中值定理在不等式证明中的应用.doc

精选优质文档-倾情为你奉上摘 要本文主要写在不等式证明过程中常用到的几种中值定理，其中在拉格朗日中值定理证明不等式的应用中讲了三种方法：直接公式法、变量取值法、辅助函数构造法.在泰勒中值定理证明不等式的应用中，给出了泰勒公式中展开点选取的几种情况：区间的中点、已知区间的两端点、函数的极值点或最值点、已知区间的任意点.同时对各种情况的运用范围和特点作了说明，以便更好的运用泰勒中值定理证明不等式.并对柯西中值定理和积分中值定理在证明不等式过程中的应用问题作简单介绍.关键词：拉格朗日中值定理；泰勒公式；柯西中值定理；积分中值定理；不等式Abstract This paper idea wrote in inequality proof of use frequently during several of the mean value theorem, which in the Lagrange mean value theorem proving inequality in the application of the three methods to speak: direct formula method, variable value method, the method to construct auxiliary function. in the application of proof inequalities of the Taylor mean value theorem , which gave Taylor formula on the point in several ways: the point of the interval, the interval of two known extreme, the function extreme value point or the most value point, the interval of known at any point. And the application range of of all kinds of situation and characteristics that were explained, in order to better use Taylor of the mean value theorem to testify inequality. And Cauchy mid-value theorem and integral mean value theorem in the application process to prove the inequality were briefly discussedKey words :The Lagrange Mean Value Theorem；Taylor's Formula；Cauchy Mean Value Theorem；Inequality；The Mean Value Theorem for Integrals专心-专注-专业目 录摘要 （I）Abstract （I）1 引言 （1）2 拉格朗日中值定理在不等式证明中的应用 （2） 2.1 拉格朗日中值定理（2） 2.2 利用拉格朗日中值定理证明不等式（2） 2.2.1 直接公式法 （2） 2.2.2 变量取值法 （4） 2.2.3 辅助函数构造法 （5）3 泰勒中值定理在不等式证明中的应用 （7） 3.1 泰勒中值定理（7） 3.2 利用泰勒公式证明不等式（7） 3.2.1 中点取值法 （7） 3.2.2 端点取值法 （9） 3.2.3 极值取值法 （9） 3.2.4 任意点取值法 （11）4 柯西中值定理在不等式证明中的应用（14） 4.1 柯西中值定理（14） 4.2 利用柯西中值定理证明不等式（14）5 积分中值定理在不等式证明中的应用 （16） 5.1 积分中值定理（16） 5.2 利用积分证明不等式（16）结束语 （18）参考文献 （19）致谢 （20）1 引言不等式也是数学中的重要内容，也是数学中重要方法和工具.中值定理包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理及泰勒中值定理以及积分中值定理等.以拉格朗日中值定理(也称微分中值定理)为中心，介值定理是中值定理的前奏，罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形，而柯西中值定理、泰勒中值定理及定积分中值定理则是它的推广.利用中值定理证明不等式，是比较常见和实用的方法.人们对中值定理的研究，从微积分建立之后就开始了以罗尔定理，拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学的理论基础，它们建立了函数值与导数值之间的定量联系，中值定理的主要作用在于理论分析和证明；应用导数判断函数上升、下降、取极值、凹形、凸形和拐点等项的重要性态.此外，在极值问题中有重要的实际应用.微分中值定理是数学分析乃至整个高等数学的重要理论，它架起了利用微分研究函数的桥梁.微分中值定理从诞生到现在的近300年间，对它的研究时有出现.特别是近十年来，我国对中值定理的新证明进行了研究，仅在国内发表的文章就近60篇.不等式的证明不仅形式多种多样，而且证明方式多变，常见的方法有：利用函数的单调性证明，利用微分中值定理证明，利用函数的极值或最值证明等，在众多方法中，利用中值定理证明不等式比较困难，无从下手，探究其原因，一是中值定理的内容本身难理解，二是证明不等式，需要因式而变，对中值定理的基础及灵活性要求较高.我们在日常教学中常常遇到不等式的证明问题，不等式是初等数学中最基本的内容之一，我们有必要把这类问题单独拿出来进行研究，找出它们的共性，以方便我们日后的教学研究工作的开展.2 拉格朗日中值定理在不等式证明中的应用2.1 拉格朗日中值定理拉格朗日（J.L.Lagrange，1736-1813，法国数学家，力学家，文学家）.拉格朗日中值定理 设函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则在开区间()内至少存在一点 ，使得 (1)或 . (2)拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广，即罗尔定理是拉格朗日定理当时的特殊情形.拉格朗日定理中，由于，因而可将表示为 ，.这样（1）式还可表示为 ，. (3)若令，则有 ，. （4）一般称式（1）、（2）、（3）、（4）式为拉格朗日公式.2.2 利用拉格朗日中值定理证明不等式 2.2.1 直接公式法例2.1 证明不等式成立. 分析 首先要构造一个辅助函数； 由欲证形式构成“形似”的函数区间. 运用拉格朗日公式来判断.证明 设.由拉格朗日公式（2）可得 ， .等式两边同取绝对值，则有 .而 .又因为 .因此，就得到 . 证毕.评注 此题如果单纯地应用初等数学的方法来证明，会难以得出结论，而应用了拉格朗日公式，再利用三角函数的简单知识，问题就游刃而解了.例2.2 证明不等式，（）成立.分析 此题利用反三角函数的有关知识，构造一个辅助函数，再利用拉格朗日中值定理就可以轻轻松松地解出此题.证明 设,在上满足拉格朗日定理的全部条件，因此有（）， .因为 ，可得.例2.33 证明. 证明 设函数，则，不难看出在区间上满足拉格朗日定理条件，于是存在，使 .由于，所以，上式为 . 因为当时为单调增函数，所以 .两边同时乘以，则得 ， 即 ， 证毕. 2.2.2 变量取值法例2.4 证明不等式 成立，其中.分析 （1）根据题中式子构造一个相似函数，和定义区间. （2）利用对数的四则运算法则，将对数式整理成拉格朗日中值定理所满足的形式，从而得出结论.证明 设，.由拉格朗日公式（3），则有 . （1）由不等式，可推得 及. 代入（1），即 . 证毕.评注 解此题关健在于观察要证明的不等式中把对数式拆开成，再利用拉格朗日的公式来轻松地得出结论.例2.4 证明不等式，对一切，成立.分析 此题首先利用对数的有关知识，构造了一个辅助函数，再利用拉格朗日中值定理解出此题.证明 由拉格朗日公式（4），令，.则有 ，. （1）当时，由不等式 ，可推得及 . （2）当时，由不等式，可知 .由于， 可推（2）式成立，将（2）式代入（1）式，就可知不等式成立. 评注 证明此种不等式的关健是构造一个辅助函数，再利用初等数学的有关知识来证明不等式.例2.5 证明若，则.证明 令，则在R上连续、可导，且.情形一 当时，由拉格朗日定理知使 .整理有.因为，所以有.情形二 当时，由拉格朗日中值定理知，使 .整理有.因为此时，三边同时乘以，所以成立.综上所述，当时，成立.从以上例题可以发现：灵活构造“”的取值，不仅可使证明过程简单，有时甚至是解题的关键.2.2.3 辅助函数构造法例2.64 设函数在上连续，在内可导，又不为形如的函数证明至少存在一点，使.证明 做辅导函数 ，则为形如的函数因为不为形如的函数，所以至少存在一点，使 .情形一 ，此时 即 .因为，所以由中值定理知，使 ， 从而有 .情形二 ，此时，即 .因为，所以由拉格朗日中值定理，使得 ，从而有 . 综上所述，在内至少有一点使原式成立. 证毕. 许多证明题都不能直接应用定理进行证明利用拉格朗日中值定理证明问题时，如何构造辅助函数，是证明的关键.3 泰勒中值定理在不等式证明中的应用3.1 泰勒中值定理泰勒中值定理 如果函数在含有的开区间内有直到阶导数，则对任一点，有 其中是与之间的某个值，上式称为按的幂展开的阶泰勒公式.下面就泰勒中值定理中函数展开点的不同情况来证明不等式.3.2 利用泰勒公式证明不等式 3.2.1 中点取值法 选区间中点展开是较常见的一种情况，然后在泰勒公式中取为适当的值，通过两式相加，并对某些项进行放缩，便可将多余的项去掉而得所要的不等式.下面以实例说明.例3.15 设在区间内，> 0，试证：对于内的任意两个不同点和，有 .证明 将分别在及处展开，得 ，其中是与之间的某个值.上式中分别取及， ； .上面两式相加，得 .因为，所以，即 .注 (1)若题中条件“”改为“”，而其余条件不变，则结论改为 .(2)若例1的条件不变，则结论可推广如下：对内任意个不同点及，且，有 .例3.2 设函数在区间a，b上二阶连续可导，且，证明其中.证明 将在处展开，得 .其中是 与之间的某个值.因为，所以有 ，上式在作定积分，然后取绝对值 . 即 . 3.2.2 端点取值法当条件中出现，而欲证式中出现厂，展开点常选为区间两端点然后在泰勒公式中取为适当的值，消去多余的项，可得待证的不等式.例3.3 函数在区间a，b上二阶可导，且，证明：在内至少存在一点，使得. 证明 将分别在及处展开，得 ； .上面两式中取， ； .上面两式相减，并由，得 . 记 .其中，.于是，有 . 3.2.3 极值取值法当题中不等式出现函数的极值或最值项，展开点常选为该函数的极值点或最值点. 例3.46 设函数)在区间内二阶可导，且存在极值及点，使，试证：至少存在一点，使. 证明 将在处展开，得 ，其中， 介于与之间.上式取，并由，得，其中介于与之间.两边同乘以，得，（1）当时，上式取，得.即. （2）当时，上式取，同理可得.由(1)及(2)得，存在，使得.再由的连续性，得注 (1)当题中条件“连续”去掉，而其他条件不变时，结论可改为在内至少存在一点 ，使得成立(2)当题中条件添加时，结论可改为：在内至少存在一点，使得成立.3.2.4 任意点取值法当题中结论考察的关系时，展开点常选为该区间内的任意点，然后在泰勒公式中取为适当的值，并对某些项作放缩处理，得所要的不等式.例3.57 函数在区间上二阶可导，且A， B，其中A，B为非负常数，试证：，其中. 证明 将在处展开， ，其中介于与之间. 上式中分别取及，；. 上面两式相减，得 .即.故 .即，再由的任意性，故有 ，其中.例3.6 函数在区问上二阶可导，且，试证.证明 将在处展开， ，其中车于与之间.上式中分别取及， ；.上边两式相加，得 .上式两端在上对作积分， .于是有 ， .即.注 从不等式的特点出发，应用实际范例给出了泰勒公式中展开点选取的几种情况：区间的中点，已知区间的两端点，函数的极值点或最值点，已知区间的任意点.同时对各种情况的运用范围和特点作了说明，以便更好地运用泰勒中值定理证明不等式.4 柯西中值定理在不等式证明中的应用4.1 柯西中值定理柯西中值定理 设，满足 （1）在上； （2）在内； （3）对任一有， 则， 使得/=/.4.2 利用柯西中值定理证明不等式例4.1 设函数在内可微，证明：在内，.证明 引入辅助函数在应用柯西中值定理，得因为例4.28 证明不等式证明 令则上式转化为由于上应用柯西中值定理，得于是又转化为.因为而当所以即 例4.39 若，求证：证明 证明实际上只需证，设上，满足柯西中值定理条件，所以 .即 .其中用到是单调增加函数.5 积分中值定理证明不等式5.1积分中值定理 定理5.1(积分第一中值定理) 若在区间上连续，则在上至少存在一点使得 定理5.2(推广的积分第一中值定理) 若在闭区间上连续，且在上不变号，则在至少存在一点，使得.5.2 利用积分中值定理证明不等式 例5.111 证明. 证明 估计积分的一般的方法是:求在的最大值和最小值，又若，则.本题中令 .因为. 所以.例5.2 证明. 证明 在区间上求函数的最大值和最小值.，令，得驻点.比较，知为在上的最小值，而为在上的最大值.由积分中值定理得，即.注 由于积分具有许多特殊的运算性质，故积分不等式的证明往往富有很强的技巧性.在证明含有定积分的不等式时，也常考虑用积分中值定理，以便去掉积分符号，若被积函数是两个函数之积时，可考虑用广义积分中值定理.如果在证明如1和2例题时，可以根据估计定积分的值在证明比较简单方便.结束语 中值定理是一条重要定理，它在微积分中占有重要的地位，起着重要的作用，深入挖掘渗透在这一定理中的数学思想，对于启迪思维，培养创造能力具有重要意义.伟大的数学家希尔伯特说“数学的生命力在于联系” 数学中存在着概念之间的亲缘关系，存在着理论结构各要素之间的联系，存在着方法和理论之间的联系， 存在着这一分支邻域与那一分支邻域等各种各样的联系，因此探索数学中各种各样的联系乃是指导数学研究的一个重要思想实际上，具体地分析事物的具体联系，是正确认识和改造客观世界必不可少的思维方式在一定的意义上说，数学的真正任务就在于揭示数学对象之间、数学方法之间的内在固有联系，这一任务的解决不断推动数学科学向前发展 中值定理在一些等式的证明中，我们往往容易思维定式，只是对于原来的式子要从哪去证明，很不容易去联系其它，只从式子本身所表达的意思去证明.今后应当注重研究中值定理各定理之间的联系，更好的应用中值定理解决不等式的证明.参考文献1 高尚华.华中师范大学第三版.数学分析(上)M.北京:高等教育出版社，2001，(06).2 董焕河、张玉峰.高等数学与思想方法M.陕西:西安出版社，2000，(09).3 高崚峰.应用微分中值定理时构造辅助函数的三种方法J.四川:成都纺织高等专科学校学报.2007，(07):18-19.4 张太忠、黄星、朱建国.微分中值定理应用的新研究J.江苏:南京工业职业技术学院学报.2007，(8):12-14.5 张元德、宋列侠.高等数学辅导30讲M. 清华大学出版社，1994，(6).6AI Jing-hua.Characters Equal Definitions and application of Convex FunctionJ.Journal of Kaifeng University， Vol.17，No.2，Jun.2003:132-136.7 钟朝艳.Cauchy中值定理与Taylor定理得新证明J.云南:曲靖师专学报.1998，(9):9.8 荆天.柯西中值定理的证明及应用J.北京:科技信息(学术版).2008，(06):14.9 葛健牙、张跃平、沈利红.再探柯西中值定理J.浙江:金华职业技术学院学报.2007，(06):23.10刘剑秋、徐绥、高立仁.高等数学习题集(上)M.天津:天津大学出版社，1987，(07).11 刘法贵、左卫兵.证明积分不等式的几种方法J.高等数学研究，2008，(06).12 蔡高厅.高等数学M.天津大学出版社，1994，(06).13 W. Rmdin， Principle of Mathematical Analysis （Second edition）J. Mc Graw-Hill ， New York， 1964，(09):96-102.致谢从2008年9月到现在，我在黄淮学院已经渡过接近四年的时光在论文即将完成之际，回想起大学生活的日日夜夜，百感交集.在大学学习的四年时间里，正是老师们的悉心指导、同学们的热情关照、家人的理解支持，给了我力量，从而得以顺利完成学业在此对他们表示诚挚的谢意!本论文是在导师钟铭的悉心指导下完成的.导师渊博的专业知识，严谨的治学态度，精益求精的工作作风，诲人不倦的高尚师德，严以律己、宽以待人的崇高风范，朴实无华、平易近人的人格魅力对我影响深远.他对数学理论在经济，金融领域中的应用的想法和建议，使学生受益匪浅、铭刻终生.本论文从选题到完成，每一步都是在导师的指导下完成的，倾注了导师大量的心血.在此，谨向导师表示崇高的敬意和衷心的感谢！感谢数学科学系其他老师讲授的数学基础课程，为我夯实了数学研究的理论基础，他们是李东亚老师、魏本成老师、庞留勇老师、侯亚林老师等感谢数学系全体领导、老师、同学创造了一个宽松，自由的学习环境.此外我还感谢室友冯克飞、王宁对我的论文完成过程中给我的指导，她们深厚的数学功底以及对数学应用软件操作等方面的知识给了我很大的帮助最后深深地感谢我的父母，把最诚挚的感谢送给他们，感谢他们无微不至的关心和支持，感谢他们的无私奉献以及为我所做的一切