要教会学生多角度地认识数学公式.doc

要教会学生多角度地认识数学公式    “公式”是数学的重要组成部分，公式教学对训练思维、培养能力有着重要的作用，这也是显见的事实。本文着重谈一下在公式教学中引导学生多角度地“认识”公式，以深化知识与技能，渗透思想方法，提高数学素养的一些做法，供同行参考。    1用函数观点认识公式    公式教学中引导学生分析公式中各量之间的制约关系，能帮助学生建立起函数观念，形成函数思想。如讲等差数列的通项公式a,n=a,1+(n-1)d时，首先通过特例由已知和d，分别对变化着的n，求a,n，使学生感受到a,n与n之间的函数关系；再让学生作出该数列的图象（根据通项公式）：一些间断着的点构成的图形，使学生从直观上认识数列这种特殊函数；进而让学生讨论这种函数的单调性（d0时递增，d0时递减，d=0时为常数列），从而进一步地深化对等差数列的认识。    2用方程观点认识公式    公式是反映量与量之间关系的等式，因此，对渗透方程思想有很重要的作用。如果说上文中的函数观点反映的是量与量之间的依存关系、主次关系的话，那么，如果将其中的变量所处地位完全平等地对待，这就是一种相互的依赖关系了，此即方程的观点。比如，对异面直线上两点间的距离公式（见立体几何（必修）P42）：    ，狭隘地看，它是用于求异面直线上两点之间的距离的，但当我们用方程观点加以认识时，就可以看到，这个公式反映了两条异面直线间的距离d、所成角、m、n及EF之间的关系，在这些量中只要知道其中四个，就可以求出第五个。如果有了这种认识，此公式的应用功能就大大地增强了：可以用来求异面直线间的距离、夹角，还可用于求二面角。又如，用方程思想认识锥体体积公式，就可将其用于求点到平面的距离、直线到平面的距离和两平行平面间的距离了，这就是等体积法。    3用基本量观点认识公式    得到公式后，要引导学生分析公式中所含变量的个数，从而确定自由变量的个数，渗透基本量思想。如讲过等差数列的通项公式、求和公式后，让学生总结：这些公式中出现了几个量？(a,1,d,a,nn,s,n)；它们由哪几个关系联系？    ；这些量中有几个可自由变化？（三个）。从而了解到：只要知道其中任意三个就可以求另外两个了。再如，讲“万能公式”时，为了说明“为什么要学习万能公式？万能公式为什么有那么多的应用功能？”要引导学生对几个公式进行“基本量分析”：万能公式能将角的各种三角函数统一地用tg/2表示出来，这样就可用"tg/2"这个基本量将其“同化”，实质起到了简单化和代数化的功效。    4用整体观点认识公式    固然数学公式反映的是量与量之间的关系，但在某些特殊情境下也可体现出某些整体量所具有的性质，这正好为渗透整体思想提供了契机。如公式“sin2x+cos2x=1”不仅反映了sinx、cosx之间的关系，由于“平方和”的特征，可使我们想到它们的和（差）与积的关系：（sinx±cosx）2=1±2sinxcosx。这是一个很有用的公式，如1990年高考（理）第19题：求y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值，用此关系，令sinx+cosx=t，则    认识公式是非常重要的。    5用辩证观点认识公式    现实世界中，正与反、数与形、虚与实、分与合、构成了一对对矛盾。辩证法认为，这些矛盾的双方既是互相对立的，又是相互联系的，还可以相互转化。数学公式也是如此。如公式，y表示点（X，X2）到P，1（3，2）和P，2（0，1）的距离之差，而点（X，X2）在抛物线y=X2上，用图形易于解决）。这就要求我们在公式教学中注意从正与反、形与数等方面对公式进行辩证的认识，只有这样，才能有效地培养思维的灵活性，增强思维的辩证性。1994年文科高考最后一题：数列a,n对任意自然数n均满足是常数，命题得证。原命题求和，逆命题作差，是何等自然的思路，但高考中本题得分率却低得惊人，这不能不说是公式教学的失误。公式的灵活运用固然重要，而公式的发现过程和透彻的认识也必不可少，这一教训是值得吸取的。    6用运动观点认识公式    公式不是静止地、机械地反映其中各量之间的关系的，我们要让学生用运动、变化的观点来认识公式，使公式变得“活”起来。如复数乘法运算公式        另，若公共点为A或B时均不满足。    另外，用分类观点认识公式（如等比数列前n项和公式）、从应用功能的角度认识公式（即公式的主要作用）等均是公式教学中应重视的，就不赘述了。总之，“引导学生认识公式”作为公式教学的组成部分，既是深化知识的过程，也是形成能力的过程，是理论与应用的中介和桥梁，应引起足够的重视。