高中生如何求数列前n项和.ppt
高中生如何求数列前n项和,安徽广德县委党校 主 讲：张 金 成 Email:,教学小结,简介,一.关于等差与等比数列 二.等差与等比的和差积商三.含根式的数列求和四.对数数列的求和五.三角数列的求和六.含排列组合的数列求和七.交错数列的求和八.自然数方幂数列及应用 九.简单的递推数列求和十复数方法在数列求和中的运用十一.导数方法在数列求和中的运用 欢迎指正,一.关于等差与等比数列,高中课本我们已经学过等差数列与等比数列，这是两个最基本的数列，很多数列将以此为基础进行研究。等差数列的通项公式是an=a1+（n-1）d 其前n项和是：sn=（a1+an）n/2 或sn=(2a1+(n-1)d)n/2 等比数列的通项公式是an=a1qn-1 其前n项和是：sn=（a1-anq）/（1-q）或sn=a1（1-qn）/（1-q）只有灵活掌握以上公式的运用，才能更深一步解决复杂数列的求和。,例题,有些已知条件不能直接看出它是等差数列或等比数列，必须对条件进行变换。例题：已知等差数列a1=5，d=10，其前k项和为Bk，构造数列An=Bnk-B（n-1）k，求数列An的前n项和Sn。解：an=a1+（n-1）d=5+10（n-1）=-5+10n Bk=（a1+ak）k/2=（5-5+10k）k/2=5k2 An=Bnk-B（n-1）k=5（nk）2-5（n-1）k）2=5（2n-1）k2 An+1-An=5（2n+1）k2-5（2n-1）k2=10k2 A1=5k2，A2=15k2，A3=25k2.因此 An是公差为10k2的等差数列,所以 Sn=(A1+An)n/2=(5k2+5（2n-1）k2)n/2=5k2 n2,例题,例题：已知数列an有a1=5且an=a1+a2+an-1(n2)求其前n项和Sn。解：an=a1+a2+an-2+an-1(n2)=an-1+an-1=2 an-1 即当n2时an/an-1=2，an是以2为公比的等比数列 5，5，10，20，40，80，.an=5x2n-2 所以Sn=5+5+5x2+5x2n-2=5+(5x2n-2x2-5)/(2-1)=5x2n-1,小结,通过以上分析我们知道,求数列前n项和应注意以下几点:1.利用已知条件求出其通项公式是关键.2.其次是判断其是否是两种基本数列(等比或等差).3.最后运用通项公式求其前n项和,并注意通项公式成立的条件,如在例题2中(n2)通项公式才成立.,二.等差与等比的和差积商,所谓等差数列与等比数列的和差积商，是指等差数列与等比数列它们自身，以及它们之间通过加减、乘、除等运算所组成的新复合数列。并不是所有的复合数列，都能求出其前n项和的一般表达式，高中范围内，只要求掌握很少几种复合数列前n项和的求法。等差数列与等差数列的和差，仍是等差数列。等比数列与等比数列的的积商仍是等比数列。等比数列的乘方开方仍是等比数列。等差指数数列是等比数列。以上几种情况比较简单，我们着重讨论以下几种情况。,1.等差数列与等比数列的和差,等差数列与等比数列的和差也比较简单，主要是把数列分成等差数列与等比数列两部分分别求和,然后再相加。an=（a+nd）+（bqn）Sn=（a+d+a+nd）n/2+（bqn-bq）/（q-1）=na+（n+1）nd/2+bq（qn-1）/（q-1）例题：求数列0.3，0.33，0.333，0.3333 前n项和。解：an=0.333（n个3）=0.999/3=（1-0.0001）/3=（1-1/10n）/3=1/3-（1/3）10-n 所以Sn=0.3+0.33+0.333+0.333=1/3（n-（1/10+1/102+1/103+1/10n）=1/27（9n-1+1/10n）以下数列的求和也是这种类型.求数列81,891,8991,89991的和.求出它的通项公式是关键.,2.等比数列与等比数列和差,3等差数列与等差数列的积商,例题,4等差数列与等比数列的积商,5小结,等差与等比数列和差积商求法应注意以下几点:1.首先找出通项公式,并尽量化成等差等比或其复合形式.2.变换通项公式,应用基本等差与等比公式求和.3.变换通项公式,应用“拆项法”求和,应注意变换的灵活性.4.变换通项公式应用“求差法”求和.,三.含根式的数列求和,例题,四.对数数列的求和,五.三角数列的求和,例题,例题,六.含排列组合的数列求和,小结,在以上内容中大都是用拆项求和法，它在数列求和中是一种常用的基本方法。拆项求和法，就是先将所给的数列的每一项分成几项，从而得到一系列等式。然后将这些等式相加，使之消去许多同类项就得到所给的数列的和。1、运用拆项求法的成败，在于能否分列数列的第N项。2、拆项求和时，交叉相消后还要剩余哪些项，必须搞清。,七.交错数列的求和,八.自然数方幂数列及应用,例题,九.简单的递推求和,例题,十.复数方法在数列求和中的运用,十一、导数方法在数列求和中的运用,总结,高中生数列求和的一般思路1、首先观察数列各项的变化规律，求出其通项公式。2、分析通项公式，判断这个数列是等比、等差或其和、差、积、商或其它形式。（常数数列即可看成等比，也可看成等差）3、等差数列的积一定可用自然数方幂求和（自然数方幂一定可用拆项法求得）。4、等差与等比的积一定可用“求差法”求积。5、若不符合以上条件，判断它能否使用拆项求和法。,总结,6、若是三角数列，可判断能否用复数法，其中角成等差的正余弦函数数列一定能用复数法求和。7、若已知道一个预知相联系的函数数列之和可分析能否用导数法求和，数项数列分析能否构造成函数数列的特例。8、在所有数列求和方法中，最难把握的是“拆项求和法”，它是最初等、而又最普遍的方法，必须加强练习。,欢迎指正,该幻灯片制作时间仓促，使用编写统软件不尽相同，符号不尽统一，教学演示后未来得及修改，请多包涵并欢迎专家批评指正。,附,作者简介 张金成，男，35岁，党校助理讲师，主讲哲学，数学。作者希望到中学任教，适合初高中政治数学，也希望各位同仁向你校推荐。电话：0563-6020280E-mail:,
