圆梦计划专升本高等数学入学测试模拟题及答案.doc

2013年圆梦计划专升本高等数学入学测试模拟题及答案一、选择题（下列每小题的选项中，只有一项是符合题意的，请将表示该选项的字母填在题后的括号内。共10小题，每小题3分，共30分）1.若函数在在处连续，则（ C ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3解：由得,故选C.2.当时，与函数是等价无穷小的是（ A ）A. B. C. D. 解：由,故选A.3.设可导，则=（ D ）A. B. C. D. 解：,故选D.4.设是 的一个原函数，则（ B ）A. B. C. D. 解：因是 的一个原函数,所以,所以故选B.5.下列级数中收敛的是（ C ）A. B. C. D. 解：因,所以收敛, 故选C.yy=2xy=x2O 1 x216.交换的积分次序，则下列各项正确的是（ B ）A. B. C. D. 解：由题意画出积分区域如图:故选B.交换的积分顺序，则（ A ）A BC D7.设向量是非齐次线性方程组AX=b的两个解，则下列向量中仍为该方程组解的是（ D ）A. B. C. D. 解：因同理得 故选D.8.已知向量线性相关,则（ D ）A. -2 B. 2 C. -3 D. 3解: 由于线性相关,所以,因此9.设为事件，且则（ A ）A.0.2 B. 0. 4 C. 0.6 D. 0.8解: 10.有两个口袋,甲袋中有3个白球和1个黑球,乙袋中有1个白球和3个黑球.现从甲袋中任取一个球放入乙袋，再从乙袋中任取一个球,则取出白球的概率是（ B ）A. B. C. D. 解: 由全概率公式得 二、填空题(本题共10小题，每小题3分，共30分，把答案填在题中横线上。)11设函数，则函数的定义域为.解：.12设曲线在点M处的切线斜率为3,则点M的坐标是.解：，由，从而，故填.13设函数，则.解：,.14 .解：.15= e .解：.16幂级数的收敛域为.解：由.得级数收敛,当时,级数为收敛; 当时,级数为发散;故收敛域为.17设A是n阶矩阵，E是n阶单位矩阵，且则.解：19设型随机变量且则= .解：由正态分布的对称性得.参考:设随机变量X,且二次方程无实根的概率为,则= 解：由于X方程 有实根,则此方程无实根的概率为,故=4.20设型随机变量在区间上服从均匀分布,则方差.解：直接由均匀分布得.三、计算题：本大题共8小题，其中第21-27题每题7分，第28题11分，共60分。21计算极限.解：原式= =0.22求由方程确定的隐函数的导数.解：两边取对数得,两边求导得,从而.23计算定积分解：令,则当时, ;当时, .所以原式= = = = .24求微分方程的通解.解：原方程可整理为这是一阶线性微分方程,其中.所以原方程的通解为.25计算二重积分,其中是由直线所围成的区域.yy=2xxy=2xO1 242解：区域D如图阴影部分所示.故.O xyy=x21图5-726设矩阵，且满足,求矩阵X.解：由可得因,所以可逆,因此27设行列式,求在处的导数.解：.故.从而.28已知离散型随机变量X的密度函数为且数学期望.求: (1) a的值; (2) X的分布列；(3)方差D(X )解：(1) 由分布函数的性质知,随机变量X的可能取值为0、1、2，且因所以.(2) 由（1）即得X的分布列为012(3) ,四、证明题与应用题：本大题共3小题，每小题10分，共30分。29设，其中可微，.证明：因为 ,故 . ¼¼¼¼(9分)30设D是由曲线及x轴所围成的的平面区域yOxy=lnx1e(e,1)求: (1) 平面区域D的面积S; (2) D绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积V解:区域D如图阴影部分所示。曲线与x轴及的交点坐标分别为（1）平面区域D的面积.（2）D绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积V 31证明不等式：当时，.证明: 设,则,所以上单调递增,从而当当时,有,即,即;令,则,所以上单调递减,从而当当时,有,即,从而.综上所述:当时，有.