虚功原理.ppt

静定结构的位移计算,作业情况,一、桁架的内力标注在图上。,二、隔离体要画出。用1-1截面将其断开完了？应说明取那边为隔离体，并将隔离体要画出。,三、桁架的内力+、-号代表拉、压，仍有同学出错。,四、右面隔离体能计算出FN1、FN2、FN3、FN4吗？,静定结构的位移计算,第四章 静定结构的位移计算,静定结构的位移计算,41 结构位移和虚功的概念,42 变形体系的虚功原理和单位荷载法,43 静定结构由荷载引起的位移,44 图乘法,45 互等定理,静定结构的位移计算,41 结构位移和虚功的概念,一、结构位移1.变形和位移,在荷载作用下，结构将产生变形和位移。,变形：是指结构形状的改变。位移：是指结构各处位置的移动。,2.位移的分类,A,P,A,A,线位移：,角位移：,A,(A),Ay,Ax,Ay,Ax,A,绝对位移,相对位移,P,A,B,C,D,C,D,C,D,CD=C+D,静定结构的位移计算,线位移,角位移,静定结构的位移计算,3.计算位移的目的,（1）为了校核结构的刚度。（2）结构施工的需要。,（3）为分析超静定结构打下基础。,M FQ FN,不产生内力，产生变形产生位移,b）温度改变和材料胀缩；,c）支座沉降和制造误差,不产生内力和变形产生刚体移动,位移是几何量，自然可用几何法来求，如,但最好的方法不是几何法，而是虚功法。其理论基础是虚功原理。,a）荷载作用；,4、产生位移的原因主要有三种：,静定结构的位移计算,计算位移时，常假定：1）荷载与位移成正比=E；2）小变形；3）具有理想约束的体系；4）荷载全部撤除后，由荷载引起的位移也全部消失。即：线弹性体系。可用叠加原理。,结构力学中计算位移的一般方法是以虚功原理为基础的。本章先介绍变形体系的虚功原理，然后讨论静定结构的位移计算。,5.线性变形体系,静定结构的位移计算,二、功和虚功,（一）、功的概念,定义：一个不变的集中力所做的功等于该力的大小与其作用点沿力作用线方向的分位移的乘积。,=F,是力作用线方向的分位移,静定结构的位移计算,（二）、广义力与广义位移作功的两方面因素：力、位移。与力相应的因子，称为广义力F；与位移相应的因子，称为广义位移。广义力与广义位移的关系是：它们的乘积是虚功。即：W=F1）广义力是单个力P，则广义位移是该力的作用点的全位移在力的方向上的分量。,P,m,2）广义力是一个力偶，则广义位移是它所作用的截面的转角。,3）若广义力是等值、反向的一对力P,W=PA+PB,=P（A+B）,=P,这里是与广义力相应的广义位移。,表示AB两点间距的改变，即AB两 点的相对位移。4）若广义力是一对等值、反向的力偶m,W=mA+mB,=m（A+B）,=m,这里是与广义力相应的广义位移。,表示AB两截面的相对转角。,静定结构的位移计算,广义力是等值、反向的一对力F,桁架结构，在C、D上作用与杆垂直的等值反向的两个力F,广义力为力偶M，广义位移为CD杆的转角,5）两种情况的功,静定结构的位移计算,（三）、实功与虚功,实功：,虚功：,W=,力在其它因素引起的位移上作的功。力与位移是彼此无关的量，分别属于同一体系的两种彼此无关的状态。,例如：,例如：,W12=P12,力在本身引起的位移上作的功。,力状态,位移状态,一个体系,静定结构的位移计算,4变形体系的虚功原理和单位荷载法,一、虚应变能 当结构的力状态的外力因结构的位移状态的位移作虚功时，力状态的内力也因位移状态的相对变形而作虚功，这种虚功称为虚应变能，以v表示。,力状态,位移状态,静定结构的位移计算,力状态,位移状态,微段上的虚应变能表示为,对于直杆构成的结构,单个杆件的应变能,静定结构的位移计算,二、变形体的虚功原理,变形体平衡的必要和充分条件是：对任意微小虚位移，外力所作的虚功总和等于此变形体各微段上内力所作的变形虚功总和。即：,W=,称为虚功方程，式中：,W,外力虚功,内力虚功（虚应变能）,静定结构的位移计算,对于直杆构成的结构,对于杆件结构虚功原理,杆件的虚功方程,静定结构的位移计算,虚功原理的两种用法,1虚设位移状态可求实际力状态的未知力。这是在给定的力状态与虚设的位侈状态之间应用虚功原理，这种形式的应用即为虚位移原理。,2虚设力状态可求实际位移状态的位移。这是在给定的位移状态与虚设的力状态之间应用虚功原理，这种形式的应用即为虚力原理。,静定结构的位移计算,三、单位荷载法,虚拟力状态 1,需首先虚拟力状态,在欲求位移处沿所求位移方向加上相应的广义单位力P=1.,一个体系，两种状态,实际位移状态,虚拟力状态,一般可写为：,虚功,虚应变能,静定结构的位移计算,注:1)适用于静定结构和超静定结构;2)材料可以是弹性的也可是非弹性的;3)产生位移的原因可以是各种因素;4)既考虑了弯曲变形也考虑了剪切变 形和轴向变形对位移的影响；5)一般公式右边四项乘积,当力与变形的 方向一致时,乘积取正。,杆件结构位移计算的一般公式,通过虚设单位广义力作用的力状态，利用虚功方程求位移的方法单位荷载法。,虚拟力状态 1,静定结构的位移计算,2.虚拟状态的设置,在应用单位荷载法计算时，应据所求位移 不同，设置相应的虚拟力状态。,例如:,广义力与广义位移,静定结构的位移计算,位移方向未知时无法直接虚拟单位荷载！,静定结构的位移计算,静定结构的位移计算,43荷载作用下的位移计算,FN FQ M,真实位移状态,注：EI、EA、GA是杆件截面抗弯、拉、剪刚度；k是截面形状系数k矩=1.2，k圆=10/9。,（1）FNP、FQP、MP实际荷载引起的内力，是产生位移的原因；虚设单位荷载引起的内力是,（2）公式右边各项分别表示轴向、剪切、弯曲变形对位移的影响。,注意到无支座移动,静定结构的位移计算,荷载作用下的位移计算,真实位移状态,（4）桁架,（3）梁和刚架的位移主要是弯矩引起的,FN FQ M,每一杆的内力及截面都沿杆长不变,在计算由于内力所引起的变形时，没有考虑杆件的曲率对变形的影响，因此只有对直杆才正确，应用于曲杆计算则是近似的。,静定结构的位移计算,例41：求图示等截面梁B端转角。解：1）虚拟单位荷载,MP（x1）=Px/2 0 x1l/2MP（x2）=P（lx）/2 l/2 x2l,0 xl,2）MP须分段写,静定结构的位移计算,例 42 求图示刚架A点 的 竖 向位移Ay。E、A、I为常数。,解：,1.设置虚拟状态,选取坐标如图。,则各杆弯矩方程为:,AB段：,x,BC段：,2.实际状态中各杆弯矩方程为,AB段：,BC段：,MP=,MP=,3.代入公式得,Ay=,，,(),=,(-x)(-,2,qx,2,),EI,dx,+,(-L),(-,2,qL,2,),EI,dx,静定结构的位移计算,例 43 求图示桁架下弦5的挠度。设各杆的截面面积，。,解：虚拟状态如图b所示。实际状态和虚拟状态所产生的杆件内力均列在表中，根据公式：,实际位移状态,虚设力状态,可得所示结点5的挠度为,静定结构的位移计算,静定结构的位移计算,作业：第77页 4-1（a）、（b）、4-2,由支座位移引起的结构位移,在静定结构中，支座位移和转动并不使结构产生应力和应变，而使结构产生刚体运动。位移计算公式如下：,式中 为虚拟状态的反力在实际状态的支座位移上所做虚功之和。,例1：试求B点的竖向位移和转角位移,解：,B点的竖向位移：,B点的转角位移：,正号表示位移方向与虚设广义力的方向一致,例2（a）图示结构，若支座B发生水平位移，即B点向右移动一间距a，试求C铰左、右两截面的相对转角。,解：求相对转角的虚拟状态及其所引起的虚拟反力如图(b)所示。,利用公式即得：,应用条件:1)应力与应变成正比;2)变形是微小的。即:线性变形体系。,FN1 M1 FQ1,FN2 M2 FQ2,1、功的互等定理,功的互等定理：在任一线性变形体系中，状态的外力在状态的位移上作的功W12等于状态的外力在状态的位移上作的功W21。即：W12=W21,4-4互等定理,2、位移互等定理,（4-11）位移互等定理：（P74）在任一线性变形体系中，由荷载P1所引起的与荷载P2相应的位移影响系数21 等于由荷载P2所引起的与荷载P1相应的位移影响系数12。或者说,由单位荷载P1=1所引起的与荷载P2相应的位移21等于由单位荷载P2=1所引起的与荷载P1相应的位移12。,称为位移影响系数，等于Pj=1所引起的与Pi相应的位移。,注意:1）这里荷载可以是广义荷载,位移是相应的广义位移。2）12与21不仅数值相等,量纲也相同。,3、反力互等定理,称为反力影响系数，等于cj=1所引起的与ci相应的反力。,r12=r21（4-12）反力互等定理：（P75）在任一线性变形体系中，由位移c1所引起的与位移c2相应的反力影响系数r21 等于由位移c2所引起的与位移c1相应的反力影响系数r12。或者说,由单位位移c1=1所引起的与位移c2相应的反力r21等于由单位位移c2=1所引起的与位移c1相应的反力r12。,注意:1）这里支座位移可以是广义位移,反力是相应的广义力。2）反力互等定理仅用与超静定结构。,例：已知图结构的弯矩图求同一结构由于支座A的转动引起地C点的挠度。解：W12=W21V21=0W12=PC3Pl/160C=3l/16,例：图示同一结构的两种状态，求=？,=A+B,小结:,虚力原理（求未知位移）虚功方程等价于位移条件,二、=,刚架、梁,桁架,支座移动,各项含义虚设广义单位荷载的方法,三、图乘法求位移,图乘法求位移的适用条件yC的取法,标准图形的面积和形心位置非标准图形乘直线形的处理方法,四、互等定理适用条件内容,W12=W21,r12=r21,ql2/8,例1：试求图示桁架BC杆的角位移BC。各杆EA均为常数。,解：做出NP图和 图分别如图所示。,NP图,图,多杆桁架可以列表,例2：试求图示刚架C点的水平位移CH。EI为常数。,解：做出MP图和 图分别如图所示。,注意：（1）画出虚设力状态(2)做出MP图、图然后图乘。,MP图,图,2、功的互等定理只适用于静定结构（）,4、图示结构桁架中，腹杆截面的大小对C点的竖向位移有影响。（）,练习题：（选择与判断）,1、功的互等定理适用于线性和非线性变形体系。（）,3、虚功中的力状态和位移状态是彼此独立无关的，这两个状态中，任一个都可以虚设。（）,14题图,5、虚位移原理等价于变形协调条件，可用于求体系的位移。（）,6、在荷载作用下，刚架和梁的位移主要由于各个杆的弯曲变形引起。（）,9、图示结构La0 B点的水平位移是（）A、向右 B、向左C、等于零 D、不一定,7、图示桁架C点的水平位移不等于零。（）,8、应用虚力原理求体系的位移时，虚设力状态可在需求位移处添加相应的非单位力，亦可求的该位移。（）,7题图,10、图示刚架在荷载作用下，铰B向下的竖向位移为（）,9题图,B,休息一下,