风花雪月数学之三十六计（一）.doc

风花雪月数学之三十六计（一）数学是美丽的，学习数学的过程是一种智慧的享受，我们在提高学生的数学素质的过程中不能仅仅看重数学分数，也许今天我们的学生都可以考试得130，甚至140，150的高分，结果到了大学及更高层次学习空间时大都不选择数学，更放弃了对数学的追求与探索，这也是我们这些数学老师不想看到的吧!下面还望我们老师们努力探索，积极引导，不仅提高学生的数学成绩，更调动学生的数学兴趣，培养更多的“数学”人才！杨振宁认为中国近代科技的落后主要原因是“数学”的落后！因此，从祖国发展的角度看，我们数学老师和学生身上有义不容辞的责任。尽管目前来看很多学生在社会，家长等因素的作用下都比较现实，很少有学生愿意深入研究数学，但是我们不可否认，只要我们多灌输，人才就会涌现！举个简单的例子：中国足球。我们承认中国足球水平不高，但我们更要承认我们足球土壤过于贫瘠，到底有多少人没有真正踢过足球！也许我们可以有很多“马拉多纳”，可是这些“马拉多纳”可能一生都没有踢过足球！而且我个人认为，尽管从某种角度看，数学是比较枯燥，严谨，辛苦的；但换个角度我们也能发现数学的很多美妙之处！就像1990年意大利世界杯足球赛场上，阿根廷队的球员卡尼吉亚一头长发，可能有人感觉大男人留长发不太合适；但换个角度欣赏“长发在风中飞舞，让人感受到了风的速度！”因此卡尼吉亚得名“风之子”，从此很多中国球迷心中多了一种情结叫“风的情结”！数学方法，思想处处体现着智慧，体现着美，在我看来数学就是一幅画，一首诗，一支歌。将这首诗献给美丽的数学。漂着绿叶小舟划过河中暂缓停水清澈而见倒影映衬画中央美景搭西湖高歌遍山林船夫荡悠悠回音进谷底风起树鸟声悦耳月陶醉沙下鱼饵当饵耳作诗对词以休闲让清晨有笛乐以傍晚作赏月独享风景一， 混水摸鱼-代入法品味1：若关于不等式的解集是，则实数的值是 解析：此题具体解比较麻烦!然则巧用“代入法”可以轻松“搞定”！将x=2代入迅速求得a=4.品味2：已知数列共有项，定义的所有项和为，第二项及以后所有项和为，第三项及以后所有项和为，第n项及以后所有项和为，若是首项为2，公比为的等比数列的前项和，则当时，等于A B C D 解析：有题知，从而轻易算出，并且答案四个均不同，必定迅速完成！品味3：在数列中， ，则 AA B C D解析：此题显然就是考察“巧做”！直接做还是感觉比较复杂！然则，利用“代入法”可求出进而可以迅速确定答案！品味4：解析：此题若直接做会耗费诸多时间，而且不一定能做对，如果将答案找错，不难发现C中左面大于0，右面小于零！将答案代入榨出错误！事半功倍，妙不可言！注意这是2007山东高考数学理科10题！品味5：已知函数，当时，恒有，则的取值范围为（ ）A B C D且解析：此类求范围的题目往往运用“代入法”可以将其变成纯运算的题目！这一点相信很多同学会总结发现！如此题中，令a=2,可以判断是否成立，从而确定A是否正确！令a=0,可以判断C是否正确！若还不能完全解出，可令a=1,必定可以选出答案！ 回味：应该说“代入”“特值”“排除”经常联手，充分利用选择题的特点，充分利用选项作为条件，避实就虚，从侧面解决问题，尤其是在一些正面处理较困难的时候，不仅事半功倍，而且大大提高正确率并节约宝贵时间！实现“混水摸鱼”！二， 以逸待劳-特值法品味1：如图已知A、D、B、C分别为过抛物线焦点F的直线与该抛物线和圆的交点，则_ 解析：此题考查圆的几何性质（数形结合）及抛物线的定义！若直接求解，有一定运算量！但采用特值：令AD与x轴垂直，可以迅速解出结果！品味2：已知关于x的不等式有唯一的整数解，则方程实数根的个数为( )A,0 B,1 C,2 D,3解析：此题正确率不到百分之十五，毫无疑问很难！但是巧用特值法可以节省时间并且提高正确率！大胆猜想a的值（找一个最好算的），不难想到2，3，10，e等！令a=2知满足不等式，代入方程可轻松搞定！品味3：解析：此题直接处理设计较多运算，公式等，并且不易做对！但采用特值，将四个答案均很好判断，这样的题目学生一般想不到间接处理，而直接处理多数同学很困难，要麽做不出，要麽浪费大量时间！可见“特值法”不仅巧，而且必不可少！品味4：在实数集R中定义一种运算“*”，对于任意为唯一确定的实数，且对于任意具有以下性质：（1）；（2）；（3）。关于的性质，有如下说法：1函数f(x)的最小值为3；2函数f(x)为奇函数；3函数f(x)的单调递增区间为。其中正确的个数为（ ）解析：此题很多学生难以入手，对于f(x)始终停留在抽象的程度上。其实，不难分析：f(x)必须求出，其中（1）（2）显然不能完成。因此必须令（3）中c=0就可以轻松解决，得来全不费工夫！回味：由以上的题目可见“特值法”决不仅仅是节省时间，它是一种重要的做题方法！用的合理就可以做到“以逸待劳”！ 三，瞒天过海-数学归纳法数学归纳法是一种体现“转化化归”思想的方法，常用于与n,n有关的题目，其本质是不从正面与要证明的结论交手，转而利用一种递推加一次验证来侧面解决战斗！即先验证第一个值时命题成立，再假设实际上感觉是在用“假设”证明问题，然而有十分严密，有“避实就虚”之功效！例1：2009山东高考理科20题（2）问等比数列的前n项和为， 已知对任意的 ，点，均在函数且均为常数)的图像上.（1）求r的值； （11）当b=2时，记 证明：（2）当b=2时，, 则,所以 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 下面用数学归纳法证明不等式成立. 当时,左边=,右边=,因为,所以不等式成立. 假设当时不等式成立,即成立.则当时,左边=所以当时,不等式也成立. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由、可得不等式恒成立.（也可以用比较法算出的大小，只需平方一次就能算出！）本题主要考查了运用数学归纳法证明与自然数有关的命题,以及放缩法证明不等式.但是用归纳法的思维难度要远远低于放缩法，而且归纳法还可以固定的步骤分，在2005年21题（3）问共有4分若用归纳法最关键一步仅一分！即使考试说明也对这两者平等对待，要求都是了解！下面我们看一下放缩法，以下略，故原式成立，步骤略！看似运算量小，但是思维量绝对不低！下面再举一例（超级经典）：已知函数求证：对于大于1的任意正整数解：（法一）首先：当a=1时，易证在上为增函数，当故此法需要较强的构造思想，并且涉及利用函数证明不等关系问题！但是构造的“思维”难度较大，并且很多学生会问：“为甚麽？怎麽能想到？”往往老师很难回答！（法二）神奇的数学归纳法（1） n=2,易证，在此略！（2） n=k,假设则当n=k+1时，=，下面证明下面展开精彩换元（相比较法一，法二的换元是明确的，顺理成章的！可见归纳法从侧面化简了问题！）方式一：，以下涉及极限问题！如何处理呢？巧用换元！方式二：故此题充分展示了“数学归纳法”的神奇魅力，如果不用归纳法而直接处理的思维难度极大，关键在于如何找到需要构造的函数！但归纳法却“避实就虚”寻到了问题构造的关键-如何构造函数！当然，此题也涉及到如何“换元”！正是归纳法“瞒天过海”制造出了如何“换元“的条件，才是问题解决的前提！ 四， 无中生有-“归纳，猜想，证明”引入2009山东高考数学理科卷（22）设椭圆E: （a,b>0）过M（2，） ，N(,1)两点，O为坐标原点，（I）求椭圆E的方程；（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。分析: 本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法,能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系.应该说这道题是考前我认为的必考题！今年解析集合大题很可能形式上是“园与椭圆”理由：解析几何只有“椭圆与抛物线”是要求掌握！而2008已经考察了“抛物线”！至于为甚麽会将圆交汇，原因之一“考试说明”最后一句“通过解析几何理解数形结合思想”而圆与向量是数形结合的绝好载体！原因之二青岛一摸理科21题给我们一种强烈的预感！可以说今年的压轴题是“意料之中”！而且相对于“向量的较深数形结合考察”来说继续沿着“圆和椭圆”甚至“圆和圆锥曲线”的方向发展的概率也很大！解（2）（法一）由于题目中“使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且”，故可以先通过特殊情况（直线斜率不存在时候）将圆的方程先解出，利用此时直线与圆的交点分别为（r,r）,(r,-r)即为A,B两点，由于，故由圆的数形结合知：，可迅速解出，之后在明确圆的情况下，再证明对于一般情况下是否能满足：1直线与椭圆有两个交点，2是。这两点在明确了圆的方程之后不难“验证”！这种做法优势在于“早早明确了目标”，而且结合后面求的范围，故此圆必须存在，因此即使“算”不出来也应该“编上”，继续往下做！可以说利用“特殊情况”归纳，“猜出”所要探索的值（其实是算出来的），然后根据情况选择合适的方法去证明这个值满足一般情况。这种做法可以说是“无中生有”！如果这种“探究性问题”直接做的话并不知道“值”是多少，只能一步一步往下做；而“归纳，猜想，证明”却早早确定了方向！这种思想绝不等价于“数学归纳法”因为它的“证明”时并非必须用“归纳法”来证，适应的范围也要广得多。很多“探究性”题目都可以采用，在高考越来越重视“探究性问题”的现在，“归纳，猜想，证明”是值得重视的。BAOT下面再看法二，（2）（法一）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即,则=,即假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 则=,即,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,所求的圆为,此时圆的切线都满足或,而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.这种直接探究的方式往往运算量较大，而且不能预知“方向”，结果对不对都不知道！尤其是这种“方向模糊”情况下的前进往往需要大得多的思维量,经常还需要“技巧”，而“归纳，猜想，证明”则是“方向明确”情况下的“运算”验证！举例1:分析：此题熟练的同学可以迅速反映出来c只能是9，因为只有这样通项才可能是一次函数！可是如何描述步骤呢？在具体做的过程中大部分学生都表达不好或不充分！可是如果采用“归纳，猜想，证明”便轻松“搞定”！解：令可得c=6,然后在证明举例2：，是否存在分析：若此题直接做倒难度不是很大，但运算化简有一定技巧，需使的系数为0！若换个题目可能比较难整理（如后面的超级经典）。若采用“归纳，猜想，证明”则如下：由可求可求出下面只需证明，这不就是运算验证吗！举例3：分析：当L与x轴重合时，构不成；当L与x轴垂直时，直线的方程为代入得，而所以，下面证明一般情况：设直线，运算验证即可！下面轻松“搞定”！超级经典：已知椭圆过点的动直线L交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由解：当L与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程：当L与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程：由即两圆相切于点（0，1），所求的点T如果存在，只能是（0，1）证明如下当直线L垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T（0，1）若直线L不垂直于x轴，可设直线L：由记点、 所以TATB，即以AB为直径的圆恒过点T（0，1）所以在坐标平面上存在一个定点T（0，1）满足条件分析：此题若直接做运算量很大容易算错或算不出来，并且有化简技巧容易找不出来！因为必须设点，结果变量较多，关系较复杂，可谓十之八九算不出来！但采用“归纳，猜想，证明”来处理，很早就可以知道,之后就成了验证，其实就是没有技巧的“纯”运算。前者尽管运算时需要很大运算量以及化简技巧，但是“小巧”，后者化繁为简，把整个过程变成了“纯运算”，是“大巧”！真是“无中生有”！让人叹服不已。数学真的是“美不胜收”，“风情万种”！五， 偷梁换柱-换元法品味一：(2009山东卷理21)两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.（1）将y表示成x的函数；（11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离;若不存在，说明理由。分析:此题的分析建模难度不大，当学生进行求导分析单调性等时，据我的了解最主要问题是绝大部分同学未算出或算对，暴漏了运算能力的不足，“运算能力”是考试说明要求的第一能力，甚至于常见的运算技巧如“换元”“分式最值”等必须不断强化，我个人感觉“运算”的强化必须渗透于平时不间断！如2008年山东文22题，今年反复让学生做了三遍！结果今年理科22题有在第2问考察了几乎一样的运算问题！除了纯运算，很多学生想不到另通过换元简化运算，也是运算技巧不足的表现！当然对分式问题的运算其实平时学生应该早就暴露出来了，因为往往学生只会求导直接算，很少考虑化简，换元等!估计在这点高考是会继续的！A B C x 解法一:（1）如图,由题意知ACBC,其中当时，y=0.065,所以k=9所以y表示成x的函数为（2）,令得,所以,即,当时, ,即所以函数为单调减函数,当时, ,即所以函数为单调增函数.所以当时, 即当C点到城A的距离为时, 函数有最小值.解法二：（2）中,令则=，之后便是一马平川！解法三: （1）同上.（2）设,则,所以当且仅当即时取”=”.下面证明函数在(0,160)为减函数, 在(160,400)为增函数.利用定义，略！所以当m=160即时取”=”,函数y有最小值,可见，巧用“换元法”解决大问题，尤其是在山东考试说明要求的第一能力就是“运算能力”！可以对换元法说：“冰雪不语寒夜的你难隐藏的光彩！”品味二（2009山东理科22）设椭圆E: （a,b>0）过M（2，） ，N(,1)两点，O为坐标原点，（I）求椭圆E的方程；（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。分析:本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法,能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系.应该说这道题是考前我认为的必考题！我在考前多次与同学们分析：今年解析集合大题很可能形式上是“园与椭圆”理由：解析几何只有“椭圆与抛物线”是要求掌握！而2008已经考察了“抛物线”！至于为甚麽会将圆交汇，原因之一“考试说明”最后一句“通过解析几何理解数形结合思想”而圆与向量是数形结合的绝好载体！原因之二青岛一摸理科21题给我们一种强烈的预感！由于考前多次强调圆的处理方式与椭圆不同，相信学生会在此题受益，只是可惜这是22题，很多学生时间不多了！尽管答案未给出，实际上最后一问在求是充分利用圆及等条件结合“射影定理”很简单就能算出！说明了圆的问题尽量用“数形结合”！可以说今年的压轴题是“意料之中”！可以说圆就是“运算”之王，如果运用圆的“数形结合”运算较灵活；若将圆当成椭圆则成为代数运算量较大！解: （2）中求（法一）, 当时因为所以,所以,所以当且仅当时取”=”. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当时,. 当AB的斜率不存在时, 两个交点为或,所以此时,综上, |AB |的取值范围为即: （2）（法二）由于题目中“使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且”，故可以先通过特殊情况（直线斜率不存在时候）将圆的方程先解出，利用此时直线与圆的交点分别为（r,r）,(r,-r)即为A,B两点，由于，故由圆的数形结合知：，可迅速解出，之后在明确圆的情况下，再证明对于一般情况下是否能满足：1直线与椭圆有两个交点，2是。这两点在明确了圆的方程之后不难“验证”！这种做法优势在于“早早明确了目标”，而且结合后面求的范围，故此圆必须存在，因此即使“算”不出来也应该“编上”，继续往下做！再求是如果巧用“圆”的“数形结合”特性，也会是问题得到大大化简！通过题目不难发现，设直线与圆相切于T点，在直角三角形OAB中，,设，由射影定理知，又。可以解得下面求范围应该较法一简单不少！此题充分体现出“巧妙换元”的巨大美丽！说明“圆”与“椭圆”处理方式的区别，圆是“数形结合的精灵”，椭圆是体现“代数方法（坐标）研究几何问题的载体！”两者在高考考察是有明确体现的！因为从平时来看，多数学生对于“圆的数形结合”认识不够，更对“考试说明”没有分析，应该说在考前重点强调了“圆与椭圆”的问题，如果此题不是最后一题，相信学生会有“更好”表现！应该说，对于圆的“数形结合”的特点，没有老师的引领和适当的重视与训练是很难掌握的，因为“数形结合”较椭圆中的方程处理更灵活，若处理不当又很容易运算复杂！品味三;（2008山东文22）已知曲线所围成的封闭图形的面积为，曲线的内切圆半径为记为以曲线与坐标轴的交点为顶点的椭圆（）求椭圆的标准方程；（）设是过椭圆中心的任意弦，是线段的垂直平分线是上异于椭圆中心的点（1）若（为坐标原点），当点在椭圆上运动时，求点的轨迹方程；（2）若是与椭圆的交点，求的面积的最小值解：（）（2）当存在且时，由（1）得，由解得，所以，解法一：由于，当且仅当时等号成立，即时等号成立，此时面积的最小值是当，当不存在时，综上所述，的面积的最小值为解法二：由于 ，令则，此题转化至二次函数最值问题。此时面积的最小值是当，当不存在时，综上述，的面积的最小值为分析：此题中的第二问中涉及的分式最值运算，甚至于在2009山东理科21题出现的类型，这样的题目，考察方式非常常见！可以说是极好的考察运算的载体！其中涉及“换元”，“化简”等技巧，以及“转化化归”等思想！可以说运算能力包含了数学的多种思想方法技巧，绝非一日之功，必须不断强化训练！更深刻的美味（2007山东高考理科22）设函数，其中（）当时，判断函数在定义域上的单调性；（）求函数的极值点；（）证明对任意的正整数，不等式都成立解：（III） 当时，令则在上恒正，在上单调递增，当时，恒有.即当时，有，对任意正整数，取得最深刻的美味已知函数求证：对于大于1的任意正整数解：（法一）首先：当a=1时，易证在上为增函数，当故此法需要较强的构造思想，并且涉及利用函数证明不等关系问题！但是构造的“思维”难度较大，并且很多学生会问：“为甚麽？怎麽能想到？”往往老师很难回答！（法二）神奇“换元”，下面通过“数学归纳法”来体现“换元”的迷人芬芳！（3） n=2,易证，在此略！（4） n=k,假设则当n=k+1时，=，下面证明下面展开精彩换元（相比较法一，法二的换元是明确的，顺理成章的！可见归纳法从侧面化简了问题！）方式一：，以下涉及极限问题！如何处理呢？巧用换元！方式二：故此题充分展示了“换元”的神奇魅力，通过如何“换元”顺利解决！六， 苦肉计-易错集锦这是一摸考试前的易错集锦1（知识点）复数中0在虚轴上！正态分布中的大小与图象的矮胖，瘦高的关系？命题否定与否命题！向量夹角范围及夹角问题，零向量问题，优化方案112页例2及示例连接！线面角的向量求法！等比数列讨论，数列讨论！及迭加，迭乘公式！抛物线（非标准）的方程如：！圆锥曲线中K是否存在，判别式大于零，联立后二次方程系数是否可能为零！函数定义域遗漏（尤其是真数大于0）！导数等于0与极值点问题！零点存在定理0只能判断存在零点不能确定零点个数！诱导公式！二项式定理小心通项中r对应是第r+1项！直方图的中纵坐标是频率/组距！了解排列组合：重视分类讨论思想，不要遗漏！分布列概率和为1，其中最后一个概率易错！数列最值如求：的最大值！统计的诸多概念如数据的方差，标准差如何求！二项分布的识别！互斥，独立，和事件，积事件，商事件（条件概率），几何概型等！概率为零一定是不可能事件？概率为1一定是必然事件？换元法不改变函数值域，奇偶性，定义域，单调性，周期，对称，解的个数等都可能改变如(2007高三期中19题：已知f(x)=sin(x+)，若方程3f(x)2-f(x)+m=0在x内有两个不同的解，求m的范围，mR。（此题极易错）！2 (规范)分布列必须先求概率！求概率应有步骤有公式再算数，否则一旦算错0分！函数问题先求定义域！不等式的解集必须用集合或区间！三角函数单调区间后的！数列中！立体几何建系必须描述并加（如图二字）！三角函数注意角的范围！解析几何注意挖点！错位相减的过程必须表达详细！特别注意：数学是逻辑推理，重要得分点必须通过列式体现，只要式子列对结果分就不会扣很多，否则很容易得0分！3（审题）这是大考最重要的前提，必须每个字都要看清，条件多时应记下来！如：不正确的是；恰；选择题要审视每一个条件尤其是选项，其中选项D不能忽视。填空题是相对容易丢分的地方，一定要每个字的阅读，最好审两边，算完可以检验的要快速检验一下（一般用特值，不是检查），而且填空题答案的形式要求严格，必须符合题目要求！如直线方程的形式，三角函数单调区间后的！数列中！大题中概率用应题的审题很重要！最好两遍审题，并随时关注运算结果结合经验判断是否合理！当然很多时候我们跳跃作题不等于放弃，回来再做就是再审一遍题并且心理平静了些，结果就有可能拿下，说明审题很重要，一字不放。当然相信一些“小条件”我们已经很重视了，如：a没看见！某条件（a>0）可能很早给出很晚才用；或很晚给出由于过于注重前面很多条件而忽略它。4（运算）运算失分仅次于审题，是第二杀手！选择题注意别算完大吉，看看选项，有时选项会帮助你发现问题，因此选择题往往用特值，排除，代入等方法更快更准确。填空题一错全错不如不做！因此算完后适当验证很有用。如答案(1,4),是否可以代入2验证！大题往往第一问结果会影响后面，有时对结果很“别扭”的时候，要再审题看看前面是否有误，很多运算问题是由审题造成的！ 其实错误就是我们的宝贝母亲，要善于热爱错误，总结错误，坚持从错误中获得更多！换个角度，当初的错误就是“苦肉计“！