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数学方法论,主讲:童莉 电话:15923028203E-mail:,绪论,为什么要进行“数学方法论”的研究数学方法论的研究在20世纪后期逐渐形成热潮是数学发展的一个必然结果;数学课程标准提出的新要求 数学教育的现状中对数学思想方法的忽略参考书籍:1黄翔.数学方法论选论.重庆:重庆大学出版社，1995年2徐利治.数学方法论选讲.武汉:华中工学院出版社,1983年3郑毓信.数学方法论.广西：广西教育出版社，1991年4张奠宙.数学方法论稿.上海：上海教育出版社，1996年5徐树道.数学方法论.桂林:广西师范大学出版社，2001年6王子兴.数学方法论-问题解决的理论.长沙：中南大学出版社，2002年7王亚辉.数学方法论-问题解决的理论.北京:北京大学出版社,2007年,数学课程标准的要求:,指出通过义务教育阶段的数学学习，学生能够：获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能；指出获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴涵的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用。,第一章 数学方法论简介,1.1 相关概念辨析一、什么是数学？数学的基本特点1、高度的抽象性 2、逻辑的严谨性3、应用的广泛性 4、独特的语言符号系统(数学美),数学的研究对象 19世纪时由恩格斯给出的定义 数学是研究现实世界的数量关系和空间形式（简称：数与形）的科学 按照恩格斯所说，数与形是数学的两大基本柱石之一。整个数学都是由此提炼、演变与发展起来的。,要突破恩格斯定义的历史局限性,应取两点正确的态度。一方面，应从数学抽象与现实世界的辩证关系上理解“空间形式”和“数量关系”，另一方面可以从历史发展的角度对“现实世界的空间形式和数量关系”作广义的理解。,20世纪初的定义 数学是研究“模式与关系”的科学模式：“某种事物的标准形式”，这种标准形式是通过抽象、概括而产生的。数学的概念、理论、公式、定理和方法都可以看成是一种模式。关于数学概念的模式（数1的概念，圆的概念，导数的概念）关于数学问题的模式,新课程数学观所揭示的数学教育价值的多维性,新课程所确定的数学观充分反映了人们对数学认识的进步和深入。它以这样一些维度来展示数学的本质的特征：（1）“数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具，能够帮助人们处理数据、进行计算、推理和证明，数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象。”,（2）“数学为其他科学提供了语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础。”（3）“数学作为一种普遍适用的技术，有助于人们 收集、整理、描述信息，”数学“为人们交流信 息提供了一种有效、简捷的手段。”（4）“数学在提高人的推理能力、想象力和创造力 等方面有着独特的作用。”（5）“数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。”,二、方法、方法论及数学方法论1、方法:人们为达到某一目的所采取的方式、手段、途径等的统称 2、方法论:方法的元理论，即把方法本身作为对象研究所形成的理论。3、数学方法论:则是对古今的数学方法进行概括、分类、评价以及如何运用的论述。比较：数学方法、数学思想、数学思想方法,三、数学方法论的研究对象（总体）数学的发展规律、数学的思想方法、数学中的发现发明与创新等法则。四、具体范围（四个层次）1、基本的和重大的数学方法（模型化的思想、公理化的思想)2、与一般学科相应的数学方法(分类法、归纳法、类比法)3、数学中特有的方法（数形结合法、数学归纳法)4、中学数学的解题技巧（配方法、待定系数法、换元法）,2 数学方法论在数学中的作用和地位,一、对数学学科发展的作用1)对数学发展规律的研究促进数学的发展2)思想方法的创新对数学发展起决定性作用二、开拓数学的应用环境三、对数学教与学的意义在教师教的方面的意义（数学思想是教材体系的灵魂；是进行教学设计的指导思想；是课堂教学质量的重要保障）在学生学的方面的意义（使数学知识更容易理解；有利于数学知识的记忆；有得于“原理和态度的迁移”）,第二章 数学方法论的形成与发展,2.1 数学方法论的发展史一、数学方法的出现（数学萌芽时期）1、时间：远古时代公元前600年2、数学的研究对象：实际计算与测量问题3、数学特点：数学还未形成独立的学科4、数学方法的特点：出现一些简单的方法,二、数学方法论的萌芽（常量数学时期）,1、时间：公元前600年17世纪中叶2、研究对象：常量3、特点：已有纯粹的研究对象、特定的符号，成为独立的学科4、数学方法：已开始运用逻辑方法；开始了对数学方法的总结和研究；出现了关于数学方法的论著（公元前3世纪至公元前2世纪写成的几何原本和九章算术代表着两种不同的数学文化。）,古希腊数学文化 注重论证和思维推理训练,“对顶角相等”是否要证明？中国古代算学没有角的概念，谈不上对顶角。认为这是显然的，不需证明。几何原本。命题15：对顶角相等。证：因为A+C=B+C=1800。根据公理3：等量减等量，其差相等。所以，A=B。,A,B,C,三、数学方法论的形成（变量数学时期）,1、时间：17世纪中叶19世纪20年代2、研究对象：变量3、特点：研究对象的质变；数学思想方法丰富；出现了很多学科4、数学方法：分析方法的产生和丰富；辩证法进入了数学；产生了杰出的数学方法论的研究者和论著,四、数学方法论学科的建立（近现代数学时期）,1、时间：19世纪20年代现在2、研究对象：结构和模型3、特点：分支繁多；抽象程度越来越高；应用越来越广泛4、数学方法：数学思想方法的跃进；数学哲学研究为方法论奠定基础；逻辑方法、科学方法趋于成熟和完善；将数学方法论作为学科独立研究；数学方法研究群体的形成。,2.2 数学思想方法的几次重大突破,一、从算术到代数二、从综合几何到几何代数化三、从常量数学到变量数学四、从必然数学到或然数学五、从明晰数学到模糊数学六、从手工证明到机器证明,一、从算术到代数,思想方法:用字母表示数的思想方法产生的原因:算术自身的局限性，限制了数学的应用，影响和束缚了数学自身的发展。代数与算术的根本区别影响和意义：（1）扩展了数学的应用范围；（2）对整个数学的进展产生了巨大而深远的影响；,二、从综合几何到几何代数化,思想方法：几何代数化的思想产生原因：几何和代数的不协调发展；随着数学研究范围的扩大，用几何方法来解决数学问题越来越困难；代数学的发展主要特征：形与数、几何与代数统一意义：（1）把几何学推到了一个新的阶段（从定性到定量；从现实空间到抽象空间；从静态到动态）；（2）为代数学研究提供了新的工具（直观性；开拓代数学的研究领域）（3）为微积分的创立准备了必要条件（变数）（4）为数学的机械化证明提供了重要启示,“数学中的转折点是笛卡儿的变数。有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了。”恩格斯,三、从常量数学到变量数学,函数的思想、微积分的思想产生的原因：社会生产和自然科学向数学提出了一系列与运动变化有关的新问题。长时间的酝酿。影响：（1）为自然科学描述现实世界的各种运动和变化提供了有效的工具；（2）带来数学自身的巨大进步。,四、从必然数学到或然数学,随机思想、概率统计的思想产生原因：赌博、保险业、人口统计等中研究或然现象的数量规律影响：产生一系列的新学科，有着广泛的应用。,五、从明晰数学到模糊数学,模糊数学方法产生原因：现实世界中存在着大量模糊的量，对这类量的描述和研究需要一种新的数学工具；电子计算机的发展为模糊数学的诞生准备了摇篮。模糊数学的理论基础影响：基础研究课题范围广泛，应用到科学和技术的各个领域。,六、从手工证明到机器证明,机器证明方法产生原因：现代数学的发展迫切需要把数学家从繁难的逻辑推演中解放出来；数学中存在着大量传统的单纯人脑支配手工操作的研究方法难以奏效的证明问题；机器证明的可能性；已有研究表明，有不少类型的定理证明可以机械化，可以放心地让计算机完成。影响：改变数学家的工作方式,数学理论的真理观,1、几种具有代表性的真理观（1）观念论：数学真理是一种先天真理，它与经验无关。（2）实在论：认为数学理论的真假与经验及实在有关，是一种事实真理。（3）形式论：无矛盾性即真理。（4）可误论：没有任何一种数学理论可以担保永远免于修改或被证伪。,2、对数学真理性的辩证认识理性真理与现实真理 绝对真理与相对真理 形式真理与非形式真理。3、实践是检验数学真理的最终标准,第三章 数学悖论与数学危机,一、数学悖论1、什么是悖论？如果某一理论公理和推理原则看上去是合理的，但在这个理论中却推出了两个互相矛盾的命题，或者证明了这样一个复合命题，它表现为两个互相矛盾命题的等价式，则称这个理论包含了悖论。2、典型的悖论（1）毕达哥拉斯悖论：“万物皆数”,（2）芝诺悖论：A、两分法悖论 B、阿齐里斯悖论 C、箭的悖论 D、运动场悖论（3）伽俐略悖论：“整体等于部分”（4）说谎者悖论：“我现在所说的是假话”。（5）理发师悖论（6）最大序数悖论（7）最大基数悖论（8）罗素悖论（9）格雷林悖论（10）贝克莱悖论：“无穷小量究竟是否为零？”,(6)最大序数悖论,1897年，意大利数学家布拉里-福蒂（Burali-Forti）在超穷序数理论中得到一个悖论：一切序数按照他们的自然顺序，形成一个良序集。这个良序集合根据定义也有一个序数，这个序数由定义应该属于这个良序集。可是由序数的性质，序数序列中任何一段序数要大于这段之内的任何序数，因此，应该比任何序数都大，从而又不属于这个良序集，矛盾。,(7)最大基数悖论,由康托尔于1899年发现。依照基数理论可证明：任何集合的基数小于集合的幂集的基数，即，此命题称之为康托尔定理现设S为一切集合所组成的集合，由上述定理知，,但根据S的定义，又可证明是S的子集，故又有。矛盾。,（5）理发师悖论,萨魏尔村有一位理发师，他给自己订一条规则：他只给村里自己不给自己刮胡子的人刮胡子。请问：这位理发师该不该给自己刮胡子？就形成了一个悖论。,（8）罗素悖论,集合可分为两类：若集合A是它本身的元素，那么A属于A，称这类集合为本身分子集，如“一切概念的集合”，它本身也是一个概念，它也属于这个集合，若集合A不是它本身的元素，即A不属于A，称这类集合为非本身分子集。试问：一切非本身分子集全体构成的集合S是那种集合，则得到一个悖论。,（9）格雷林悖论,一个形容词要按其所描述的性质是否符合于该形容词本身而分为两类：凡是符合的称为自状的，凡是不符合的称为非自状的。试问：“非自状的”这个形容词属于哪一类？若它是非自状的，则正好与它自身相符，按定义，它应该是自状的；若它是自状的，则正好与它本身不相符，它又应该是非自状的，这就自相矛盾。,悖论趣例:,梵学者的预言 意料之外的考试起死回生的问题,梵学者的预言,印度预言家的女儿，在纸上写了一件事（一句话），让他父亲预言这件事情在下午三点钟以前是否发生，并在一个卡片上写“是”或“不”。此梵学者，在卡片上写了一个“是”字。她女儿在纸上写的一句话是：“在下午三点钟之前，你将写一个不字在卡片上。”梵学者发现，他披女儿捉弄了，无论他写“是”或“不”都是错误的，他根本不可能预言对。,意料之外的考试：它出现于20世纪40年代初一位教授宣布：下周的某一天要进行一次“意料之外的考试”。并称没有一个学生能在考试那天之前预测出考试的日期。一个学生“证明”，考试不会在一周最后一天进行，如若不然，则在倒数第二天就可以推测出来了。以此类稚，考试不可能在任何一天进行。,起死回生的问题,从前有一个国王，非常爱惜人才，即使是对囚犯也不例外。国王规定，对于死囚，在押赴刑场时可以给他一次生存的机会。为此，在押赴囚犯到刑场途中，他们设计一个丁字路口，在这个路口有两个前进方向可供选择，一个通向刑场，另一个则通向光明大道。但是两个方向入口处各有一个士兵把守，这两个士兵中一个只讲真话不讲假话，而另一个则只讲假话不讲真话，除了他们二人之外，其他人并不知道他们中间谁是讲真话者。,起死回生的问题,国王给囚犯提供的逃生机会是：允许囚犯只向其中的一个士兵问唯一一个问题，然后根据士兵的回答来自己决定朝哪个方向前进。如果走向刑场，则要执行死刑，如果走向光明大道，则可以自由逃生。,起死回生的问题,由于事先并不知道两个士兵中谁是说真话者，又不能多问一个问题以求辨认真假，许多囚犯面对这样的逃生机会不知所措，只好听天由命。有的难免一死，有的侥幸逃生。有一天，一个精通数学和逻辑的囚犯，在这里依靠自己的聪明才智，明白无误地为自己捡来一条性命。那么，他提了一个什么问题呢？,起死回生的问题,囚犯问其中一个士兵：如果我问他（另一个士兵）哪一条路通向光明大道，他会怎样回答？,二、数学危机,1、第一次时间：公元前5世纪内容：不可通约量的发现(毕达哥拉斯悖论)影响：整数的权威地位动摇、几何的身份升高、重视演绎推理。2、第二次时间：18世纪内容：微积分的基础之争(贝克莱悖论)影响：分析理论基础的完善和集合论的创立,3、第三次时间：1902年内容：集合论悖论影响：改造集合论方案、数理逻辑的发展和一批现代数学的产生,改造集合论方案,罗素的分支类型论（1）类的划分（2）级的划分策梅罗的公理集合论（但其本身的相容性仍未得到证明）,三、悖论的实质和无限观,1、两种无限观：实无限：把无限看成是已经完成了的或者是客观存在的对象。潜无限：把无限看成是一个永无终止的生成过程。2、潜无限与实无限的辩证关系 相互对立，但又相互转化、依赖；任何一个无限是实无限与潜无限的统一。,3、悖论的实质：从认识论的角度：主观认识与客观实际的矛盾反映从无限观的角度：对无限性的片面化和形而上学化4、悖论在数学发展中的积极意义是数学发展的内部动因；悖论的解决往往伴随着认识上的超跃；围绕着悖论的解决产生了众多的数学成果。,3.3 数学基础三大哲学学派,一、逻辑主义学派代表人物：罗素、弗雷格观点：应把数学还原于逻辑无限观：实无限评价：过分夸大数学与逻辑间的同一性，在数学发展方面是有作用的。,二、直觉主义学派,代表人物：布劳威观点：存在必须是被构造无限观：潜无限评价：否定传统逻辑，排斥多数合理的数学理论。直觉构造性数学的繁琐，否定数学客观性的数学哲学观，对能行性问题的研究具有重要的现实意义，对构造性数学的发展起了奠基性的作用。,例 证明存在两个无理数X，Y，使 是有理数。,三、形式主义学派,代表人物：希尔伯特观点：以形式公理化为基础，证明整个数学的相容性。“希尔伯特规划”评价：过分夸大形式研究的证明的作用，哥德尔定理对希尔伯特规划的否定，导致了元数学和证明论的产生。,希尔伯特规划的基本内容有：,(1）证明古典数学的每个分支都可公理化；(2）证明这样的系统是完备的；(3）证明这样的系统是不矛盾的；(4）证明这样的系统所相应的模型是同构的。(5）寻找一种方法，借助于它，可以在有限步骤内判定任一命题的可证明性,五类与运动变化有关的新问题：,描述非匀速运动物体的轨迹；求变速运动物体的速度、加速度和路程；求曲线上任一点的切线；求变量的值；计算曲线长度、曲边形面积、曲面体体积、物体的重心及大质量物体之间的引力等。,1.3数学方法论的特点、意义及研究方法,一、基本特点1、开放性 2、综合性 3、实践性4、层次性 5、多元性二、学习数学方法论的意义1、对数学学科发展的作用a)对数学发展规律的研究促进数学的发展b)思想方法的创新对数学发展起决定性作用2、开拓数学的应用环境3、对数学教育的意义,三、基本的研究方法,1、理论与实践相结合2、历史与现实相结合3、典型与一般相结合4、自省与他析相结合5、数学与哲学相结合,第二章 数学观,2.1 数学的本质一、数学的基本特点1、高度的抽象性 2、逻辑的严谨性3、应用的广泛性 4、独特的语言符号系统二、数学的客观基础1、两种对立的观点（唯心、唯物主义）2、数学与现实的辩证关系现实世界对数学的决定性作用数学反映现实世界的能动性数学思维与现实的作用是辩证的,现实世界对数学的决定性作用,a)数、形概念的起源b)现实世界向数学提出问题c)数学问题也来源于数学内部的实践活动d)最终回归实践,数学反映现实世界的能动性,a)数学思想事物的自由性b)逻辑发展带来的创造性c)数学矛盾运动的相对独立性d)数学理论的超前性,三、数学的研究对象,1、关于数学研究对象的若干观点2、对恩格斯经典定义的认识（1）数学是研究现实世界的空间形式和数量关系（2）要突破恩格斯定义的历史局限性,应取两点正确的态度。一方面，应从数学抽象与现实世界的辩证关系上理解“空间形式”和“数量关系”，另一方面可以从历史发展的角度对“现实世界的空间形式和数量关系”作广义的理解。,第三章 数学的发展,几次典型的数学思想方法的发展:从算术到代数是数学思想方法的一次重大发展从综合几何到几何代数化是数学思想的一次质的飞跃从常量数学到变量数学是数学思想方法的一次根本性变革从必然数学到或然数学是数学思想方法的一次深刻变革,3.1数学发展的几个直接动因,一、数学问题1、数学问题的来源2、数学问题的表现形式：实际应用问题；自然生长问题；反常问题；矛盾问题；数学猜（测）想3、数学问题的意义：数学理论生长的细胞；数学问题的逻辑关联促使数学的发展；成为推动数学前进的杠杆；对数学教育的启示。,二、数学观念,1、代数观念2、几何观念3、观念突破的能动作用三、数学符号1、功能2、数学符号在数学发展中的作用四、数学美学标准,3.2对数学发展中若干现象的辩证认识,一、对立理论的并存现象二、多重、独立地发现同一结论现象三、历史与逻辑的非一致现象四、数学的分化与整合五、极大的普适性与自我封闭性六、是发现还是发明七、计算机给数学带来的哲学思考,第四章 数学化归原则,4.1化归原则概说笛卡尔的万能方法：任何问题-数学问题-代数问题-方程的求解一、化归的特征：(举例)转换性、间接性、后瞻性、简捷性二、化归的要素、模式、方向、实质1、要素：对象、目标、方法,2、模式：3、方向：未知 已知、复杂 简单、困难 容易4、实质：转化矛盾4.2 化归的基本形式一、特殊与一般的转化1、一般化特殊2、特殊化一般,二、整体与局部的转化1、形体分割与补形2、轨迹交会法3、局部变动法三、具体与抽象的转化1、抽象问题具体化2、具体问题抽象化,四、数与形的转化1、形化数2、数化形3、形化数再化形五、高与低的转化六、正与反的转化七、已知与未知的转化八、有限与无限的转化,例：求。例1：ABC中，B、C为定点，A为动点，A，B都不是钝角，高AD、BC，M为BC的中点，H为垂心，求证：MH+DH为定值。例2：试证 不是周期函数。,例3：已知a、b为相异正实数，求证:,例4：凸多面体的欧拉定理2=V-E+F（V、E、F分别表示顶点数、棱数、面数）。例5：证明圆周角的度数定理：圆周角等于同弧所对圆心角的一半。例6：如果A、B、C、D是空间中四点，且ABC=BCD=CDA=DAB=900 求证：A、B、C、D在同一平面。（加拿大第八届中学数学竞赛题）,例7：如图，a,b是两条已知的空间直线，X、Y分别为直线a、b上的动点，试求d=|XY|的最小值，即直线a、b的距离。,例8：求函数 的最小值。例9：在一条直线上，顺次用红色或蓝色的笔涂上n个点，若相邻点间的线段 两端颜色不同，则称它为标准线段，现已知 与 颜色不同，证明：标准线段的条数一定为奇数。,例10：试证菱形的对角线互相垂直。例11：求证：对任何，都有，当 时等号成立。例12：边长为5的菱形，它的一条对角线的长不大于6，另一条不小于6，则该菱形两条对角线的长度之和的最大值是多少？,例13：若、成等差数列，问、是否也成等差数列？例14：解方程例15：已知数列 存在极限，且有,其中n2，P为非零常数，试求。,第五章 关系映射反演方法,5.1 RMI方法概述一、映射方法二、有关概念映射：原象数学关系结构：映象数学关系结构：反演：目标原象：目标映象：可定映的映射：三、RMI原则,5.2 RMI方法在数学中的应用,一、RMI方法对若干方法的统一性二、提供了重要的解题思路和方法三、解决不可能性问题四、解决整体性结构问题五、RMI原理与数学创造,5.3 使用RMI方法的条件,一、使用的条件：1、一般应是一一映射2、是可定映的3、具有能行性 二、关键：引进合乎要求的映射,例：将 展开成幂级数。例：计算 例：求方程 的实根积。,三、解决不可能性问题,“不可能性问题”的定义用RMI方法来解决几何三大难题（1）圆化方问题（2）倍立方问题（3）三等分角问题,第六章 数学公理化方法,6.1 数学公理化方法的意义一、数学公理化方法的含义二、意义：1、总结性 2、示范性 3、简洁性4、系统性 5、可比较性6.2 数学公理化方法的产生与发展一、公理化方法的萌芽-亚里士多德的三段论体系,二、实质公理化方法的产生-欧几里得的几何公理体系 对象-公理-演绎实质公理系统的特点：研究对象先于公理给出。公理和公设对自明性有不同的要求 用构造作为存在性的证明。,三、潜形式公理化阶段-非欧几何体系四、形式公理化阶段-希尔伯特公理体系 公理-对象-演绎五、纯形式公理化阶段-元数学的建立,6.3 公理化方法的特点与基本问题,一、特点：1、纯粹的演绎系统；2、有序的整体；3、系统是形式化的二、基本问题：1、关键：选择基本概念与公理2、选择公理的基本问题：相容性；独立性、完备性三、对公理系统的检验1、相容性的证明,罗氏几何的相容性证明：,欧氏几何相容性“模型”：庞加莱模型 罗氏几何-欧氏几何 点-直线a上方的点 线-以a上的点为圆心作圆，a以上的半圆 面-直线a以上的欧氏平面,F克莱因模型,罗氏几何-欧氏几何 点-欧氏圆的内点 线-圆的弦（不包括两端点）面-圆的内部2、独立性的证明3、系统完备性的证明,思考：中学几何体系的特点 诡辩题：“任何三角形都是等腰三角形”,6.4公理化方法的作用,公理化方法举例作用：1、公理化方法是加工、整理知识，建立科学理论的工具，公理系统的形成是数学分支发展的新起点；2、公理化方法有助于发现新的数学成果，可以探索各个数学分支的逻辑结构，发现新问题，促进和推动新理论的创立和发展；3、公理化方法是建立某些抽象学科的基础；4、公理化方法对各门自然科学的表述具有积极的借鉴作用；5、公理化方法对培养和熏陶人们的逻辑思维能力具有重要作用。,思考：,如何认识对同一对象的不同形式的公理描述？公理化方法是思维的“自由产物”呢还是建立在一定的客观基础之上的东西？公理化方法是万能的呢还是带有某种局限的方法？关于实质性的公理法与形式化的公理法,下一章,几何原本中的公理系统,公设：1、由任意一点到另一任意点可以画直线；2、一条有限直线可以继续延长；3、以任意点为心及任意的距离可以画圆；4、凡直角都彼此相等；5、同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于二直角的和，则这二直线经无限延长后在这一侧相交；,公理：1、等于同量的量彼此相等；2、等量加等量，其和仍相等；3、等量减等量，其差仍相等；4、彼此能重合的物体是全等的；5、整体大于部分。,Hilbert的公理系统：,（1）结合公理（共8条）（2）顺序公理（共4条）（3）合同公理（共5条）（4）连续公理（共2条）（5）平行公理,结合公理：,过两点有一直线；过两点至多有一直线；直线上至少有两点，又至少有三点不在同一直线上；过不在同一直线上的三点必有一平面，每一平面上至少有三点；过不在同一直线上的三点至多有一平面；如果一直线的两点在某平面上，则该直线的所有点均在此平面上；如果两平面有一公共点，则它们至少还有另一公共点；至少有四点不在同一平面上。,顺序公理：1、若点B位于点A、C之间，则A、B、C是同一直线上的三点，且B位于C、A之间；2、对于两给定点A与C，则至少存在一点B，使C在A、B之间；3、直线上的任意三点中，至多有一点位于其它两点之间；4、（巴士公理）A、B、C是不共线三点，直线L在A、B、C三点的平面上，但不过A、B、C三点，如果L穿过AB截段中的一个点，则L必穿过截段AC或BC中的某点。,合同公理1、如果A、B为直线L上的两点，为直线L上或另一直线 的点，则在 的给定一侧必可在L或 上找到一点，使得截段 合同于AB，记为。连续公理1、阿基米德公理2、康托公理平行公理,中学几何公理系统：,结合公理选取了一部分：1、两点确定一条直线；2、三个不共线的点确定一个平面；3、一条直线上的两个点如果都在一个平面内，则这条直线上所有点都在这个平面内；4、如果两个平面内有一个公共点，这两个平面就有一条公共线。顺序公理、合同公理和连续公理没有提出而凭直观默认。平行公理进行了强化：过直线外一点，有且仅有一条一条直线与该直线平行。,新增的“公理”：,1、平行线判定定理：同位角相等，两直线平行；2、平行线的性质定理：两直线平行，同位角相等；3、三角形全等的判定：SAS、ASA、SSS4、不共面的三条直线中，如果有两条都和第三条直线平行，这两条直线也平行；5、两点间的直线段最短；6、长方形的体积等于它的长、宽、高的乘积。.,中学几何体系的特点：,不明确指出哪些是原始概念,对基本对象通过直观进行描述；对一些理应严格定义的概念，也采用直观描述的方法；扩大公理体系，降低教学难度，把原来在严格公理系统中可以证明的定理，也列为公理，不加证明地去使用；尽管扩大公理体系，公理仍不完备。,第七章 数学模型方法,7.1 数学模型的意义、类型及作用一、数学模型的含义：根据研究目的，将所研究的客观事物的过程和现象的主要特征、主要关系，采用形式化的数学语言，概括地近似地表达出来的一种数学结构。二、类型三、作用：1、阐述客观现象，解决实际问题的重要工具2、是各门学科数学化的手段3、是预测和控制的有效方法4、对数学发展起重要作用,7.2 建立数学模型的步骤和途径,一、步骤：识模析模建模解模验模二、要求：（1）具有进行逻辑推导的可行性；（2）具有回到原型的真实性；（3）具有数学抽象的纯粹性；（4）具有一定的简洁性。三、途径：（1）直接建立（2）对象模拟（3）数据处理（4）程序设计,7.3 数学模型方法的典型例题7.4 数学模型方法与数学教育1、数学建模竞赛2、MM方法与数学教学改革 中学数学建模教育的目的 基于数学建模的课堂教学,例：在足球比赛中，甲方边锋从乙方所守球门附近带球过人沿直线向前推进（如图）。试问：边锋在何处射门命中率最大？,例1：6人集会问题 1958年，美国数学月刊上登载过一道趣味题：证明在任意6人的集会中，总有3人互相认识或者相不认识。例2：蒲丰投针实验试在平地上划出一组间隔距离为a(a0)的平行线，以 长的针（质量均匀的细针）随机地掷到画有平行线条的地面上，问针与一平行线接触的机会有多大？例3：椅子问题4条腿长度相同的椅子放在不平的地面上，4条腿能否一定能同时着地？,思考：17位科学家两两通信讨论三个问题，且每两位科学家之间讨论同一问题。求证：至少有三位科学家之间讨论同一问题。任意9人中，必有三人彼此认识或有四人彼此不认识。,例4：有若干个鸟窝，它们之间的距离彼此不等。如果从每个鸟窝都有一只鸟飞落到离它紧近的另一鸟窝。试证每个岛窝飞落下的鸟不超过五只。例5：求证：三角形三条中线交于一点，这点到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍。例6：求关于 的方程 的非负整数解的个数。,数学建模教学的基本环节：问题情景建立模型解释、应用与拓展数学建模教学的方式：（1）从课本数学问题出发，注重对课本原题的改变；（2）从生活中的数学问题出发，强化应用意识；（3）从社会热点问题出发，介绍建模方法；（4）通过实践活动或游戏中的数学，培养学生的应用意识和数学建模应用能力；（5）从其他学科中选择应用性问题，培养学生应用数学解决其他学科难题的能力；（6）探索数学应用于跨学科的综合应用题，培养学生的综合能力和创新能力，提高学生的综合素质。,思考：中学开展数学建模教学的意义？,培养学生合作学习的能力；培养学生处理信息的能力；有利于学生形成正确的数学观；有利于学生体验数学与生活、数学与其他学科的联系；激发学生的数学学习兴趣；发展学生的创新意识。,下一章,中学数学建模的主要目的:,使学生体会数学与自然及人类社会的密切联系，体会数学的应用价值，培养数学的应用意识，增进对数学的理解和应用数学的信心；使学生学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中的问题，进而形成勇于探索、勇于创新的科学精神；使学生学会以数学手段，激发学习数学的积极性，团结合作，建立良好的人际关系、相互合作的工作能力；以数学建模方法为载体，使学生获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学事实（包括数学知识、数学活动经验）以及基本的思想方法和必要的应用技能。,第八章 数学构造方法,8.1 构造法概述一、构造法的特征1、含义：2、特征：直观性、能行性3、两种形式：构造性定义、构造性证明二、构造法的近、现代发展1、直觉数学阶段代表人物：克罗内克、布劳威,观点：a)数学的出发点不是集合论而是自然数论；b)否认传统选择建立直觉选择 c)创立了具有构造性的直觉数学2、算法数学阶段代表人物：马尔科夫观点：算法的构造性方法3、现代构造数学阶段代表人物：比肖泊观点：用构造法重建现代分析,三、构造性数学与非构造性数学的辩证关系,1、构造性数学中的许多成果及进展是基于非构造性数学的传统思想的产物2、构造性数学为非构造性数学的许多理论提供补充3、两种方法常常是相辅相成的,8.2 构造方法在数学发展中的作用,一、对中西古代数学的影响1、中国-九章算术2、西方-几何原本二、对经典数学的构造性解释三、对开拓数学新领域的作用,8.3 构造法在解题中的运用,1、构造图形2、构造函数3、构造方程4、构造模型5、构造过程6、构造反例7、构造命题,例1：已知，求证：例2：设a、b、c为正实数，求证：例3：已知a、b、c都是正数，且 求证：,例4：若，求证：例5：已知当 时，不等式 试求 的取值范围。,例6：设实数a,b,c满足 求证：,例7：已知空间中六条直线，其中任何二条不平行，任何三条不交于一点，也不共面。求证：在这六条直线中总可选出三条，其中任何二条异面。例8：已知a,b是RT的两直角边，c是斜边，求证：,例9（中国剩余定理）“今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二；问物几何？”,例10：判断的图象是否一定关于直线 对称？,例11：设，求证：,第九章 数学中的逻辑思维方法,1、分类与类比分类：是依据一定的标准将对象分为不同种类的逻辑方法。分类的逻辑规则：类比法：是由两个或两类思考对象在某些属性上的相同或相似，推出它们在另一属性上也相同或相似的一种推理的方法。,2、归纳与演绎,归纳法：是以个别（或特殊）的知识为前提，推出一般知识为结论的推理方法。完全归纳法、不完全归纳法演绎法：是从一般性原理得出特殊结论的推理方法，即从一般到特殊的推理方法。,3、分析与综合,分析法：是把整体分解为部分，把复杂事物分解为简单要素分别加以研究，从而认识事物的基础或本质的一种方法。综合法：是从事物各个部分、方面、层次和因素的特点及属性出发，寻找它们之间的内在联系，然后加以概括上升，由此获得对事物整体的本质与规律的认识方法,4、证明与反驳,证明是借助于已确立其真实性的命题来确定另一命题真实性的思维方法。反驳是以确知为真的命题，驳斥另一命题虚假性的逻辑方法。,例1：任给五个整数，证明必能从其中选出三个，使得它们的和能被3除尽。例2：圆 与 相交，过一交点P任作一直线交圆 与A，交圆 于B，分别过，作 于C，于D，求证：。,例3：欧拉用类比法发现伯努利级数的 和例4：将勾股定理进行类比，可得到一系列结论。,第十章 数学中的非逻辑思维方法,1、想象与联想2、直觉与灵感,看看我们的美丽世界,13世纪法国王室城堡卢浮宫,莱奥纳多达芬奇(1452-1519)蒙娜丽莎,希腊艺术米罗的维纳斯像,这些都蕴含着深刻的数学道理潜藏着神奇的数学奥秘,数的表示,完全数：6=1+2+328=1+2+4+7+14496=1+2+4+8+16+31+62+124+2488128=1+2+4+8+16+32+64+127+254+508+1016+2032+4064,6=21(22 1)28=22(23 1)496=24(25 1)8128=26(27 1),这些都展示着数学之美,名人说,伽利略说,展现在我们面前的宇宙像一本用数学语言写成的书若不掌握数学的语言符号，就像在黑暗的迷宫里游荡，什么也认识不清。,罗素说,数学,如果正确地看她，不但拥有真理，而且还具有至高的美!正像雕刻的美，是一种冷而严肃的美。这种美不像绘画或音乐那样具有华丽的装饰，她可以纯净到崇高的地步，能够达到最伟大的艺术所能显示的完满境地。,哈代说,数学家跟画家或诗人一样，也是造型家。画家造型用形与色；诗人是用语言；数学家则是用概念塑造，因此更能经受时间的考验。概念也像色彩或语言一样，必须和谐一致。美学是首要的标准，在这个世界上，不美的数学找不到永久容身之地。,案例一 香港教材：“公说公有理，婆说婆有理”某企业有5个股东，100个工人，9092年间收益情况如下：年份 股东红利（元）工资总额（元）1990年 5万 10万 1991年 7.5万 12.5万 1992年 10万 15万 将它画成图表（如图）：,90,91,92,1000,1500,10000,20000,90,91,92,90,91,92,5万,10万,15万,（1）股东画：两条平行线，表明劳资双方“有福同享，有难同当”,（2）工会领导人画：差 距越来越大，应加速增加工资。,（3）工人画：以股东和 工人的个人所得计算，收入相差悬殊。,用数学说理,100%,150%,200%,案例二,上海51中学一毕业生在和平饭店发现在地下室通向10层楼三根导线的电阻不同。如何测量？他想到解联立方程 x+y=a x-y+z=b y-z+x=c z-,“宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之变、生物之谜、日用之繁，无处不用数学。”华罗庚先生,地王大厦有多高？,地王大厦有多高？,文学家：巍然屹立、高大宏伟、高耸入云物理学家：拿根绳子去量一量数学家：类比：选取标尺，然后利用标尺与大厦投影的长度及相似原理，准确地测量出大厦的高度；转化：利用直角三角形直角边长与其对角的依赖关系，把大厦高度的测量转化为对仰视角的测量。,名人语录,任何一门科学，只有当它用到数学时，才能得到真正完善的发展。Karl Marx 数学是打开科学大门的钥匙。Rogen Bacon 数学是我们时代有势力的科学，它不声不响地扩大它所征服的领域；那种不用数学为自己服务的人将会发现数学被别人用来反对他自己。J.F.Herbart,