平面向量题型归纳1.docx

精选优质文档-倾情为你奉上平面向量题型归纳一向量有关概念：【任何时候写向量时都要带箭头】1向量的概念：既有大小又有方向的量，记作：或。注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。例：已知A（1,2），B（4,2），则把向量按向量（1,3）平移后得到的向量是 2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：或。3零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的；4单位向量：单位向量：长度为1的向量。若是单位向量，则。(与共线的单位向量是)；5相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；6平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：，规定零向量和任何向量平行。提醒：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； 两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合； 平行向量无传递性！（因为有)； 三点共线共线；如图，在平行四边形中，下列结论中正确的是 （ ）A. B.C. D.7相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是、。例：下列命题：（1）若，则。（2）若，则。（6）若，则。（3）若，则是平行四边形。（4）若是平行四边形，则。其中正确的是_题型1、基本概念1：给出下列命题：若|，则=；向量可以比较大小；方向不相同的两个向量一定不平行；若=，=，则=；若/，/，则/；其中正确的序号是 。2、基本概念判断正误：（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。（3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。（4）四边形ABCD是平行四边形的条件是。（5）若，则A、B、C、D四点构成平行四边形。（6）因为向量就是有向线段，所以数轴是向量。（7）若与共线， 与共线，则与共线。（8）若，则。 （9）若，则。（10）若与不共线，则与都不是零向量。（11）若，则。 （12）若，则。二、向量加减运算8.三角形法则：；（指向被减数）9.平行四边形法则： 以为临边的平行四边形的两条对角线分别为，。题型2.向量的加减运算1、化简 。2、已知,则的最大值和最小值分别为 、 。3、在平行四边形中，若，则必有 ( ) A. B. C. 是矩形 D. 是正方形题型3.向量的数乘运算1、计算：（1） （2）题型4.作图法求向量的和1、已知向量，如下图，请做出向量和。 题型5.根据图形由已知向量求未知向量1、 已知在中，是的中点，请用向量表示。2、 在平行四边形中，已知，求。题型6.向量的坐标运算1、已知，则 。练习：若物体受三个力,则合力的坐标为 。2、已知，则点的坐标是 。3、.已知，求，。2、 已知,向量与相等，求的值。5、已知是坐标原点，且，求的坐标。三 平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数、，使a=e1e2。基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。题型7.判断两个向量能否作为一组基底1、已知是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底：A. B. C. D.练习：下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）(A) (B) (C) (D) 2、.已知，能与构成基底的是（ ）A. B. C. D.3、知向量e1、e2不共线，实数(3x-4y)e1(2x-3y)e2 =6e1+3e2 ,则xy的值等于 4、设是两个不共线的向量，若A、B、D三点共线，求k的值.5、平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C(x, y)满足=+，其中,R且+=1，则x, y所满足的关系式为 （ ）A3x+2y-11=0 B(x-1)2+(y-2)2=5 C2x-y=0 Dx+2y-5=0四平面向量的数量积：1两个向量的夹角：对于非零向量，作，称为向量，的夹角，当0时，同向，当时，反向，当时，垂直。实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：当>0时，的方向与的方向相同，当<0时，的方向与的方向相反，当0时，注意：0。例1、已知分别是的边上的中线,且,则可用向量表示为_例2、已知中，点在边上，且，则的值是 2 平面向量的数量积：如果两个非零向量，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积或点积），记作：，即。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。3向量的运算律：1交换律：，；2结合律：，；3分配律：，。题型8：有关向量数量积的判断1：判断下列各命题正确与否：（1）；（2）若，则当且仅当时成立；（3）；（4）对任意向量都成立；（5）若，则；（6）对任意向量，有。 (7)m（）=m+m 其中正确的序号是 。2、下列命题中： ； ； ； 若，则或；若则；。其中正确的是_题型9、求单位向量 【与平行的单位向量：】1.与平行的单位向量是 。2.与平行的单位向量是 题型10、数量积与夹角公式：； 向量的模：若，则，1、ABC中，则_2、已知，与的夹角为，则等于_3、已知，且与的夹角为，求（1），（2），（3），（4）。4、已知是两个非零向量，且，则的夹角为_5、已知，求与的夹角。6、已知，求。 7、已知非零向量满足，则的夹角为 8：已知中,则与的夹角为 9：已知向量与向量的夹角为120°，若向量=+，且，则的值为 10：已知|1|2，|2，则与2-的夹角余弦值为 11：已知向量=，=2，和的夹角为，当向量+与+的夹角为锐角时，求的取值范围。题型11、求向量的模的问题 如向量的模：若，则，1、已知零向量 2、已知向量满足 3、已知向量， 4、已知向量的最大值为 5、设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外， (A) 8 (B) 4 (C) 2 (D) 1 6、 设向量，满足及，求的值练习：已知向量满足求7、 设向量，满足 8、已知向量、满足，则|的最大值是 最小值是 。题型12、结合三角函数求向量坐标1. 已知是坐标原点，点在第二象限，求的坐标。2.已知是原点，点在第一象限，求的坐标。五、平行与垂直知识点：；题型13：向量共线问题1、已知平面向量，平面向量若，则实数 2、设向量若向量与向量共线，则 3、已知向量若平行，则实数的值是（ ）A-2B0C1D2练习：设，则k_时，A,B,C共线5、已知不共线，如果，那么k= ,与的方向关系是 练习：已知，且，则x_6、已知向量，则 题型14、 向量的垂直问题1、已知向量，则实数的值为 2、已知向量 练习：已知=（1，2），=（-3，2）若k+2与2-4垂直，求实数k的值3、已知单位向量4、 练习： ，5、以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，则点B的坐标是_ 题型15、在上的投影为，它是一个实数，但不一定大于0。1、已知，且，则向量在向量上的投影为_2、已知，是单位向量，当它们之间的夹角为时，在方向上的投影为 。练习：已知，的夹角，则向量在向量上的投影为 题型16、三点共线问题1.已知，求证：三点共线。2.设，求证：三点共线。练习：已知，则一定共线的三点是 。3.已知，若点在直线上，求的值。4.已知四个点的坐标，是否存在常数，使成立？5：是平面内不共线两向量，已知，若 三点共线，则= 6：设O是直线外一定点，A、B、C在直线上，且,则= 7：设，是两个不共线向量，若与起点相同，tR，t= 时，t，()三向量的终点在一条直线上。8：如图，在ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若m，n，则mn的值为_9:在OAB的边OA，OB上分别取点M，N，使|13，|14，设线段AN与BM交于点P，记a，b，用a，b表示向量.练习：如图，在OAB中，AD与BC交于点M，设a，b.(1)用a、b表示；(2)已知在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过M点，设p，q，求证：1.六、线段的定比分点：1定比分点的概念：设点P是直线PP上异于P、P的任意一点，若存在一个实数 ，使，则叫做点P分有向线段所成的比，P点叫做有向线段的以定比为的定比分点；2的符号与分点P的位置之间的关系：当P点在线段 PP上时>0；当P点在线段 PP的延长线上时<1；当P点在线段PP的延长线上时；例1、若点分所成的比为，则分所成的比为_3线段的定比分点公式：设、，分有向线段所成的比为，则，特别地，当1时，就得到线段PP的中点公式。题型17、定比分点2、若M（-3，-2），N（6，-1），且，则点P的坐标为_3、已知，直线与线段交于，且，则等于七、平移公式：如果点按向量平移至，则；曲线按向量平移得曲线.注意：（1）函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？（2）向量平移具有坐标不变性，题型18、平移1、按向量把平移到，则按向量把点平移到点_2、函数的图象按向量平移后，所得函数的解析式是，则_八、向量中一些常用的结论：（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；（2），特别地，当同向或有；当反向或有；当不共线(这些和实数比较类似).（3）在中，若，则其重心的坐标为。如1、若ABC的三边的中点分别为（2，1）、（-3，4）、（-1，-1），则ABC的重心的坐标为_为的重心，特别地为的重心；为的垂心；向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)；的内心；（3）若P分有向线段所成的比为，点为平面内的任一点，则，特别地为的中点；（4）向量中三终点共线存在实数使得且.如2、平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点,若点满足,其中且,则点的轨迹是_题型19、判断多边形的形状1.若，且,则四边形的形状是 。2.已知，证明四边形是梯形。3.已知，求证：是直角三角形。4、在ABC中，若 ，则的形状为 （ ） A等腰三角形 B等边三角形C等腰直角三角形 D直角三角形5、在平面直角坐标系内，,求证：是等腰直角三角形。6、平面四边形中，且，判断四边形的形状题型20：三角形四心1、已知的三个顶点A、B、C及所在平面内的一点P，若 则点P是DABC的 （ ）A 重心 B垂心 C内心 D外心 2. 已知点是三角形所在平面上一点，若,则是三角形的（ ）（A） 内心 （B）外心 （C）重心 （D）垂心3、已知点是三角形所在平面上一点，若，则是三角形的（ ）（A） 内心 （B）外心 （C）重心 （D）垂心练习、已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的（ ）（A）重心 外心 垂心 （B）重心 外心 内心 （C）外心 重心 垂心 （D）外心 重心 内心4、在平面内有DABC和点O，若，则点O是DABC的 A 重心 B垂心 C内心 D外心 5、已知点是平面上一个定点，、是平面内不共线三点，动点满足,，则动点一定通过的（ ）（A）内心 （B）外心 （C）重心 （D）垂心6、已知点是平面上一个定点，、是平面内不共线三点，动点满足,，则动点一定通过的（ ）（A）内心 （B）外心 （C）重心 （D）垂心7、已知点是平面上一个定点，、是平面内不共线三点，动点满足,，则动点一定通过的（ ）（A）内心 （B）外心 （C）重心 （D）垂心8、已知平面上一个定点，、是平面内不共线三点，动点满足,，则动点一定通过的（ ）（A）内心 （B）外心 （C）重心 （D）垂心题型21.平面向量与三角函数结合题1、已知向量，设函数 求函数的解析式（2）求的最小正周期；（3）若，求的最大值和最小值练习：已知向 且（1）求函数的解析式；（2）当时，的最小值是，求此时函数的最大值，并求出相应的的值练习2、.已知向量 , ，且求的值（2）求函数的值域2、 已知，A、B、C在同一个平面直角坐标系中的坐标分别为、。(I)若，求角的值；(II)当时，求的值。 5、已知向量，设函数的图象关于直线对称，其中，为常数，且. （）求函数的最小正周期； （）若的图象经过点，求函数在区间上的取值范围.6.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A,B,C三点满足=+.(1)求证:A,B,C三点共线;(2)求的值;(3)已知A(1,cos x),B(1+cos x,cos x),x,f(x)=·-|的最小值为-,求实数m的值.专心-专注-专业