数项级数.ppt

级数,数项级数函数项级数,数学分析的研究对象:函数.(一)数学分析研究函数所用的方法：极限.(二)数学分析的研究主要对象:连续函数.(三)实数集关于极限运算是封闭的.(四)这个性质就是实数集的完备性(连续性),研究函数性态的重要工具:导数和微分.(五)微积分的基本定理:中值定理(六)导数的逆运算:不定积分(七)定积分(八),级数理论是分析学的一个分支；它与另一个分支微积分学一起作为基础知识和工具出现在其余各分支中。二者共同以极限为基本工具，分别从离散与连续两个方面，结合起来研究分析学的对象，即变量之间的依赖关系函数。,级数分为:数项级数与函数项级数.数项级数是函数项级数的特殊情况，他又是函数项级数的基础.,级数是逼近理论的基础，是研究函数、进行近似计算的一种有用的工具.级数理论的主要内容是研究级数的收敛性以及级数的应用.,9.1数项级数,一 收敛与发散的概念二 收敛级数的性质三 同号级数四 变号级数五 绝对收敛级数的性质,一 收敛与发散的概念,我们已经在初等数学中知道:有限个实数 相加,其结果是一个实数.本节将讨论“无限个实数相加”所可能出现的情形及其特征.如,庄子天下篇“一尺之棰,日取其半,万世不竭”的例中,把每天截下那一部分的长度“加”起来:这就是“无限个数相加”的一个例子.,定义 给定一个数列un,即将其各项依次用“+”号连接起来的表达式,称为数项级数或无穷级数(也常简称级数),其中 un,称为数项级数(1)的通项或一般项或第n项.,由于式中的每一项都是常数，,(无穷多个数之和),上面级数,称为数项级数(1)的 n 项部分和.,数项级数(1)的前n项之和记为,部分和数列,部分和数列,定义:部分和,设,这时也称该级数收敛于 S.,若部分和数列的极限不存在（发散），,发散.,收敛，,收敛与发散定义,级数的收敛或发散(简称敛散性),称差值为收敛级数的n项余和，简称余和.,显然，级数收敛，总有,定义:余和,注 由于级数(1)的收敛或发散(简称敛散性),是由它,如果把它看作某一数项级数的部分和数列,则,这个数项级数就是,收敛时,其极限值就是级数(5)的和.,研究无穷级数收敛问题,实质上就是研究部分和数列的收敛问题,例1 讨论等比级数（几何级数）的敛散性,因此几何级数收敛.其和是,因此几何级数发散.,解,发散.,发散.,综上,例2 证明级数收敛，并求其和,证明：,由此知 f(x)为增函数.,例3 证明调和级数发散,相加得,P10-1.(1)讨论数项级数,的收敛性.,由于,因此级数(4)收敛,且其和为 1.,解 级数(4)的n项部分和为,首页,解,首页,二、收敛数列的性质,研究数项级数收敛问题,实质上就是研究部分和数列的收敛问题,基于级数与数列的关系,不难根据数列的柯西准则,得出下面关于级数的柯西收敛准则,定理1(柯西收敛准则),推论1(级数收敛的必要条件),推论1的等价命题是:,证明:,即收敛级数的通项必趋于0.,注:推论是级数收敛的一个必要条件:通项不趋于零,级数一定发散,但通项趋于零,则级数未必收敛,但其推论,判断级数发散很有效.如级数,因为一般项un=()n-1不趋于零，所以发散.,柯西收敛准则在理论上很重要,但用它来判别一个具体级数的敛散性,却很麻烦,甚至很困难,推论2 去掉、增加或改变级数的有限项并不改变,级数的敛散性.,注 去掉、增加或改变级数的有限项虽不改变该级,数的敛散性，但在收敛时，其和一般还是要变的.,根据数列极限运算性质,可得级数运算性质.,定理2,结论:级数的每一项同乘一个不为零的常数,该级数的敛散性不变.,结论 在收敛级数的项中任意加括号,既不改变,级数的收敛性,也不改变它的和.,从级数加括号后的收敛,不能推断它在未加括号,时也收敛.例如,注:对有限和来说,不但可以随意加括号,而且可以随意去括号.但在级数中,对于收敛级数来说,项与项可以任意加括号,但不能任意去掉(无限多个)括号.,推论 如果加括号后所成的级数发散,则原来级数也发散.,如果加括号后所成的级数收敛,不能推出则原来级数也收敛.,定理4,若级数(*)中在同一括号中的项有相同的符号,则从(*)的收敛便能推出原级数收敛,而且两者有相同的和.,证明,结论 收敛级数可以逐项相加与逐项相减.,定理5,