信号与系统分析PPT电子教案-第三章 连续时间信号与系统的频谱分析.ppt

第三章连续时间信号与系统的频谱分析,频域分析,从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析（频域分析）。将信号进行正交分解（分解为三角函数或复指数函数的组合），频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调制和频分复用等重要概念。,任何科学理论,科学方法的建立都是经过许多人不懈的努力而来的,其中有争论,还有人为之献出了生命。历史的经验告诉我们,要想在科学的领域有所建树，必须倾心尽力为之奋斗。今天我们将要学习的傅立叶分析法，也经历了曲折漫长的发展过程，刚刚发布这一理论时，有人反对，也有人认为不可思议。但在今天，这一分析方法在许多领域已发挥了巨大的作用。,1768年生于法国1807年提出“任何周期信号都可以用正弦函数的级数来表示”拉格朗日反对发表1822年首次发表“热的分析理论”1829年狄里赫利第一个给出收敛条件,傅里叶生平,17681830,发展历史,1822年，法国数学家傅里叶(J.Fourier,1768-1830)在研究热传导理论时发表了“热的分析理论”，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。泊松(Poisson)、高斯(Guass)等人把这一成果应用到电学中去，得到广泛应用。19世纪末，人们制作出用于工程实际的电容器；进入20世纪以后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具体问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广阔的前景。在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中，傅里叶变换法具有很多的优点。“FFT”快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。,主要内容,本章从傅里叶级数正交函数展开问题开始讨论，引出傅里叶变换，建立信号频谱的概念。通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质的研究，初步掌握傅里叶分析方法的应用。对于周期信号而言，在进行频谱分析时，可以利用傅里叶级数，也可以利用傅里叶变换，傅里叶级数相当于傅里叶变换的一种特殊表达形式。本章最后研究抽样信号的傅里叶变换，引入抽样定理。,周期信号的频谱分析傅里叶级数,三角函数形式的傅里叶级数,由积分可知,三角函数集,在满足狄氏条件时，可展成,直流分量,余弦分量的幅度,正弦分量的幅度,称为三角形式的傅里叶级数，其系数,级数形式,周期信号f（t），周期为T，基波角频率为,Dirichlet条件：，在任何周期内信号绝对可积。在任何有限区间内，只有有限个极值点，且极值为有限值。在任何有限区间内，只有有限个第一类间断点。,因此，信号绝对可积就保证了 的存在。,其它形式,余弦形式,函数的对称性与傅里叶级数的关系,偶函数奇函数奇谐函数偶谐函数,1偶函数,信号波形相对于纵轴是对称的,傅里叶级数中不含有正弦项，只含直流项和余弦项，频谱函数为实函数,2奇函数,傅里叶级数中无余弦分量，频谱函数为虚函数。,3奇谐函数,f(t)的傅氏级数偶次谐波为零，即,n=2,4,6,时,n=1,3,5,时,若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下反转，此时波形并不发生变化：,4偶谐函数,n=2,4,6,时,n=1,3,5,时,f(t)的傅氏级数奇次谐波为零，只有偶次谐波分量,波形移动 与原波形重合称为偶谐函数。,信号频谱的概念,幅度频率特性和相位频率特性,从广义上说，信号的某种特征量随信号频率变化的关系，称为信号的频谱，所画出的图形称为信号的频谱图。周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、相位随频率的变化关系，即 将 和 的关系分别画在以为横轴的平面上得到的两个图，分别称为幅度频谱图和相位频谱图。因为n0，所以称这种频谱为单边谱,周期信号频谱具有离散性，谐波性，收敛性,指数函数形式的傅里叶级数,三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感不便，因而经常采用指数形式的傅里叶级数。可从三角形式推出：利用 cosx=(ejx+ejx)/2,上式中第三项的n用n代换，则上式写为,令,则,说明,相频特性,幅频特性和相频特性,幅频特性,同样可画 和 的关系，称为双边谱。若为实数，也可直接画。,(1)周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式,三角形式,指数形式,总结,(2)两种频谱图的关系,单边频谱,双边频谱,关系,(3)三个性质,(4)引入负频率,注意：冲激函数序列的频谱不满足收敛性,收敛性：谐波性：频率只出现在n1处唯一性：f（t）的谱线唯一,确定信号的基频和周期,请画出其幅度谱和相位谱。,例,化为余弦形式,三角函数形式的频谱图,三角形式的傅里叶级数的谱系数,化为指数形式,整理,指数形式的傅里叶级数的系数,谱线,指数形式的频谱图,三角形式与指数形式的频谱图对比,三角函数形式的频谱图,指数形式的频谱图,周期性矩形脉冲信号的频谱,是个偶函数,指数形式的谱系数,频谱及其特点,(1)包络线形状：抽样函数,(3)离散谱（谐波性）,(5),不变 时,不变 时,周期性矩形脉冲信号的频谱特征：1.离散性 2.谐波性 3.收敛性,考查周期 和脉冲宽度 改变时频谱的变化：,当 不变，改变 时，随 使占空比减小，谱线间隔变小，幅度下降。但频谱包络的形状不变，包络主瓣内包含的谐波分量数增加。2.当 改变，不变时，随 使占空比减小，谱线间隔不变，幅度下降。频谱的包络改变，包络主瓣变宽。主瓣内包含的谐波数量也增加。,非周期信号的频谱分析 傅里叶变换,在工程应用中有相当广泛的信号是非周期信号，对非周期信号应该如何进行分解，什么是非周期信号的频谱表示，就是这一部分要解决的问题。,在时域可以看到，如果一个周期信号的周期趋于无穷大，则周期信号将演变成一个非周期信号；反过来，任何非周期信号如果进行周期性延拓，就一定能形成一个周期信号。我们把非周期信号看成是周期信号在周期趋于无穷大时的极限，从而考查连续时间傅立叶级数在 T趋于无穷大时的变化，就应该能够得到对非周期信号的频域表示方法。,非周期信号f(t)可看成是周期T时的周期信号。前已指出当周期T趋近于无穷大时，谱线间隔趋近于无穷小，从而信号的频谱变为连续频谱。各频率分量的幅度也趋近于无穷小，不过，这些无穷小量之间仍有差别。,从傅里叶级数到傅里叶变换,为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的概念。,w,（1）,频谱密度函数简称频谱函数,单位频带上的频谱值,时,有界函数,频谱密度函数的表示,称为傅立叶变换,一般为复信号，可表示为：,幅度频谱,反变换,由复指数形式的傅里叶级数,傅里叶变换对,两个关系：,欧拉公式,傅里叶变换的表示,实部,虚部,实部,虚部,模,相位,偶函数（奇分量为零）,奇函数（偶分量为零）,傅里叶变换存在的条件,所有能量信号均满足此条件。,典型非周期信号的频谱,矩形脉冲信号,幅度频谱：,相位频谱：,频谱图,幅度频谱,相位频谱,频宽：,单边指数信号,频谱图,幅度频谱：,相位频谱：,双边指数函数,结论：实偶信号的傅立叶变换是实偶函数。此时可以用一幅图表示信号的频谱。,对此例有,单位阶跃信号,单位冲激函数,这表明 中包括了所有的频率成分，且所有频率分量的幅度、相位都相同。因此，系统的单位冲激响应 才能完全描述一个LTI系统的特性，才在信号与系统分析中具有如此重要的意义。,傅里叶变换的性质,线性性质,对称性质,例,例,尺度变换性质,证明,综合上述两种情况,因为,(1)0a1 时域扩展，频带压缩。,(2)a1 时域压缩，频域扩展a倍。,可以看出：,(1)0a1 时域扩展，频带压缩。,脉冲持续时间增加a倍，变化慢了，信号在频域的频带压缩a倍。高频分量减少，幅度上升a倍。,持续时间短，变化快。信号在频域高频分量增加，频带展宽，各分量的幅度下降a倍。此例说明：信号的持续时间与信号占有频带成反比，有时为加速信号的传递，要将信号持续时间压缩，则要以展开频带为代价。,（2）a1 时域压缩，频域扩展a倍。,时移特性,幅度频谱无变化，只影响相位频谱，,时移加尺度变换,则,例,求图(a)所示三脉冲信号的频谱。,解：,j,j,因为,脉冲个数增多，频谱包络不变，带宽不变,j,例,方法一：先标度变换，再时延,方法二：先时延再标度变换,j,证明,频移特性,则,说明,应用,通信中调制与解调，频分复用。,已知矩形调幅信号,解：,因为,例,j,频谱图,卷积定理,时域卷积定理,时域卷积对应频域频谱密度函数乘积,频域卷积定理,则,则,时域卷积定理的证明,因此,所以,卷积定义,交换积分次序,时移性质,求系统的响应,将时域求响应，转化为频域求响应,应用,用时域卷积定理求频谱密度函数,例,j,则,一般情况：,微分性质,时域微分性质,频域微分性质,或,推广,求三角函数的频谱密度函数,例,分析,解,例,解：,例,解：,时域积分性质,也可以记作：,则,例,1.求单位阶跃函数的傅里叶变换,解：,解：,则,频域积分,周期信号的傅里叶变换,周期信号：,非周期信号：,周期信号的傅里叶变换如何求？与傅里叶级数的关系？,j,由欧拉公式,由频移性质,正弦信号的傅里叶变换,同理,已知,由傅里叶级数的指数形式出发：,其傅氏变换(用定义),一般周期信号的傅里叶变换,设一般周期信号的周期：,如何由 求,比较式(1),(2),周期单位冲激序列的傅里叶变换,频谱,周期矩形脉冲序列的傅氏变换,方法1,方法2,利用时域卷积定理，周期T,利用冲激函数的抽样性质,功率谱,周期信号平均功率=直流、基波及各次谐波分量有效值的平方和；也就是说，时域和频域的能量是守恒的.,绘成的线状图形，表示 各次谐波的平均功率随频率分布的情况，称为功率谱系数。,能量谱,调制与解调,在通信系统中，信号从发射端传输到接收端，为实现信号的传输，往往要进行调制和解调：高频信号容易以电磁波形式辐射出去多路信号的传输频分复用相关课程中讲解“调制与解调”的侧重点不同：“信号与系统”应用傅里叶变换的性质说明搬移信号频谱的原理；“通信原理”研究不同的调制方式对系统性能的影响；“通信电子电路”调制解调电路的分析。,调制原理,一般的通信系统总是由以下环节组成:,在通信系统中调制与解调是一种基本的技术。,调制是指用一个信号去控制另一个信号的某一个参量的过程。,被控制的信号称为载波(Carrier Wave)。,控制信号称为调制信号，也称为基带信号。,调制的分类按载波正弦型信号作为载波(调幅AM,调频FM,调相PM)脉冲串或一组数字信号作为载波连续性模拟（连续）调制数字调制,模拟调制是数字调制的基础,幅度调制（振幅调制),频谱结构,解调,将已调信号恢复成原来的调制信号的过程。,本地载波，与发送端载波同频同相,频谱,调制信号载波信号抑制载波调幅调幅解调,利用包络检波器解调,频分复用,复用：在一个信道上传输多路信号。频分复用（FDM）时分复用（TDM）频分复用：就是以频段分割的方法在一个信道内实现多路通信的传输体制。(frequency division multiply),调制，将各信号搬移到不同的频率范围。,复用收信端,复用收信端,收信端：带通滤波器，分开各路信号，解调。,频分复用解调分析,先利用一个带通滤波器（）滤出 附近的分量，再同步解调,再使用低通滤波器，完成解调,连续时间系统的频域分析,则根据卷积定理有,傅里叶变换形式的系统函数,设,频率响应特性,系统函数的物理意义,系统可以看作是一个信号处理器,激励：F(j),响应：H(j)F(j),对于不同的频率，有不同的加权作用，这也是信号分解，求响应再叠加的过程。,对信号各频率分量进行加权,系统增益,系统相移,频率响应的求法：,1.用微分方程表征的系统,例：,对由微分方程所描述的系统通过求频率响应可以方便地求出其单位冲激响应。,例：,2.以方框图描述的系统,互联系统的,*级联:,*并联:,*反馈联结:,信号的无失真传输,失真,线性系统引起的信号失真由两方面的因素造成幅度失真：由于频谱的模改变而引起的失真。相位失真：由于频谱的相位改变引起的失真。各频率分量产生的相移不与频率成正比，使响应的各频率分量在时间轴上的相对位置产生变化。,信号经系统传输，要受到系统函数 的加权，输出波形发生了变化，与输入波形不同，则产生失真。,线性系统的失真幅度，相位变化，不产生新的频率成分；非线性系统产生非线性失真产生新的频率成分。,对系统的不同用途有不同的要求：无失真传输；利用失真波形变换。,无失真传输条件,频谱图,几点认识：,要求幅度为与频率无关的常数K，系统的通频带为无限宽。,相位特性与 成正比，是一条过原点的负斜率直线。,不失真的线性系统其冲激响应也是冲激函数。,相位特性为什么与频率成正比关系？,只有相位与频率成正比，方能保证各谐波有相同的迟延时间，在延迟后各次谐波叠加方能不失真。,延迟时间td 是相位特性的斜率：,群时延或称群延时,在满足信号传输不产生相位失真的情况下，系统的群时延特性应为常数。,理想滤波器,1.频率成形滤波器2.频率选择性滤波器,滤波,通过系统改变信号中各频率分量的相对大小和相位，甚至完全去除某些频率分量的过程称为滤波。,滤波器可分为两大类：,理想频率选择性滤波器的频率特性,理想频率选择性滤波器的频率特性在某一个（或几个）频段内，频率响应为常数，而在其它频段内频率响应等于零。,理想滤波器可分为低通、高通、带通、带阻。,滤波器允许信号完全通过的频段称为滤波器的通带（pass band），完全不允许信号通过的频段称为阻带（stop band）。,连续时间理想频率选择性滤波器的频率特性,低通,高通,带通,带阻,各种滤波器的特性都可以从理想低通特性而来。,理想低通的频率特性,的低频段内，传输信号无失真()。,为截止频率，称为理想低通滤波器的通频带，简称频带。,时,理想低通的冲激响应,波形,1比较输入输出，可见严重失真；,2理想低通滤波器是个物理不可实现的非因果系统,几点认识,当 经过理想低通时，以上的频率成分都衰 减为0，所以失真。,系统为全通网络，可以 无失真传输。,原因：从h(t)看，t0时已有值。,理想低通的阶跃响应,激励,系统,响应,1.下限为0；,2.奇偶性：奇函数。,正弦积分,3.最大值出现在 最小值出现在,阶跃响应波形,2阶跃响应的上升时间tr 与网络的截止频率B（带宽）成反比。,B是将角频率折合为频率的滤波器带宽（截止频率）。,几点认识,1上升时间：输出由最小值到最大值所经历的时间，：,信号的抽样与恢复,在日常生活中，常可以看到用离散时间信号表示连续时间信号的例子。如传真的照片、电视屏幕的画面、电影胶片等等，这些都表明连续时间信号与离散时间信号之间存在着密切的联系。在一定条件下，可以用离散时间信号代替连续时间信号而并不丢失原来信号所包含的信息。,一幅新闻照片,局部放大后的图片,另一幅新闻照片,局部放大后的图片,在什么条件下，一个连续时间信号可以用它的离散时间样本来代替而不致丢失原有的信息。如何从连续时间信号的离散时间样本不失真地恢复成原来的连续时间信号。,本课研究连续时间信号与离散时间信号之间的关系主要包括:,抽样,在某些离散的时间点上提取连续时间信号值的过程称为抽样。,是否任何信号都可以由它的离散时间样本来表示？,对一维连续时间信号采样的例子：,在没有任何条件限制的情况下，从连续时间信号采样所得到的样本序列不能唯一地代表原来的连续时间信号。,此外，对同一个连续时间信号，当采样间隔不同时也会 得到不同的样本序列。,利用开关信号p(t)从连续信号f(t)中“抽取”一系列离散样本值的过程。,引例：信号数字处理,开关信号,需解决的问题：,F(j),P(j),如何进行抽样？,冲激序列抽样,（s 2m）,有限带宽信号,采样的数学模型：,在时域：,在频域:,冲激串采样(理想采样):,为采样间隔,可见，在时域对连续时间信号进行冲激串采样，就相当于在频域将连续时间信号的频谱以 为周期进行延拓。,在频域由于,所以,1)当s 2m时，Fs(j)是F(j)在不同s倍数上的重复与再现，幅值为原值的1/Ts。,讨论：采样周期变化对频谱的影响,2)当s2m时，Fs(j)中出现F(j)的叠加与混合（Overlap现象）。,要想使采样后的信号样本能完全代表原来的信号，就意味着要能够从 中不失真地分离出。这就要求 在周期性延拓时不能发生频谱的混叠。为此必须要求:1.必须是带限的，最高频率分量为。2.采样间隔(周期)不能是任意的，必须保证采样频率。其中 为采样频率。,在满足上述要求时，可以通过理想低通滤波器从 中不失真地分离出。,Nyquist 抽样定理:,对带限于最高频率 的连续时间信号,如果以 的频率进行理想采样，则 可以唯一的由其样本 来确定。,在工程实际应用中，理想滤波器是不可能实现的。而非理想滤波器一定有过渡带，因此，实际采样时,必须大于。,即：从 fs(t)中恢复f(t),要求理想低通滤波器：,信号恢复,信号f(t)的恢复实现：理想低通滤波器,当s 2m时，Fs(j)含有F(j)完整频谱,（s 2m）,理想冲激序列抽样：,