，使得从这一初始状态出发的轨迹最终将超出球域S()，则称该平衡状态是不稳定的。,4.不稳定,天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难,16,5.2 李雅普诺夫稳定性理论,5.2.1 李雅普诺夫第一法 李雅普诺夫第一法的基本思想是利用系统的特征值或微分方程及状态方程的解的性质来判断系统的稳定性。通常又称为间接法。它适用于线性定常系统、线性时变系统及非线性系统可以线性化的情况。1.线性定常系统 定理5-1 线性定常系统，渐近稳定的充要条件是A的特征值均具有负实部，即 Re(i)0（i=1，2，n）显然，这与经典理论中判别系统稳定性的结论是完全相同的。这里的渐近稳定就是经典理论中的稳定。,天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难,17,2.线性时变系统 对于线性时变系统，由于矩阵A(t)不再是常数阵，故不能应用特征值来判断稳定性，需用状态解或状态转移矩阵(t,t0)来分析稳定性。若矩阵(t,t0)中各元素均趋于零，则不论初始状态x(t0)为何值，当t时，状态解x(t)中各项均趋于零，因此系统是渐近稳定的。这里若采用范数的概念来分析稳定性，则将带来极大的方便。为此，首先引出矩阵范数的定义。定义 矩阵A的范数定义为,如果趋于 零，即矩阵(t,t0)中各元素均趋于零，则系统在原点处是渐近稳定的。,天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难,18,定理5-2 线性时变系统，其状态解为 x(t)=(t,t0)x(t0)系统稳定性的充要条件是：若存在某正常数N(t0)，对于任意t0和t t0，有(t,t0)N(t0)则系统是稳定的。若(t,t0)N，则系统是一致稳定的。,若，则系统是渐近稳定的。,天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难,19,若存在某常数N 0，C 0，对任意t0和t t0，有 则系统是一致渐近稳定的。,3.非线性系统 设非线性系统的状态方程为,f(x,t)对状态向量x有连续的偏导数。设系统的平衡状态为xe=0，则在平衡状态xe=0处可将f(x,t)展成泰勒级数，则得,天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难,20,R(x)：包含对x的二次及二次以上的高阶导数项。取一次近似，可得线性化方程为,天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难,21,定理5-3（1）若线性化方程中的系数矩阵A的特征值均具有负实部，则系统的平衡状态xe是渐近稳定的，系统的稳定性与被忽略的高阶项R(x)无关。（2）若线性化方程中的系数矩阵A的特征值中，至少有一个具有正的实部，则不论高阶导数项R(x)情况如何，系统的平衡状态xe总是不稳定的。（3）若线性化方程中的系数矩阵A的特征值中，至少有一个实部为零，则原非线性系统的稳定性，不能用线性化方程来判断。系统的稳定性与被忽略的高次项有关。若要研究原系统的稳定性，必须分析原非线性方程。,天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难,22,5.2.2 二次型函数,定义:设x是n维列向量，称标量函数,为二次型函数，并将P称为二次型的矩阵。该式又可展开为,天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难,23,称v(x)为正定的。例如，v(x)=x12+2 x22 0。（2）若,称v(x)为正半定的。例如，v(x)=(x1+x2)2 0。（3）如果 v(x)是正定的，则v(x)称为负定的，即,例如，v(x)=(x12+2 x22)0。,标量函数v(x)的定号性：设x是欧氏状态空间中的非零量，v(x)是向量x的标量函数。（1）若,天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难,24,例如，v(x)=(x1+x2)2 0。（5）若v(x)既可正也可负，则v(x)称为不定的。例如，v(x)=x1 x2+x22。,（4）如果 v(x)是正半定的，则称v(x)为负半定的，即,天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难,25,二次型函数的定号性判别准则：对于P为实对称矩阵的二次型函数v(x)的定号性，可以用塞尔维斯特(Sylvester)准则来判定。（1）正定：二次型函数v(x)为正定的充要条件是，P阵的所有各阶主子行列式均大于零，即,（2）负定：二次型函数v(x)为负定的充要条件是，P阵的各阶主子式满足,即,天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难,26,（3）正半定：二次型函数v(x)为正半定的充要条件是，P的各阶主子式满足,（4）负半定：二次型函数v(x)为负半定的充要条件是，P的各阶主子式满足,天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难,27,二次型矩阵P的定号性：二次型函数v(x)和它的二次型矩阵P是一一对应的。这样，可以把二次型函数的定号性扩展到二次型矩阵P的定号性。设二次型函数v(x)=xTPx，P为实对称矩阵，则定义如下：当v(x)是正定的，称P是正定的，记为P 0；当v(x)是负定的，称P是负定的，记为P 0；当v(x)是正半定的，称P是正半定的，记为P 0；当v(x)是负半定的，称P是负半定的，记为P 0。,天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难,28,例5-1 已知v(x)=10 x12+4 x22+2 x1 x2，试判定v(x)是否正定。解:v(x)=10 x12+4 x22+2 x1 x2,所以v(x)是正定的。,天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难,29,5.2.3 李雅普诺夫第二法,1基本思想 李氏第二法是从能量的观点出发得来的，它的基本思想是建立在古典的力学振动系统中一个直观的物理事实上。任何物理系统的运动都要消耗能量，并且能量总是大于零的。对于一个不受外部作用的系统，如果系统的能量，随系统的运动和时间的增长而连续地减小，一直到平衡状态为止，则系统的能量将减少到最小，那么这个系统是渐近稳定的。,天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难,30,但由于系统的形式是多种多样的，不可能找到一种能量函数的统一表达形式。因此，为克服这一困难，李雅普诺夫引入了一个虚构的能量函数，称为李雅普诺夫函数，记为v(x，t)或v(x)。由于v(x)是表示能量的函数，所以v(x)0。这样就可以根据 的定号性来判断系统的稳定性。显然，若v(x)0，并且 0，则系统就是渐近稳定的。,天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难,31,例5-2 一个简单的RC一阶电路，试判断这个系统的稳定性。,解：选择状态变量x1为电容上的电压uc，得系统的状态方程为,电容器储存的电场能为,天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难,32,2.基本定理 李雅普诺夫第二法包括以下五个基本定理。(1)渐近稳定的判别定理一 定理5-4 设系统的状态方程为,其平衡状态为xe=0，如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数v(x，t)，并且满足条件 v(x，t)是正定的，,是负定的，则系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。又当x，有v(x，t)，则在原点处的平衡状态是大范围内渐近稳定的。,天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难,33,几何意义：以二维状态空间为例，设李雅普诺夫函数为二次型函数，即 v(x)=x12+x22 令 v(x)=ci,物理意义：李雅普诺夫函数v(x，t)是一个能量函数，能量总是大于零的，即v(x)0。若随系统的运动，能量在连续地减小，则。当能量最终耗尽，此时系统又回到平衡状态。符合渐近稳定的定义，所以是渐近稳定的。,x0,天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难,34,该定理给出地是渐近稳定的充分条件，即如果能找到满足定理条件的v(x)，则系统一定是渐近稳定的。但如果找不到这样的v(x)，并不意味着系统是不稳定的。该定理本身并没有指明v(x)的建立方法。一般情况下，v(x)不是唯一的。许多情况下，李雅普诺夫函数可以取为二次型函数，即v(x)=xTPx的形式，其中P阵的元素可以是时变的，也可以是定常的。但在一般情况下，v(x)不一定都是这种简单的二次型的形式。该定理对于线性系统、非线性系统、时变系统及定常系统都是适用的，是一个最基本的稳定性判别定理。,天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难,35,解得唯一的平衡点为x1=0，x2=0，即xe=0，为坐标原点。选取李氏函数为二次型函数，即 v(x)=x12+x22 显然v(x)是正定的。v(x)的一阶全导数为,解：由平衡点方程得,例5-3 设系统的状态方程为试确定其平衡状态的稳定性。,天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难,36,因此 是负定的。又当x时，有v(x)，故由定理5-4，平衡点xe=0是大范围渐近稳定的。,例5-4 设系统的状态方程为试确定其平衡状态的稳定性。,可知xe=0是唯一的一个平衡状态。选取,解：由平衡点方程得,天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难,37,v(x)=x12+x22 0（正定）,（负半定）,是负半定的。,在x0时不恒等于零，则在平衡点xe=0处是渐近稳定的。,天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难,38,1)恒等于零，即v(x)=x12+x22 C，表示系统的能量是个常数，不会再减小。另外又表示系统的状态x距原点的距离也是一个常数，不会再减小而趋向原点。显然，此时系统一定不是渐近稳定的。非线性系统中的极限环便属于这种情况。,以二维状态空间，并且以v(x)=x12+x22为例加以说明。,2)不恒等于零，即只在某个时刻暂时为零，而其他时刻均为负值。这表示能量的衰减不会终止。另一方面也表示状态x到原点的距离的平方也不会停留在某一定值v(x)=x12+x22=C上，其他时刻这个距离的变化率均为负值。因此状态x必然要趋向原点，所以系统一定是渐近稳定的。,天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难,39,例5-4 设系统的状态方程为试确定其平衡状态的稳定性。,v(x)=x12+x22 0,当x1=任意值，x2=0时，=0，但不会恒等于零。按照定理5-5，系统在xe=0处是渐近稳定的。又当x时，v(x)，故xe=0也是大范围渐近稳定的。,当 0时，x2=0，x1=0。,天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难,40,为验证定理5-5的正确性，仍以例5-4加以说明。对例5-4，另选李雅普诺夫函数为,即是负定的，满足定理5-4的条件，所以系统在xe=0处是渐近稳定的。由此可见，定理5-5是正确的。同时，对于一个给定的系统，判定渐近稳定的李氏函数不是唯一的。,天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难,41,其平衡状态为xe=0，如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数v(x，t)，并且满足条件 v(x，t)是正定的。,是负半定的。,定理5-6 设系统的状态方程为,在x0时不存在某一x值使 恒为零，则系统在平衡点xe=0处是稳定的。,天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难,42,解：显然，原点为系统的平衡状态。选取李氏函数为下面的二次型函数，即 v(x)=x12+4x22 0,例5-5 设系统的状态方程为试确定系统平衡状态的稳定性。,可见，在任意的x值上均保持为零。因此，系统在xe=0处是稳定的，但不是渐近稳定的。,天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难,43,其平衡状态为xe=0，如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数v(x，t)，并且满足条件 v(x，t)是正定的。,是正定的。,定理5-7 设系统的状态方程为,则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。,天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难,44,解：显然，原点为系统的平衡状态。选取李氏函数为下面的二次型函数，即 v(x)=x12+x22 0,系统在xe=0处是不稳定的。,例5-6设系统的状态方程为试确定系统平衡状态的稳定性。,天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难,45,其平衡状态为xe=0，如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数v(x，t)，并且满足条件 v(x，t)是正定的。,是正半定的。,定理5-8 设系统的状态方程为,在x0时不恒等于零，则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。,天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难,46,解：显然，原点为系统的平衡状态。选取李氏函数为下面的二次型函数，即 v(x)=x12+x22 0,所以系统是不稳定的。,例5-7设系统的状态方程为试确定系统平衡状态的稳定性。,当 0时，x2=0，x1=0。,天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难,47,53 线性系统的李雅普诺夫稳定性分析,利用李雅普诺夫第二法判断系统的稳定性，关键是如何构造一个满足条件的李氏函数，而李氏第二法本身并没有提供构造李氏函数的一般方法。所以，尽管李雅普诺夫第二法在原理上是简单的，但实际应用并不是一件易事。尤其对复杂的系统更是如此，需要有相当的经验和技巧。不过，对于线性系统和某些非线性系统，已经找到了一些可行的方法来构造李氏函数。,天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难,48,5.3.1 线性定常连续系统,式中，x是n维状态矢量，A是nn常数阵，且是非奇异的。在平衡状态xe=0处，渐近稳定的充要条件是：对任意给定的一个正定对称矩阵Q，存在一个正定对称矩阵P，且满足矩阵方程 ATP+PA=Q 而标量函数v(x)=xTPx是这个系统的一个二次型形式的李雅普诺夫函数。,1.渐近稳定的判别方法 定理5-9 线性定常系统,天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难,49,证明 充分性 如果满足上述要求的P存在，则系统在xe=0处是渐近稳定的。设P是存在的，且P是正定的，故选v(x)=xTPx。由塞尔维斯特判据知v(x)0，则,=(Ax)TPx+xTP(Ax)=xTATPx+xTP Ax=xT(ATP+PA)x=xT(Q)x 0由定理5-4知，系统在xe=0处是渐近稳定的。,天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难,50,必要性 如果系统在xe=0是渐近稳定的，则必存在矩阵P，满足矩阵方程ATP+PA=Q。设合适的矩阵P具有下面形式,那么被积函数一定是具有t ket形式的诸项之和，其中是矩阵A的特征值。因为系统是渐近稳定的，必有Re()0，因此积分一定存在。若将P代入上述矩阵方程，可得,天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难,51,1）如果任取一个正定矩阵Q，则满足矩阵方程ATP+PA=Q的实对称矩阵P是唯一的。若P是正定的，系统在xe=0处是渐近稳定的。P的正定性是一个充要条件。,3）为计算方便，在选定正定实对称矩阵Q时，可取Q=I，于是矩阵P可按下式确定：ATP+PA=I 然后检验P是不是正定的。,2）如果 沿任意一轨线不恒等于零，则Q可取为正半定的，结论不变。,天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难,52,解：系统平衡点为坐标原点。取Q=I，则矩阵P由下式确定 ATP+PA=I,例5-8 设系统的状态方程为试判断该系统的稳定性。,2p11=1p11 p12 p22=0 2p12 2p22=1,天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难,53,可知P 0，正定，所以系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。而系统的李氏函数为 v(x)=xTPx=0.5(3x12+2 x1 x2+2x22),天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难,54,5.3.2 线性时变连续系统,1 渐近稳定的判别方法定理5-10 线性时变连续系统,在平衡点xe=0处，渐近稳定的充要条件是：对任意给定的连续对称正定矩阵Q(t)，存在一个连续的对称正定矩阵P(t)，使得,并且 v(x,t)=xT(t)P(t)x(t)是系统的李氏函数。,天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难,55,证明 只证充分性，即如果满足上述要求的P存在，则系统在xe=0处是渐近稳定的。设P(t)是存在的，且P(t)是正定的，即P(t)0。故选v(x，t)=x(t)TP(t)x(t)0，（正定的）。又,天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难,56,若是Q正定对称矩阵，则 是负定的。由定理5-4知，系统在xe=0处是渐近稳定的。证毕,2.判断的一般步骤1）确定系统的平衡状态。2）任选正定对称矩阵Q(t)，代入矩阵方程,解出矩阵P(t)。该矩阵方程属于Riccati矩阵微分方程，其解为,天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难,57,3）判断矩阵P(t)是否满足连续、对称正定性。若满足，则线性时变系统是渐近稳定的，且v(x,t)=xT(t)P(t)x(t),同样，为计算方便，可选Q(t)=Q=I，则,天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难,58,5.3.3 线性定常离散系统,式中，G是n n阶常系数非奇异矩阵。系统在平衡点xe=0处渐近稳定的充要条件是：对任意给定的正定对称矩阵Q，存在一个正定对称矩阵P，且满足如下矩阵方程：GTP G P=Q 并且vx(k)=xT(k)Px(k)是这个系统的李雅普诺夫函数。,1.渐近稳定的判别方法 定理5-11 线性定常离散系统,天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难,59,证明 设所选李氏函数为 vx(k)=xT(k)Px(k)因为P是正定的实对称矩阵，所以vx(k)是正定的。vx(k)=vx(k+1)vx(k)=xT(k+1)Px(k+1)xT(k)Px(k)=Gx(k)TP Gx(k)xT(k)Px(k)=xT(k)GTPG P x(k)=xT(k)Q x(k)由于vx(k)是正定的，根据渐近稳定的条件 vx(k)0，系统渐近稳定的充分条件是Q 0。,天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难,60,解：系统平衡点为坐标原点。取Q=I，则矩阵P由下式确定 GTPG P=I,p11(1 1)=1p12(1 1 2)=0 p22(1 22)=1,例5-9 设离散系统的状态方程为 试确定系统在平衡点处渐近稳定的条件。,天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难,61,要使P为正定的实对称矩阵，则要求 1 1 2 1 也就是说，当系统的特征根位于单位圆内时，系统的平衡点是渐近稳定的。显然，这一结论与经典理论中采样系统稳定的充要条件是完全相同的。,天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难,62,5.3.4 线性时变离散系统,x(k+1)=G(k+1,k)x(k)系统在平衡点xe=0处是大范围渐近稳定的充要条件是：对于任意给定的正对称矩阵Q(k)，存在一个实对称正定矩阵P(k+1)，且满足如下矩阵方程：GT(k+1,k)P(k+1)G(k+1,k)P(k)=Q(k)并且vx(k),k)=xT(k)P(k)x(k)为系统的李雅普诺夫函数。,1.渐近稳定的判别方法定理5-12 线性时变离散系统,天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难,63,证明 只证充分性。设选取李氏函数为 vx(k),k=xT(k)P(k)x(k)因为P(k)是正定的实对称矩阵，vx(k),k是正定的。vx(k),k=vx(k+1),k+1 vx(k),k=xT(k+1)P(k+1)x(k+1)xT(k)P(k)x(k)=xT(k)GT(k+1,k)P(k+1)G(k+1,k)x(k)xT(k)P(k)x(k)=xT(k)GT(k+1,k)P(k+1)G(k+1,k)P(k)x(k)=xT(k)Q(k)x(k)Q(k)=GT(k+1,k)P(k+1)G(k+1,k)P(k)由渐近稳定的充分条件当P(k)0正定时，Q(k)必须是正定的，才能使 vx(k),k 0 证毕,天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难,64,2.判断的一般步骤 1）确定系统的平衡状态。2）任选正定对称矩阵Q(k)，代入矩阵方程 GT(k+1,k)P(k+1)G(k+1,k)P(k)=Q(k)解出矩阵P(k+1)。该方程为矩阵差分方程，其解的形式为,3）判断P(k+1)的正定性，若正定，则系统是渐近稳定的，且李氏函数为vx(k),k=xT(k)P(k)x(k),天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难,65,5.5 李雅普诺夫第二法在系统设计中的应用,5.5.1 状态反馈的设计 在控制系统的设计中，若需通过状态反馈使闭环系统渐近稳定，除可利用状态反馈极点配置的方法外，还可以采用李氏第二法来确定系统的校正方案。设单输入、单输出线性定常系统的状态方程为,若选取二次型函数为李氏函数，即 v(x)=xTPx,=(Ax+Bu)TPx+xTP(Ax+Bu)=xTATPx+(Bu)TPx+xTPAx+xTPBu=xT(ATP+PA)x+(Px)TBu T+xTPBu,天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难,66,如果选P使ATP+PA为负定的，同时选输入量为 u=kxTPB k 0,此时，为负定的，则系统是渐近稳定的。而输入u=kxTPB是状态变量的线性组合，也正是前面介绍的状态反馈。,天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难,67,例5-14 设系统的结构图如图所示，对应的微分方程为,显然系统处于临界等幅振荡状态，属于李氏意义下的稳定系统。若用李氏第二法来决定控制规律u(t)，使系统变为渐近稳定的，如何选取校正方案。,解：系统的状态方程为,天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难,68,取标准二次型函数作为李氏函数，即 v(x)=x12+x22=xTPx P=I,除平衡点xe=0外，其值均不恒等于零，故系统是渐近稳定的。,当u=kx2 k 0,控制规律取自对x1的速度反馈，用速度反馈来镇定控制系统也是工程设计中常用的经典方法。,天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难,69,5.5.3 参数最优化设计,在线性系统中，常常使用各种积分指标来评价系统的控制品质。如误差绝对值积分（IAE）指标、误差平方积分（ISE）指标以及其他二次型积分指标。用李雅普诺夫方法可以评价这些积分指标。下面考察在二次型积分指标最小意义下，如何利用李雅普诺夫第二法使系统的参数最优。设线性系统的状态方程为,其中系统矩阵A()表示A的某些元素依赖于可调参数。参数的选择原则是使二次型积分指标,达到最小，其中Q为正定或正半定常数矩阵。,天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难,70,由于矩阵A()所描述的系统应当是渐近稳定的，因此由指标J中给定的Q阵，可以通过李雅普诺夫方程 AT()P+PA()=Q 解出正定的含参数的矩阵P()。也就可以选取李氏函数为 v(x)=xTP()x,=xT(0)P()x(0)xT()P()x()=xT(0)P()x(0)=v(x)t=0这样问题转化为选择什么样的参数使上式的J最小。,天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难,71,或充分必要条件,解出。,这是函数求极值问题，可由其必要条件,天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难,72,例5-16 设控制系统的结构图如图所示，假设系统开始是静止的。试确定阻尼比 0，使系统在单位阶跃函数r(t)=1(t)的作用下，性能指标,达到最小，其中为给定的加权系数。,解：列写状态方程选取二阶系统的两个状态变量为,天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难,73,二次型积分指标,（3）由李雅普诺夫方程求P()由ATP+PA=Q，可解得,天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难,74,（4）写出李雅普诺夫函数,（5）求J的最小值令，即,因为x2(0)=0，得,2,天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难,75,第5章 小 结,一、李雅普诺夫关于稳定性的四个定义 稳定；渐近稳定；大范围渐近稳定；不稳定。,x,天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难,76,这四个定义全面地概括了古典和现代理论中对系统运动稳定性的描述，使稳定性分析有了一种严格的和统一的理论依据。它们都是在系统的外部输入为零时，即系统的自由运动以及在系统的平衡状态的基础上定义的。要深入理解这四个定义在状态空间中的几何意义，这对于理解这四个定义本身是很有帮助的。,天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难,77,二、李雅普诺夫第二法的五个基本定理 1要熟练掌握这五个基本定理的内容。这五个基本定理是：渐近稳定的判别定理一和定理二；稳定的判别定理；不稳定的判别定理一和定理二。,2要搞清这五个定理之间的区别。其区别主要集中在对 的定号性判别上，可以归纳为以下结论：给定系统 构造v函数 充分条件,天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难,78,天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难,79,3可以把定理中的李雅普诺夫函数v(x，t)看作是系统的能量函数，并结合从初始状态x0出发的系统自由运动的状态轨线的运动情况，则更容易理解定理的内容和实质。4构造一个满足定理要求的李雅普诺夫函数，是李氏第二法的关键。李氏函数具有以下几个突出的性质：李雅普诺夫函数是一个标量函数。李雅普诺夫函数是一个正定函数。对于一个给定的系统，李雅普诺夫函数不是唯一的。,天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难,80,5李氏第二法的这五个基本定理对线性和非线性系统、定常和时变系统都是适用的，但都是充分条件，而不是充分必要条件。因此若能找到满足要求的李氏函数，则可以得到系统稳定性的确切结论。否则，不能做出关于稳定性的任何结论。,天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难,81,1线性定常连续系统。李雅普诺夫函数可用简单的二次型函数来构成，即 vx(t)=xT(t)Px(t)ATP PA=Q若解得的P阵是正定的，则系统在xe=0处是渐近稳定的。,三、利用李氏第二法分析线性系统的稳定性 对于线性系统，利用李氏第二法分析稳定性都有统一的规律可循，要求熟练掌握。,天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难,82,2线性定常离散系统，李氏函数也是简单的二次型函数，即vx(k)=xT(k)Px(k)GTPG P=Q若解得的P阵是正定的，则系统在xe=0处是渐近稳定的。,天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难,83,四、李氏第二法在系统设计中的应用 除对利用李氏第二法判断系统稳定性要求熟练掌握之外，还应了解李氏第二法在系统设计中的应用。本章简要介绍了李氏第二法在系统状态反馈设计和参数最优化设计方面的应用，读者可以从中受到一些启发。随着研究的进展，李雅普诺夫稳定性理论的应用将会越来越广泛。,天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难,84,例5-18 非线性系统用下列微分方程描述：其中系数、均大于零，设输入u为常数，试利用李氏第一法判断其平衡状态的稳定性。,解 系统的平衡状态xe,天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难,85,显然，当u0时，线性化系统的两个特征值均具有负实部，是渐近稳定的，且原系统在平衡状态附近也是渐近稳定的。,而当u 0时，线性化系统是不稳定的，且原非线性系统在平衡系统状态xe附近也是不稳定的。,天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难,86,例5-20 试利用李氏第二法确定如图所示系统大范围渐近稳定的K的取值范围。,解：由图可写出系统的状态方程,天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难,87,假设选取正半定的实对称矩阵Q为,若取，则有x3 0，从而x1和x2亦恒等于零。可见，只是在原点处才恒等于零，故可取Q为正半定的。,天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难,88,使P成为正定矩阵的充要条件为122K 0和K 0即 0 K 6因此，当0 K 6时，系统是大范围渐近稳定的。,天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难,89,例5-21试确定下列系统平衡状态的稳定性。,解：可写出系统的状态方程,选取李雅普诺夫函数为vx(k)=xT(k)Px(k)其中P是正定实对称矩阵。,天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难,90,取Q=I，则若系统是渐近稳定的，其充要条件是满足方程GTPG P=Q上述方程又可展开为下面的方程组,天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难,91,P=,可见P不是正定矩阵，所以该系统在原点处不是渐近稳定的。,天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难,92,结 束,