圆锥曲线的切点弦与应用.doc

精选优质文档-倾情为你奉上圆锥曲线的切点弦探究题引：由点P(1，3)引圆的两条切线，求即切点弦方程一探：切点弦在圆中剖析1：由题意和图可得，过点P(1，3)引圆的两条切线，其切线的斜率都存在，设过点P(1，3)引圆的两条切线为，利用，求出k，进而求出切点坐标，利用直线的点斜式即可尽管运算较复杂，但却是解析几何中最基础、最重要的方法解法1：如图751所示，设过P(1，3)引圆的两条切线为：由题意易得，或故设过点P(1，3)引圆的两条切线为：，：设两个切点分别为A、B，则联立与与B（）故由两点式或点斜式易得两切点A、B所在的直线方程为剖析2：如图751所示，设两个切点分别为A、B，利用逆向思维及抽象思维，由点P(1，3)引圆的两条切线，亦可看作分别过A、B作圆的两条切线相交于P解法2：设切点A()，切点B()，则过A，B的圆的切线方程为：，：又及都过P(1，3)，由此得到， 从具体到抽象，则过两个切点的直线方程为剖析3：因为过P(1，3)引的两条切线切线分别为PA、PB，则有，联想到初中的四点共圆，得到巧解解法3：如图751所示，由图和题意及上面的剖析得到四点P、A、O、B共圆，且圆的直径为OP，以直径的OP为直径的圆的方程为：那么过A，B的直线就是圆与圆的公共弦，两圆方程相减即得所求，则过两个切点分别为A、B的直线方程为剖析4：由上述解法3得到启示，切点弦其实就是以P点为圆心，以为半径的圆与圆的公共弦解法4：由题意易得=，在中，=1，则以P点为圆心，以为半径的圆的方程为，两圆方程相减即得所求，则过两个切点分别为A、B的直线方程为剖析5：利用初中的切割线性质及其三角形相似性质解法5：设两个切点分别为A、B，连接与相交于，则有由于直线的方程为，于是令，利用这正是所要求的切点弦的直线方程剖析6：利用定比分点公式得到一种很少人使用的好方法解法6：如图751所示，连接，设与相交于点，则由平面几何中的射影定理等知识得到=由定比分点公式得到=，=上述解法5已得，由直线的点斜式得到二探我们知道：切点弦所在直线就是二个切点的连线，而切点是直线与圆锥曲线相切得到的交点，因此我们先从圆锥曲线的切线入手来展开探究结论1：点（，）在圆上，过点作圆的切线方程为结论2：点（，）在圆外，过点作圆的两条切线，切点分别为，则切点弦的直线方程为结论2：（补充）点（，）在圆内，过点作圆的弦（不过圆心），分别过作圆的切线，则两条切线的交点的轨迹方程为直线证明：由上述结论2可得过的圆的切点弦的直线方程为又弦过点（，），即，则两条切线的交点的轨迹方程为直线上述结论能推广到圆心不在原点的情况吗？回答是肯定的！结论3：点（，）在圆上，过点作圆的切线方程为结论4：点（，）在圆外，过点作圆的两条切线，切点分别为，则切点弦的直线方程为结论4：（补充）点（，）在圆内，过点作圆的弦（不过圆心），分别过作圆的切线，则两条切线的交点的轨迹方程为直线：那么对于圆的一般方程呢？也会得到同样的结论吗？结论5：点（，）在圆上，过点作圆的切线方程为结论6：点（，）在圆外，过点作圆的两条切线，切点分别为，则切点弦的直线方程为结论6：（补充）点（，）在圆内，过点作圆的弦（不过圆心），分别过作圆的切线，则两条切线的交点的轨迹方程为直线：运用类比推理，那么椭圆会有相似的结论吗？回答是肯定的！我们知道：椭圆方程可以通过变换得到圆的方程，于是得到结论7：点（，）在椭圆（）上，过点作椭圆的切线方程为结论8：点（，）在椭圆（）外，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，则切点弦的直线方程为结论8：（补充）点（，）在椭圆（）内，过点作椭圆的弦（不过椭圆中心），分别过作椭圆的切线，则两条切线的交点的轨迹方程为直线：证明：由上述结论8可得过的椭圆的切点弦的直线方程为，又弦过点（，），即，则两条切线的交点的轨迹方程为直线我们知道圆与椭圆均属于封闭曲线，那对于非封闭曲线，如双曲线是否也有同样的性质呢？回答也是肯定的！结论9：点（，）在双曲线（）上，过点作双曲线的切线方程为结论10：点（，）在双曲线（）外，过点作双曲线的两条切线，切点分别为，则切点弦的直线方程为结论10：（补充）点（，）在双曲线（）内，过点作双曲线的弦（不过双曲线中心），分别过作双曲线的切线，则两条切线的交点的轨迹方程为直线：我们知道圆、椭圆及双曲线均属于有心二次曲线，那对于无心二次曲线，如抛物线来说，上述性质能继续得到延伸吗？回答还是肯定的！结论11：点（，）在抛物线（）上，过点作抛物线的切线方程为结论12：点（，）在抛物线（）外，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，则切点弦的直线方程为结论12：（补充）点（，）在抛物线（）内，过点作抛物线的弦，分别过作抛物线的切线，则两条切线的交点的轨迹方程为直线：上述研究的都是圆锥曲线的标准形式，那么对于圆锥曲线的非标准形式是否也有类似的结论呢？结论13：点（，）在椭圆上，过点作椭圆的切线方程为结论14：点（，）在双曲线上，过点作双曲线的切线方程为结论15：点（，）在抛物线上，过点作抛物线的切线方程为结论16：点（，）在椭圆外，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，则切点弦的直线方程为结论17：点（，）在双曲线外，过点作双曲线的两条切线，切点分别为，则切点弦的直线方程为结论18：点（，）在抛物线外，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，则切点弦的直线方程为结论16：（补充）点（，）在椭圆内，过点作椭圆的弦（不过椭圆中心），分别过作椭圆的切线，则两条切线的交点的轨迹方程为直线：结论17：（补充）点（，）在双曲线内，过点作双曲线的弦（不过双曲线中心），分别过作双曲线的切线，则两条切线的交点的轨迹方程为直线：结论18：（补充）点（，）在抛物线内，过点作抛物线的弦，分别过作抛物线的切线，则两条切线的交点的轨迹方程为直线：由上述结论8、10、12及结论16、17、18可得：结论19：过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，切点分别为，则切点弦的直线必过相应的焦点，且垂直切点弦结论20：过双曲线准线上一点作双曲线的两条切线，切点分别为，则切点弦的直线必过相应的焦点，且垂直切点弦结论21：过抛物线准线上一点作抛物线的两条切线，切点分别为，则切点弦的直线必过焦点，且垂直切点弦以下证明结论19:证明如下：设椭圆方程为，由结论8可得切点弦的直线方程为，显然过焦点当然容易验证：同理可证结论20、21事实上，结论19、20、21的逆命题也是成立的由此得到：结论22: 为椭圆的焦点弦，则过，的切线的交点必在相应的准线上结论23: 为双曲线的焦点弦，则过，的切线的交点必在相应的准线上结论24: 为抛物线的焦点弦，则过，的切线的交点必在准线上以下证明结论22:证明如下：设（，），由结论8可得切点弦的直线方程为，因过焦点，则有，即，故点必在相应的准线上同理可证结论23、24结论25:点是椭圆准线与长轴的交点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，则切点弦就是通径结论26: 点是双曲线准线与实轴的交点，过点作双曲线的两条切线，切点分别为，则切点弦就是通径结论27：为抛物线的准线与其对称轴的交点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，则切点弦就是其通径以下证明结论27：证明如下：由结论21可得必为切点弦，因点在对称轴上，由对称性可得，也关于对称轴对称，故就是通径同理可证结论25、26结论28：过抛物线（）的对称轴上任意一点（）作抛物线的两条切线，切点分别为，则切点弦所在的直线必过点证明如下：如图所示，令（，），由结论11得到切线的方程为又切线过（），代入推出，同理，即切点弦所在的直线方程为，故必过点结论29：过椭圆（）的对称轴上任意一点作椭圆的两条切线，切点分别为，（1）当，时，则切点弦所在的直线必过点；（2）当，时，则切点弦所在的直线必过点证明如下：如图所示，令（，），由结论7得到切线的方程为又由于切线过点，则得到（1）当，时，即点在轴时，代入得到，同理，即切点弦所在的直线方程为，故必过点（2）当，时，即点在轴时，代入得到，同理，即切点弦所在的直线方程为，故必过点结论30：过双曲线（）的实轴上任意一点（）作双曲线（单支）的两条切线，切点分别为，则切点弦所在的直线必过点证明如下：如图所示，令（，），由结论9得到切线的方程为又由于切线过点，则得到，同理，即切点弦所在的直线方程为，故必过点结论31：过抛物线（）外任意一点作抛物线的两条切线，切点分别为，弦的中点为，则直线必与其对称轴平行证明如下：如图所示，令，则，又由结论11得到切线，的方程分别为：，=故直线必与其对称轴平行结论32：若椭圆（）与双曲线（，）共焦点，则在它们交点处的切线相互垂直证明如下：由题意易得令其交点（，），则代入上述椭圆及双曲线方程得到，=依据结论7及结论9得到过点的椭圆与双曲线的切线方程分别为：，=结论33：过椭圆外一定点作其一条割线，交点为，则满足的动点的轨迹就是过作椭圆两条切线形成的切点弦所在的直线方程上证明如下：如图所示，不妨设椭圆方程为：（）由已知条件易得，令分有向线段所成的比为，结合图便知分有向线段所成的比为，设，由定比分点公式推出由上述两式结合并相乘得到 事实上，两个交点，都在椭圆上，则有由上述两式结合并相减整理得到= 由及推出由结论33及圆锥曲线的共性同理可得：结论34：过双曲线外一定点作其一条割线，交点为，则满足的动点的轨迹就是过作双曲线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上结论35：过抛物线外一定点作其一条割线，交点为，则满足的动点的轨迹就是过作抛物线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上 关于结论33及其结论34的证明完全雷同于结论33的证明过程结论36：过双曲线外一点作其一条割线，交点为，过，分别作双曲线的切线相交于点，则动点的轨迹就是过作双曲线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上证明如下：如图所示，不妨设双曲线方程为：（），我们令， ，由前面结论10可得切点弦所在的直线方程为，又点在直线上，则，即在直线，故动点的轨迹就是过作双曲线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上由结论36及圆锥曲线的共性同理可得：结论37：过椭圆外一点作其一条割线，交点为，过，分别作椭圆的切线相交于点，则动点的轨迹就是过作椭圆两条切线形成的切点弦所在的直线方程上结论38：过抛物线外一点作其一条割线，交点为，过，分别作抛物线的切线相交于点，则动点的轨迹就是过作抛物线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上关于结论37及其结论38的证明完全雷同于结论36的证明过程结论39：从椭圆（）的右焦点向椭圆的动切线引垂线，则垂足的轨迹为圆：结论40：从（）的右焦点向双曲线的动切线引垂线，则垂足的轨迹为圆： 三、一题多用的教学价值应用1（补充）（2011年江西省高考试题）椭圆的焦点在轴上，过点作圆的切线，切点分别为、，直线恰好过椭圆的右焦点和上顶点，求椭圆的方程分析如下：由上述结论2可得切点弦的直线方程为，因此可得右焦点为，上顶点为，即，故椭圆的方程为应用2：（补充）（2012年福建省厦门一中模拟试题）设是抛物线上的一个动点，过点作抛物线的切线与圆： 相交于、，分别过、作圆的切线相交于，求动点的轨迹方程分析如下：设，显然，由上述结论11可得过点的抛物线的切线方程为，再由上述结论2可得过点的圆的切点弦直线方程为，依据两条直线重合，则对应项系数成比例得到，并代入得到联立方程组：与得到，利用判别式可得，即，即，故动点的轨迹方程，且，即动点的轨迹方程（）应用1（2010年浙江省高中会考试题）设点在圆上，是过点的圆的切线，且切线与抛物线相交于，（1）若，点恰好是线段的中点，求点坐标；（2）是否存在实数，使得以为底边的等腰三角形恰有3个？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由分析如下：（1）由结论1可得切线的方程为（），设，将切线的方程与抛物线方程联立可得将之与联立解得，或，或代入验证可得，（2）由（1）可得以为底边的等腰三角形当且仅当点恰好是线段的中点，等腰三角形恰有3个可相应地转化为点有三解，故只要（1）中的三个解都满足，可得应用2（课本习题）求证：椭圆与双曲线在其交点处的切线相互垂直证明如下：易得椭圆与双曲线的焦点相同，由结论32即可得证应用3（2008年安徽省高考试题压轴题第22题）设椭圆：（）过点，且左焦点（1）求该椭圆的方程；（2）当过点的动直线与椭圆相交于不同两点，在线段上任取一点，且满足，证明点总在某条定直线上分析如下：（1）由已知易得所求椭圆的方程为（2）直接利用结论33即可得证应用4（2008年江西省高考试题第21题）设点在直线上，过点作双曲线的两条切线，切点为，定点(，0) （1）过点作直线的垂线，垂足为，试求的重心所在的曲线方程； （2）求证：三点共线分析如下：（1）（略）（2）由结论10显然可得切点弦所在的直线方程为，由于点的坐标为（，），即，于是切点弦所在的直线方程为，显然定点(，0)满足该方程，于是三点共线值得注意的是：其实，纵观近几年的高考试题，不难发现一个共同之处，那就是如果压轴题是解析几何，几乎其结论都是带有规律的普遍性结论，如2008年江西省高考试题第21题就是结论36的特例，2008年安徽省高考试题压轴题第22题就是结论33的一个特例应用5（2008年南通市第一次调研试题）已知点，点在轴上运动，点在轴上，为动点，且满足：，=（1）求动点的轨迹的方程；（2）由直线上一点向曲线引两条切线，切点分别为，求证：分析如下：（1）设代入已知条件易得动点的轨迹的方程为（2）显然直线就是抛物线的准线，由结论21可得应用6（2006全国高考试题）已知抛物线x24y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且（0）过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为（1）证明·为定值；（2）设ABM的面积为S，写出Sf()的表达式，并求S的最小值证明如下：（1） F点的坐标为(0,1)设点A、点B的坐标分别为、，由可得由上述结论11可得过A点、B点的切线方程分别为，联立可得点M的坐标，代入得到·=0（2）由（1）可得，我们易得=（当且仅当时取等号）应用7（2008年广东省（理科）高考试题）椭圆方程（），抛物线方程为如图所示，过点作轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为，已知抛物线在点处的切线经过椭圆的右焦点（1）求满足条件的椭圆与抛物线方程；（2）设，分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点，使得为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由分析如下：（1）事实上，点就是抛物线的焦点，易得，由上述结论15易得抛物线在点处的切线方程为，显然椭圆的右焦点，代入得到，故椭圆方程，抛物线方程为（2）因为过点作轴的的垂线与抛物线只有一个交点，所以以为直角三角形只有一个；同理以为直角三角形也只有一个若以为直角，设，因为，则有=0易得上述方程只有两解，即以为直角的三角形存在两个综上所述，抛物线上存在四个这样的点，使得为直角三角形应用8证明结论39证明如下：设椭圆上切点，由结论7可得过点的切线方程为过右焦点且垂直于切线的直线方程为上述两式平方相加即可得证四、一组巩固训练题练习1从的右焦点向双曲线的动切线引垂线，求垂足的轨迹图形的面积练习2在直角坐标系中，为坐标原点，点，点（）是轴上的动点，过点作线段的垂线交轴于点，在直线上取点，使得（1）求动点的轨迹的方程；（2）点是直线上的一个动点，过点向曲线引两条切线，切点分别为，求证：练习3（2005年江西省高考试题）如图，设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.（1）求APB的重心G的轨迹方程；（2）证明PFA=PFB练习4（2010年江西省九江一中模拟试题）开口向上的抛物线与经过点且斜率为的直线相交于点、，已知抛物线在点、处的切线所成的角为，并且，求直线与抛物线的方程练习5证明结论40练习6（2004年济南市高考模拟试题）过椭圆：上一点向圆：引两条切线，切点为，若直线与轴、轴相交于、（1）试用，来表示直线的方程；（2）求面积的最小值练习7（2005年福建省模拟试题）从直线上任一点引抛物线两条切线，切点分别为，求弦的中点的轨迹方程五、巩固训练题参考答案1分析如下：由结论40可得垂足的轨迹方程为，则图形面积为2分析如下：（1）易得动点的轨迹的方程为（）（2）显然直线就是抛物线的准线，由结论可得3分析如下：（1）设切点A、B坐标分别为，由上述结论11可得切线AP，BP的方程分别为为：，解得，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：（2）由于P点在抛物线外，则，由此可得同理可得，故AFP=PFB4分析如下：设、，不妨设在第一象限，在第二象限，由结论11可得抛物线在点处的切线斜率为，点处的切线斜率为，设两条切线所成的角为，则，即 由于、共线，所以 由已知，则有将代入得到，又， ，则有， 将代入得到 将代入得到 将、代入得到，（舍去）将代入、得故直线的方程为：，抛物线的方程：5证明如下：设双曲线上切点，由结论9可得过点的切线方程为过右焦点且垂直于切线的直线方程为上述两式平方相加即可得证6分析如下：（1）由结论2可得直线（切点弦）的方程为（2）由（1）易得，则三角形面积公式及均值不等式可得=7分析如下：设，由结论12可得切点弦的方程为，即，与联立得到=专心-专注-专业