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第六章 静定结构的位移计算,61 概述,一、结构的位移,结构上各点位置产生的变化称为位移,角位移,线位移,绝对位移,A点线位移,A点水平位移,A点竖向位移,A截面转角,第六章 静定结构的位移计算61 概述,一、结构的位移,结构上各点位置产生的变化称为位移,相对线位移,相对角位移,相对位移,一、结构的位移,结构上各点位置产生的变化称为位移,线位移，角位移，相对线位移、相对角位移等统称广义位移,第六章 静定结构的位移计算61 概述,二、结构位移产生的原因,1、荷载作用,2、温度改变和材料胀缩,3、支座移动和制造误差,第六章 静定结构的位移计算61 概述,三、位移计算的目的,1、刚度要求,2、超静定结构计算需求,3、施工要求,第六章 静定结构的位移计算61 概述,第六章 静定结构的位移计算,6-2 变形体虚功原理及位移计算的一般表达式,回顾：,实功：广义力在自身所产生的位移上所作的功,功：广义力广义位移,虚功：广义力与广义位移无关时所作的功,第六章 静定结构的位移计算6-2 变形体虚功原理及位移计算的一般表达式,刚体虚功原理,原理：对于具有理想约束的刚体体系，体系所作用的任意力系，在可能位移上受作的虚功总和为零，是刚体上所受力系平衡的必要和充分条件。,一个力系平衡的充分必要条件是:对 任意协调位移,虚功方程成立。,1、单位虚位移法,“平衡”实际存在“位移”虚设,单位虚位移法是利用虚功方程，将求解静力平衡问题转化为求解几何问题。,第六章 静定结构的位移计算6-2 变形体虚功原理及位移计算的一般表达式,刚体虚功原理,原理：对于具有理想约束的刚体体系，体系所作用的任意力系，在可能位移上受作的虚功总和为零，是刚体上所受力系平衡的必要和充分条件。,一个位移是协调的充分必要条件是:对 任意平衡力系,虚功方程成立。,“位移”实际存在“荷载”虚设,单位虚荷载法是利用虚功原理将求解几何问题转化为求解静力平衡问题。,2、单位虚荷载法,一、变形体虚功原理,对于刚体，由于变形等于零，内力在刚体上不做功 i=0，故e=0，所以，刚体虚功原理是变形体虚功原理的特例。,第六章 静定结构的位移计算6-2 变形体虚功原理及位移计算的一般表达式,原理：设变形体在力系作用下处于平衡状态，又设变形体由于其他原因产生符合约束条件的微小连续变形，则外力在位移上所做虚功之和恒等于各个微段的应力合力（内力）所做虚功之和。,第六章 静定结构的位移计算6-2 变形体虚功原理及位移计算的一般表达式,二、变形体虚功原理的应用位移计算的一般表达式,位移状态（实际）,平衡状态（虚设）,外力虚功之和：,求K点沿 方向位移,第六章 静定结构的位移计算6-2 变形体虚功原理及位移计算的一般表达式,二、变形体虚功原理的应用位移计算的一般表达式,位移状态（实际）,平衡状态（虚设）,二、变形体虚功原理的应用位移计算的一般表达式,内力虚功之和：,第六章 静定结构的位移计算6-2 变形体虚功原理及位移计算的一般表达式,二、变形体虚功原理的应用位移计算的一般表达式,由虚功原理：,为单位荷载产生的内力和反力。,第六章 静定结构的位移计算6-2 变形体虚功原理及位移计算的一般表达式,二、变形体虚功原理的应用位移计算的一般表达式,式(b)中的积分是对内力为连续函数段积分；求和是对不同杆件求和。,式（b）是位移计算的一般表达式，由于P*k=1,所以该法称为单位虚荷载法。,第六章 静定结构的位移计算6-2 变形体虚功原理及位移计算的一般表达式,二、变形体虚功原理的应用位移计算的一般表达式,第六章 静定结构的位移计算6-2 变形体虚功原理及位移计算的一般表达式,注意：,（3）位移状态与力状态完全无关。,（2）均为可能状态，即位移应满足变形协调条件；力状态应满足平衡条件。,（1）属同一体系。,式(b)考虑两种状态,二、变形体虚功原理的应用位移计算的一般表达式,（5）可计算绝对位移和相对位移。,式（b）仅要求结构为小变形，因此：,（2）适合于静定结构和超静定结构；,（3）适合于弹性材料和非弹性材料；,（4）适合于荷载作用和非荷载因素作用；,第六章 静定结构的位移计算6-2 变形体虚功原理及位移计算的一般表达式,（1）适合于各类变形；,（3）根据不同的外界作用分析应变；,（2）由平衡条件求内力和反力；,三、位移计算的一般步骤,（1）沿所求位移方向施加单位（广义）荷载；,四、单位虚荷载法的施加方法,（1）求线位移,第六章 静定结构的位移计算6-2 变形体虚功原理及位移计算的一般表达式,（4）由式（b）计算。,（4）求相对转角,四、单位虚荷载法的施加方法（246页 表61）,（2）求角位移,（3）求相对位移,第六章 静定结构的位移计算6-2 变形体虚功原理及位移计算的一般表达式,例1：求图示桁架由于BC杆伸长0.1a 而引起的 D点水平位移,第六章 静定结构的位移计算6-2 变形体虚功原理及位移计算的一般表达式,第六章 静定结构的位移计算,6-3 荷载作用下的位移计算,在荷载作用下,对于线弹性材料=E,E、G材料杨氏弹性模量与剪切弹性模量,A、I截面面积与惯性矩,由(b)式得：,第六章 静定结构的位移计算6-3 荷载作用下的位移计算,(c)式中正负号规定：内力方向一致者，积分结果取正号，反之取负号。结果为正说明实际位移方向与假设方向一致，反之为负。,第六章 静定结构的位移计算,例 2：已知各杆EA为常数，求B点竖向位移,6-4 举例与讨论,各杆只有轴力作用，故（c）式为：,计算各杆的,第六章 静定结构的位移计算6-4 举例与讨论,例 3：已知EI、GA为常数，求C点竖向位移,例 3：已知EI、GA为常数，求C点竖向位移,设截面为矩形,第六章 静定结构的位移计算6-4 举例与讨论,例 3：已知EI、GA为常数，求C点竖向位移,结论：对于浅梁可忽略剪切变形作用;,对于深梁和短梁，不可忽略剪切变形作用。,第六章 静定结构的位移计算6-4 举例与讨论,例 6：求图示结构B点水平位移，EI、GA、EA为常数,轴向变形与剪切变形的影响仍与（h/R)2 有关。,第六章 静定结构的位移计算6-4 举例与讨论,小结：,位移计算的一般公式：,线弹性材料在荷载作用下的位移计算公式：,第六章 静定结构的位移计算6-4 举例与讨论,第六章 静定结构的位移计算,6-5 图乘法,（3）内力图Mp、MK中至少有一个是直线,目的：用弯矩图面积乘积代替积分,条件：,（1）各杆为等直杆,（2）各杆截面物理参数（EI、EA、GA）为常数,第六章 静定结构的位移计算6-5 图乘法,(截面物理参数为常数),(对于直杆),(内力图是直线),图乘法求位移公式为:,图乘法的适用条件是什么?,公式（d）的意义在于：当两个内力图形中有一条为直线时，其积为结果为曲线图形积分段内的面积与其形心相对应的直线图形中纵标的乘积。,这种利用内力图相乘代替积分的方法称为图乘法。,如果两个图形均为直线，则可取其中任一图形面积和另一图形纵距相乘；,如果两个图形都为曲线，则不能用图乘法。,第六章 静定结构的位移计算6-5 图乘法,利用图乘法应注意：,（1）要满足3个条件；,（2）形心的纵距需取自直线图形；,（3）正、负号规定：两个内力图在基线同侧时，乘积为正。,第六章 静定结构的位移计算6-5 图乘法,例 1 计算图示结构 C 点转角,第六章 静定结构的位移计算6-5 图乘法,几种特殊图形的形心位置见175页,二次抛物线,曲线顶点指切线斜率等于零的点。,例 2：计算图示结构 B 点转角。,MP,Mk,第六章 静定结构的位移计算6-5 图乘法,对于两个图形都是梯形的情况（同侧）,当内力图是由迭加得到时，图乘也可用迭加法。,第六章 静定结构的位移计算6-5 图乘法,例 4 计算图示结构 B 点转角,第六章 静定结构的位移计算6-5 图乘法,一、温度改变时的位移计算,位移计算的一般公式：,第六章 静定结构的位移计算,6-6 非荷载因素作用时的位移计算,在荷载作用下：,荷载位移公式,一、温度改变时的位移计算,位移计算的一般公式：,对于静定结构，温度改变并不引起内力，变形和位移是材料自由膨胀、收缩的结果。,由于温度改变：,第六章 静定结构的位移计算6-6 非荷载因素作用时的位移计算,温度位移公式,一、温度改变时的位移计算,本节讨论：,第六章 静定结构的位移计算6-6 非荷载因素作用时的位移计算,内外温差：,轴线伸长：,图示结构，设外侧温度升高 t1，内侧温度升高 t2，,设温度沿杆件截面厚度为线性分布。,轴线,轴线,轴线温度：,转角：,错动：,第六章 静定结构的位移计算6-6 非荷载因素作用时的位移计算,轴线,轴线,第六章 静定结构的位移计算6-6 非荷载因素作用时的位移计算,注：（1）SNK、SMK分别为单位力引起的轴力图和弯矩图的面积；,（2）正、负号规定：虚内力产生的变形与温度变形一致时为正，反之为负；,（3）求温度变化引起的位移时，不能忽略轴力影响。,第六章 静定结构的位移计算6-6 非荷载因素作用时的位移计算,例 1：计算图示结构C点竖向位移,第六章 静定结构的位移计算6-6 非荷载因素作用时的位移计算,例3：制造误差引起的位移计算,每个上弦杆加长8mm,求由此引起的A点竖向位移。,第六章 静定结构的位移计算6-6 非荷载因素作用时的位移计算,第六章 静定结构的位移计算,6-8 互等定理,变形体虚功原理适合各种材料和各种作用。,互等定理的应用条件：,（1）线弹性；,（2）小变形。,互等定理由变形体虚功原理得到。,原理：设变形体在力系作用下处于平衡状态，又设变形体由于其他原因产生符合约束条件的微小连续变形，则外力在位移上所做虚功之和恒等于各个微段的应力合力（内力）所做虚功之和。,第六章 静定结构的位移计算6-8 互等定理,取同一体系的两种状态：,1、功的互等定理,状态（1）,状态（2）,第 I 状态,第 状态,力系用,表示,位移用,表示,力系用,表示,位移用,表示,1、功的互等定理,令第一状态力系在第二状态位移上作虚功：,令第二状态力系在第一状态位移上作虚功：,对于线弹性材料：,得：,第 I 状态,第 状态,外力虚功=,=内力虚功=,外力虚功=,=内力虚功=,由W1=W 2,先加广义力P1后再加广义力P2,先加广义力P2后再加广义力P1,另一种证明方法：,第六章 静定结构的位移计算6-8 互等定理,1、功的互等定理,在任一线弹性变形体系中，I 状态的外力在 II 状态位移上所做虚功之和，恒等于 II 状态外力在 I 状态位移上所做虚功之和。,功的互等定理,第 I 状态,第 状态,功的互等定理是其它几个互等定理的基础。,功的互等定理中，外力指广义力，位移指广义位移。,2、位移互等定理,由功的互等定理：,设状态（2）中只有力 P/2，,设状态（1）中只有力 P1/，,由此产生的位移为/11、/21。,由此产生的位移为/12、/22。,第六章 静定结构的位移计算6-8 互等定理,2、位移互等定理,由功的互等定理：,在线弹性体系中，位移(ij)与力(Pj)成正比。,为 Pj=1 时产生的位移，,令,单位广义力 P2=1引起的与广义力 P1 相对应的位移12，在数值上等于单位广义力 P1=1引起的与广义力 P2 相对应的位移21。-位移互等定理,单位广义力是量纲为一的量；,互等不仅是指数值相等，且量纲也相同。,如图示长 l，EI 为常数的简支梁,数值、量纲都相等,单位广义力 P2=1引起的与广义力 P1 相对应的位移12，在数值上等于单位广义力 P1=1引起的与广义力 P2 相对应的位移21。-位移互等定理,定理中的位移泛指广义位移;,状态（1）中只有支座位移/1，,3、反力互等定理,由功的互等定理：,由此产生的支座反力为R/11、R/21。,状态（2）中只有支座位移/2，,由此产生的支座反力为R/12、R/22。,式中Rij 为由支座 j 处产生位移j 而在支座 I处引起的支座反力。,第六章 静定结构的位移计算6-8 互等定理,3、反力互等定理,由功的互等定理：,带入（b）式得：,令,rij 为由支座 j 处产生位移j=1 而在支座 I处引起的支座反力。,支座 1 发生单位广义位移所引起的支座2中的反力恒等于支座 2 发生单位广义位移时所引起的支座1中的反力。-反力互等定理,定理中的反力泛指广义力。,3、反力互等定理,支座 1 发生单位广义位移所引起的支座2中的反力恒等于支座 2 发生单位广义位移时所引起的支座1中的反力。-反力互等定理,数值、量纲都相等,第六章 静定结构的位移计算6-8 互等定理,4、反力、位移互等定理,由功的互等定理：,由此产生反力r11 和 2 点位移21。,状态（2）中只有力P2=1，,由此产生反力r12和 2 点位移22。,状态（1）中只有支座位移1=1，,单位广义力引起的结构中某支座的反力等于该支座发生单位广义位移所引起的单位广义力作用点沿其方向的位移，但符号相反。-反力位移互等定理,