[论文]随机线性模型建模 ——地震震级预测模型.doc

课程设计（论文）课程名称： 应用随机过程 设计题目： 随机线性模型建模 院 系：电子与信息工程学院 班 级： 09硕通信一班 设 计 者： 学 号： 指导教师： 设计时间： 2009-11至2009-12 课程设计任务书 姓 名： 院 （系）：电子与信息工程学院 专 业： 信息与通信工程 班 号：09硕通信一班 任务起至日期： 2009 年 11 月 12 日至 2009 年 12 月 20 日 课程设计题目： 随机线性模型建模 地震震级预测模型 已知技术参数和设计要求： 已知某地的一段时间内的地震震级的实测值，建立地震震级的随机线性模型，并对该地在未来时刻的地震震级进行预测。 工作量：1. 查找相应的资料，对随机线性模型的建模过程进行熟悉。2. 查找相关的地震震级的数据，并对数据进行预处理。3. 由已知的样本函数，计算随机线性模型的参数。4. 对随机线性模型的阶数进行判定。5. 建立预测方程，并对未来时刻的地震震级进行预测。 工作计划安排：1. 2009-92009-11-12：对随机线性模型建模的方法进行学习2. 2009-11-122009-11-30：查找相关的资料，确定建模的数据3. 2009-11-30-2009-12-20：建立随机线性模型，并进行预测 同组设计者及分工：无 指导教师签字_ 年 月 日 教研室主任意见： 教研室主任签字_ 年 月 日*注：此任务书由课程设计指导教师填写。随机线性模型建模-地震震级预测模型本次建模，本人采用的数据是1970年1月1日至1982年12月31日期间的实测的四川地区的地震震级（见表1，平均每15天进行1次测量，共有323个数据）。本文将利用表中的数据建立该地地震等级的随机线性模型，并对下几个时段的震级进行预测。表1 1970年1月1日至1982年12月31日期间四川地区的地震震级实测值为了清楚起见，可将上述数据画于图1中。易见该时间序列基本符合平稳随机序列的特征。图1 上述时间范围内实测的地震等级示意图1. 线性模型的建立：确定平稳时间序列线性模型的步骤可归纳为五个步骤，以下结合本文的数据具体介绍建模的过程：(1) 数据的观测：对一个时间序列作次测量得到一个样本，一般取。在本文中对于1970年1月1日至1982年12月31日期间的的四川地区的地震震级进行测量，得到了n=323个样本值(列于表1中)。(2) 数据预先处理：利用已知的样本值来计算样本的均值，并作变换得n个数据，n=323。其中 =4.3152同时得到一个n=323的新序列。 (3) 样本自协方差函数、自相关函数、偏相关函数的计算：在计算样本自协方差函数，样本自相关函数，偏相关函数时，一般取，常用。在本文中取。l 样本自协方差： 其中 n=323, k=30。从而得到的相应数值，如下表所示：表2 的数值kkkk00.674080.1860160.1805240.156310.229990.2424170.1941250.158120.2240100.1668180.1715260.106830.2144110.1597190.1524270.147540.2356120.1709200.1235280.119350.2330130.1935210.1684290.100760.2065140.1897220.1611300.128570.1957150.1812230.1291l 样本自相关函数：将上面求得的自协方差函数带入中，得到与相对应的的数值如下表所示，并绘出相应的样本自相关函数的曲线以方便分析。表3 的数值kkkk01.000080.2760160.2677240.231810.341190.3595170.2880250.234620.3323100.2474180.2545260.158530.3181110.2370190.2261270.218940.3495120.2536200.1832280.177150.3457130.2870210.2499290.149360.3064140.2814220.2389300.190670.2904150.2688230.1916图2 样本自相关函数l 样本偏相关函数：为求出样本的偏相关函数，需要求解如下的Yule-Walker方程：对上述方程两边去估计值仍然成立。当k分别取1,2,3k时，分别求出的值如下表所示(其中为方便起见，设=1)。表3 样本偏相关函数的值kkkk01.000080.0398160.0476240.050210.341190.1538170.0692250.049220.244510-0.019618-0.008326-0.083530.179411-0.013519-0.0169270.044840.1920120.030220-0.063128-0.015950.1557130.0677210.040229-0.046960.0828140.0552220.0143300.003070.0594150.048923-0.0377为了便于分析与比较，同样画出的曲线，见图3.图3 样本偏相关函数图(4) 模型识别：由图2、3或表2、3可以看出样本自相关函数与偏相关函数的取值具有如下特点：l 样本自相关函数拖尾：根据样本自相关函数的点图(图2)可见，当逐渐增大时，越变越小，故可判断具有拖尾性。l 样本偏相关函数在处截尾：易见而当时，平均个中至多有一个使，则认为截尾在处。综上，可以判断本模型为AR(5)模型。(5) 参数估计：对于AR(5)模型计算参数估计值，采用矩估计的方法，具体公式如下：其中p=5。将已知数据值带入上式可得：从而可得AR(5)模型为：取，并在上式两边分别取估计值可得：将已知数据带入上式并整理得此AR(5)模型的预报公式为：式中当时，有。(6) 模型预测由前面得到的AR(5)模型的预报公式可对以后几个时段的该地地震等级的值进行预测。利用可得下几个时段（每15天为一个时段）的地震等级的预测值：2. 非线性模型分析在现实生活中更多的模型并不能很好的符合线性模型，这就需要引入非线性模型的概念。非线性模型的本质处理手段是将非线性过程线性化处理。结合我自身的课题,在非线性信号参量的估计当中采用卡尔曼滤波体系。卡尔曼滤波来源于winer过程，所以在利用卡尔曼滤波时要求噪声参量是高斯白噪声。最早的Kalman滤波是卡尔曼（R.E.Kalman）于1960年提出的从与被提取信号有关的观测量中通过算法估计出所需要信号的一种滤波算法。他把状态空间的概念引入到随机估计理论中，利用系统噪声和观测噪声的统计特性，以系统的观测量作为滤波器的输入，以所要估计的值（系统状态或参数）作为滤波器的输出，滤波器的输入与输出之间是由时间更新算法（状态方程）和测量更新算法（测量方程）联系在一起的。时间更新由上一步的测量数据更新结果和设计卡尔曼滤波器时的先验信息确定，测量更新则在时间更新的基础上根据实时获得的测量数据确定。由于所用的信息都是时域内的量，所以不但可以对平稳的一维随机过程进行估计，也可以对非平稳的多维随机过程进行估计。卡尔曼滤波是最小方差估计。Kalman滤波算法的计算流程如下：已知线性空间：图2-1 系统方程描述出于对非线性滤波的需要，出现了EKF和UKF算法，均采用Kalman滤波为框架，区别在于对非线性函数的处理。广义卡尔曼滤波（Extended Kalman Filter，EKF）是将非线性模型在最优状态估计处进行泰勒展开，相对于其它算法的综合性能较好，算法简单，易于实现，是比较常用的非线性滤波方法。如果可以精确得到状态方程和观测方程的高阶导数项，则可以得到真实的统计量。但在实际系统中，这一点很难满足，一般仅可获得一阶和二阶导数。因为EKF算法采用泰勒展开的线性化处理方式，所以只有当系统的状态方程和观测方程都接近线性且连续时，滤波结果才有可能接近真实值，对于强非线性系统，EKF滤波性能极不稳定，甚至发散。自从1997年Julier和Uhlman提出无迹卡尔曼滤波（Unscented Kalman Filter，UKF）以来，已逐渐应用于导航、跟踪领域。其采用非线性变换（UT变换）代替传统的线性变换，体现了一种先进的思想。这种先进思想就是“非线性估计算法应更接近系统的非线性本质”。UKF算法以非线性变换UT变换为核心，通过某种采样策略在原先状态分布中选取一组Sigma点，使这些点的均值和方差等于原状态分布的均值和方差，对状态向量的后验概率密度函数（PDF）进行近似化。然后将这些点带入到非线性函数中，得到相应的非线性函数值点集，然后在测量的基础上调节样本点的位置，使得样本均值和样本方差分别以二次精度逼近实际分布的均值和方差 （EKF只能达到一阶精度）。由此获得更多的观测假设，使得对系统状态的均值和协方差的估计更为准确。