直线与椭圆位置关系及焦点三角形等题型大全(教师版).doc

精选优质文档-倾情为你奉上 椭圆的有关题型大全(教师版)一、直线与椭圆位置关系：1.点与椭圆的位置关系点P(x0，y0)在椭圆内部的充要条件是；在椭圆外部的充要条件是；在椭圆上的充要条件是.2.直线与椭圆的位置关系.设直线l：Ax+By+C=0，椭圆C：，联立l与C，消去某一变量(x或y)得到关于另一个变量的一元二次方程，此一元二次方程的判别式为，则l与C相离的<0； l与C相切=0； l与C相交于不同两点>0.3.弦长计算计算椭圆被直线截得的弦长，往往是设而不求，即设弦两端坐标为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)|P1P2|= （k为直线斜率）形式(利用根与系数关系（推导过程：若点在直线上，则，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，或者。)4.椭圆中点弦问题的两种方法(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆1(a>b>0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点，【则kAB】则由，得(xx)(yy)0，变形得··，即kAB.例题讲解：一，直线与椭圆的位置关系例题1、判断直线与椭圆的位置关系解：由可得 （1）当时，直线与椭圆相交（2）当时，直线与椭圆相切（3）当时，直线与椭圆相离例题2、若直线与椭圆恒有公共点，求实数的取值范围解法一：由可得，即解法二：直线恒过一定点当时，椭圆焦点在轴上，短半轴长，要使直线与椭圆恒有交点则即当时，椭圆焦点在轴上，长半轴长可保证直线与椭圆恒有交点即综述：解法三：直线恒过一定点要使直线与椭圆恒有交点，即要保证定点在椭圆内部即评述由直线方程与椭圆方程联立的方程组解的情况直接导致两曲线的交点状况，而方程解的情况由判别式来决定，直线与椭圆有相交、相切、相离三种关系，直线方程与椭圆方程联立，消去或得到关于或的一元二次方程，则（1）直线与椭圆相交（2）直线与椭圆相切（3）直线与椭圆相离，所以判定直线与椭圆的位置关系，方程及其判别式是最基本的工具。或者可首先判断直线是否过定点，并且初定定点在椭圆内、外还是干脆就在椭圆上，然后借助曲线特征判断：如例2中法二是根据两曲线的特征观察所至；法三则紧抓定点在椭圆内部这一特征：点在椭圆内部或在椭圆上则二、弦长问题例3、已知椭圆的左右焦点分别为F1,F2，若过点P（0，-2）及F1的直线交椭圆于A,B两点， 求ABF2的面积解法一：由题可知：直线方程为由可得，解法二：到直线AB的距离由可得，又评述在利用弦长公式（k为直线斜率）或焦（左）半径公式时，应结合韦达定理解决问题。例题4、 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在轴上的椭圆，过它对的左焦点作倾斜解为的直线交椭圆于，两点，求弦的长分析：可以利用弦长公式求得，也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解因为，所以因为焦点在轴上，所以椭圆方程为，左焦点，从而直线方程为由直线方程与椭圆方程联立得：设，为方程两根，所以， 从而(法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解由题意可知椭圆方程为，设，则，在中，即；所以同理在中，用余弦定理得，所以例题5、已知是直线被椭圆所截得的线段的中点，求直线的方程分析：本题考查直线与椭圆的位置关系问题通常将直线方程与椭圆方程联立消去(或)，得到关于(或)的一元二次方程，再由根与系数的关系，直接求出，(或，)的值代入计算即得并不需要求出直线与椭圆的交点坐标，这种“设而不求”的方法，在解析几何中是经常采用的解：方法一：设所求直线方程为代入椭圆方程，整理得 设直线与椭圆的交点为，则、是的两根，为中点，所求直线方程为方法二：设直线与椭圆交点，为中点，又，在椭圆上，两式相减得，即直线方程为方法三：设所求直线与椭圆的一个交点为，另一个交点、在椭圆上，。 从而，在方程的图形上，而过、的直线只有一条，直线方程为说明：直线与圆锥曲线的位置关系是重点考查的解析几何问题，“设而不求”的方法是处理此类问题的有效方法若已知焦点是、的椭圆截直线所得弦中点的横坐标是4，则如何求椭圆方程？例题6、已知椭圆及直线（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程解：（1）把直线方程代入椭圆方程得 ，即，解得（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为，由（1）得，根据弦长公式得 ：解得方程为说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式；解决弦长问题，一般应用弦长公式用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程例7：(2011·高考陕西卷) 设椭圆C：1(a>b>0)过点(0，4)，离心率为. (1)求C的方程； (2)求过点(3，0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标解：(1)将(0，4)代入C的方程得1， b4.又由e得， 即1，a5. C的方程为1.(2)过点(3，0)且斜率为的直线方程为y(x3)，设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y(x3)代入C的方程，得1，即x23x80，x1x23.又， 中点坐标为.二、椭圆焦点三角形的周长、面积公式的应用：定理 y F1 O F2 xPP在椭圆（0）中，焦点分别为、，点P是椭圆上任意一点，则.证明：记，由椭圆的第一定义得在中，由余弦定理得：配方得：即由任意三角形的面积公式得：.同理可证，在椭圆（0）中，公式仍然成立.例题讲解：例1 若P是椭圆上的一点，、是其焦点，且，求的面积.解法一：在椭圆中，而记点P在椭圆上，由椭圆的第一定义得：在中，由余弦定理得：配方，得：从而解法二：在椭圆中，而解法一复杂繁冗，运算量大，解法二简捷明了，两个解法的优劣立现！例2、 是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且，求的面积解： 例3：如图，椭圆1的左、右焦点分别为F1，F2，一条直线l经过F1与椭圆交于A，B两点，若直线l的倾斜角为45°，求ABF2的面积解：由椭圆的方程1知，a4，b3，c.由c知F1(，0)，F2(，0)，又直线l的斜率ktan 45°1，直线l的方程为xy0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由消去x，整理得25y218y810.y1y2，y1y2.|y1y2| ，SABF2|F1F2|·|y1y2|×2×.例4、已知ABC的顶点B，C在椭圆y21上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC的周长是()A2 B6C4 D12解析：选C由于ABC的周长与焦点有关，设另一焦点为F，利用椭圆的定义，|BA|BF|2a=2，|CA|CF|2a=2，便可求得ABC的周长为4a=4.专心-专注-专业