小学高级数学几何直观教学的实践研究.doc

小学高年级数学教学中培养学生几何直观能力的方法林 纯 涌义务教育数学课程标准（2011年版）指出：“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。”小学高年级数学教学中培养学生的几何直观能力，要先从直观教学开始，引导学生学会用画图的策略分析题意，解决简单的实际问题，逐步上升到能将直观图与数学语言、符号语言进行合情转换，并逐步在解决数学问题的过程中渗透数形结合思想，感悟数与形、形与数之间的转化。随着年级的升高，几何直观的层次需要逐级提升，从最初侧重于实物直观，逐步过渡到替代物直观、图形直观、符号直观。1、重视直观感知，突出画图策略的教学。 在小学数学教学中，要重视直观化的教学手段，通过画图（线段图、面积图、示意图等）将复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路。例如：教学计算题：1+3+5+7+99=(  )时，可以设计两个教学层次：第一层次，鼓励学生尝试解答，学生一般会按照等差数列求和的方法进行计算；第二层次，教师介绍画正方形点阵图表示题目的意思，并引导学生看着图，寻找算式与点阵图之间的关系，从中发现规律，得出1+3+5+7+99=502=2500。最后，回顾解题过程，使学生体会到，解决复杂问题时，可以换个思路，借助直观图，把复杂的数学问题变得简单，从而找到解决问题的方法。2、重视直观图形与数学符号的合情转换。人教版六年级（下册）正比例的意义，在学生认识正比例的意义后，教材安排了正比例图像的初步认识，借助直观的图像，帮助学生进一步认识成正比例量的变化规律，为以后的学习作适当孕伏。教学时，根据例1表中的数据，先引导学生用“描点法”画出一幅表示正比例关系的图像。在描点的过程中，引导学生把所描出的点与表中的数据相对照，让学生初步理解图像上各点所表示的实际意义，即每个点都表示路程和时间的一组相对应的数值。再通过观察，使学生发现所描出的这些点正好在一条直线上，清楚地认识正比例图像的特点，并借助直观的图像进一步理解两种量同时扩大或缩小的变化规律，理解正比例的意义。画出图像后，让学生根据图像来判断行驶路程和时间，进一步认识图像上任意一点所表示的实际意义，初步体会正比例图像的实际应用。通过正比例图像与正比例关系式的转换，加深对正比例意义的理解，为今后进一步学习函数知识打下初步的基础。3、将几何直观能力的培养自觉融入相应的教学过程之中。 在教学中，教师可以根据教学内容，适当安排几何直观的教学。例如，教学“平均数”时，可以利用条形统计图，直观理解移多补少的方法，理解平均数的意义。高年级可以补充一些关于“平均数”的问题，如，小明前三次数学考试的平均成绩是93分，第四次数学考试的成绩比四次数学考试的平均成绩高3分，小明第四次数学考试的成绩是多少分？组织教学时，教师可以根据平均数的意义，通过画面积图帮助学生学会用移多补少的方法解决一些复杂的平均问题，突出直观图在解决数学问题中的作用。 根据平均数的意义，阴影部分面积相等，所以第四次考试成绩是：3×1÷31（分），931397（分）。当然，在进行几何直观的教学中，离不开合情推理和演绎推理。在利用直观图解决数学问题时，合情推理有助于探索解决问题的思路，发现结论；演绎推理用于证明结论的正确性。几何直观的培养应伴随推理能力的发展，贯穿在整个小学数学学习过程中。4、识图中感知几何直观。几何直观是借助图形对事物的认识，那么对图形的学习与认识以及运用图形的意识和能力就是几何直观的基础了。教学中要关注学生的基本生活经验和生活经历，注重引导学生把生活中对图形的感受与有关知识建立联系。如在教学线段、射线、直线一课时，通过展示科学家用激光器发送到月球的一束激光图片，视觉上给学生直观的认识，引出射线是一条线段将它的一端无限地延长所形成的图形。让学生很容易发现射线的特点，尤其射线是一个理想化的概念，几何直观的感受凸显的更加重要。日常教学中要多采用学生喜爱的“看一看、摆一摆、折一折、剪一剪、拼一拼、量一量、画一画”等具体、实际的活动方式，引导学生通过亲自触摸、观察、测量、制作和实验，把视觉、听觉、触觉、动觉等协同起来，强有力地促进心理活动的内化，从而使学生掌握图形特征，更好地感知几何直观。5、画图中培养几何直观。几何直观在本质上是一种通过图形所展开的想象能力，通过画图可以将复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路。因此，在小学数学教学中激发学生的画图兴趣，促进几何直观能力的发展，是十分重要的。数学兴趣是推动学生不懈追求的一种内在驱动力，而画图兴趣则是几何直观教学的载体。教学中要善于启发和创设情境，激发学生的画图兴趣，培养学生的几何直观能力。如在教学二年级几倍一课时，创设游玩动物园的情景：动物园里有6头小狮子，2头大狮子，小狮子的头数是大狮子的几倍？让学生尝试用自己喜欢的图形画一画，来表示6是2的几倍？然后再汇报展示，如下：通过画图，学生很直观地看出6里面有3个2，也就是说6是2的3倍，这样为抽象的倍的概念建立了具体形象的表象，理解起来轻松很多，以后在学习较复杂的“和倍、差倍”问题时，学生会很容易想到画直观图帮助解决问题。课上通过用自己喜欢的方式画图，激发了孩子画图的兴趣，并抓住教学契机让学生展示自己的作品，说出自己的想法，及时对学生进行表扬鼓励，激发学生作图的热情。在日常教学中，我还采取了一系列的措施，来激发学生的画图兴趣：比如上课时让学生在黑板上画图，然后师生共同评析，看哪个同学画得好，优点在哪里，存在哪些毛病；印发常见的基本直观图给学生，让学生反复观摩，然后再画出来；课外组织学生进行“画直观图比赛”。这些措施激发了学生的学习兴趣，使学生认识到规范作图的重要性，增强了学生的作图能力。在日常的教学中，要帮助学生从小养成良好的画图习惯。首先，要通过多种途径和方式使学生真正体会画图对理解概念、寻求解决思路带来的益处。其次，要求学生解决问题时能画图的尽量画图，将相对抽象的思考对象“图形化”，尽量把数学的过程变得直观，直观了就容易展开形象思维。再次，要让学生规范画图，能准确直观的表达题意。例如关于求面积的问题，关键要使学生想到画图、正确画图、用图分析和体验画图解决问题的好处。首先向学生呈现例题：一块正方形试验田，如果长和宽都增加5米，面积将比原来增加875平方米。原来试验田的面积是多少平方米？面对比较难理解的数学问题，引导学生想到用画图的方法来解决。接着鼓励学生尝试画示意图，让学生的思维集中于用画图来表达题意，并通过师生交流，进一步完善画出的示意图（如下图所示：注意边长比例，增加的长度用虚线表示，标出数据），使学生感受到画图能清楚地理解题意。5米 (875-5×5)÷2÷5 =(875-25) ÷(2×5) ? b =850÷10 =85（米） 85×85=7225（平方米） 5米 a c 答：原来试验田面积是7225平方米。然后借助示意图分析数量关系，明确增加面积为a、b、c三部分面积之和，并且a与b面积相等，再列式解答。最后回顾整个解题的过程，突出示意图对解决有关面积问题的重要作用，感受画图策略的价值。画图可以通过图形的直观性质来阐明数之间的联系，将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，实现数学问题与图形之间的互相转化，相互渗透，不仅使解题简捷明了，还开拓解题思路，让学生养成画图习惯，不但可以帮助学生发现并理解数学结论，而且有利于掌握数学发现的方法，使数学从简约中走向丰富。6、数形结合中发展几何直观。华罗庚先生的谈谈与蜂房结构有关的数学问题一书中，有一首小词：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数无形时少直观，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事非；切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！”这首词形象生动、深刻地指明了“数形结合”思想的价值。其实质是把数学问题中的运算、数量关系等与几何图形与直观图像结合起来进行思考，从而使“数”与“形”各展其长，优势互补，相辅相成，使逻辑思维与形象思维完美地统一起来，从而顺利、有效地解决问题。小学数学教学中，应特别注重数形结合思想的渗透，从而更好地发展学生的几何直观能力。（1）在运算教学中，借助数射线将抽象的“数”直观形象化，有助于理解运算，将运算直观形象化。 例如： “加法”就是在数射线上继续向右数；“减法”就是在数射线上先找到“被减数”，然后再向左数；“乘法”就是在数射线上几个几个地向右数；“除法”就是在数射线上先找到“被除数”，然后向左几个几个地数，如果恰好数到“0”，就是除尽，数了几次，商就是几，当不能恰好数到“0”，就产生了余数，数射线是理解“有余数除法”的形象化载体。（2）在解决问题教学中，借助线段图将抽象的数量关系直观形象化，有助于理解抽象的数量关系。例如教学四年级第二学期解决问题（2）中“增加几倍、增加到几倍”一课时，探究：小胖带了3个苹果，把小胖的苹果增加到3倍是几个苹果？引导学生借助线段图来分析数量关系，明确增加到3倍就是原数的3倍，再列式解答，最后结合算式和线段图说说解题思路。 列式：3 × 3 = 9（个） 答：把小胖的苹果增加到3倍是9个苹果。（3）在分数及其运算的教学中，借助“面积模型”将抽象的思维过程直观形象化，有助于对分数意义的透彻理解，既知其然又知其所以然。如在四年级分数的大小比较一课中，充分利用分数的直观图（图1），将数与形结合起来，引导学生体会比较分子相同的分数的大小时，分母小的分数就大；在分数的加减计算一课中，借助分数直观图（图2）理解同分母分数相加，分母不变，分子相加，从而更直观的理解分数的运算。 图1 图2利用数形结合的方法，将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，使学生表象清晰，记忆深刻，是形象思维与抽象思维协同应用的一种过程，为发展几何直观开辟了条重要的途径。7、运用模型和多媒体信息技术丰富几何直观。借助于直观形象模型理解抽象的数学概念以及抽象的数量关系是小学生学习数学的重要方法。模型可以让学生直接接触到几何的知识，直观而有效。如在教学“圆柱的认识”时，直接出示薯片包装盒、水杯等实物，给学生造成强烈的视觉冲击，圆柱的基本特征映入眼帘，一览无遗。多媒体辅助教学是运用现代信息技术与教学有机结合的一种教学方式，它可以把抽象的知识通过形、声、情、意形象化，让学生直观感知和理解数学问题，有利于优化学生的认知过程，培养学生的几何直观能力。因此，教学中要深入浅出、化难为易、运用多媒体给学生提供一些具体的、生动的直观材料做支柱。如在“认识直线”教学中，通过多媒体演示，直线是将一条线段的两端无线延长所形成的图形。这样利用多媒体化虚为实、化抽象为具体、化模糊为清晰、化静态为动态的特殊功能为学生的学习提供了直观例证，充分调动了学生多种感官的协同参与，不仅给学生渗透了极限思想，而且丰富了学生的几何直观。总之，几何直观的培养应贯穿整个小学数学教学的全过程，通过对学生几何直观能力的培养，使学生学会数学的一种思考方式和学习方式，以促进学生能力的提升和数学素养的形成，让学生的几何直观能力从简约的图形中走向丰富的 数学思考。8、以数轴搭桥，沟通概念教学与几何直观之间的联系现代数学的特性之一是每个领域的之间的界限的划分不是特别的明显，某些问题的信息之间，某个知识块之间，代数与几何之间，几何直观使这些复杂多样的分类变得简单明了，在它们之间起着纽带的联络作用。数学家华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”。比如把自然数比喻成一条射线，都有一个起点，没有终点，可以无限延长。又如负数一课中，应引导学生从本质上理解正负数的意义，“0”在这起着举足轻重的作用。在教学中，我们可以先展示一个不完整的温度计（没有0的温度计），让学生在温度计上找出5和-5。学生找不出-5，发现温度计有问题，进而修改温度计，课件显示“0”。接着通过动态的温度计的演示，对于认识“0是正数和负数的分界点，既不是正数也不是负数”便水到渠成了。将温度用正负数的形式标在温度计时，借助温度计让学生直观形象地感知正负数在温度计上相应的位置，为抽象认识数轴奠定基础。接着，把直观的温度计逐渐转变成半直观半抽象的数轴，建立了数轴的模型，帮助学生进一步理解负数的意义，为抽象认识数轴积累了丰富的表象。最后出示完整的数轴，由温度计演变为数轴，有具体的温度演变为一般的数。学生经历了从形象思维过渡到抽象思维的过程。利用数轴还可以比较正负数的大小，表示正数的点在原点的右边，要表示的数越大，这个点到原点的距离也就越远；表示负数的点在原点的左边，这个点到原点的距离越远，则这个负数就越小；0在数轴上是用原点来表示的。在认识负数以前，学生常常认为 “0”是最小的数，或者表示“没有”，现在再通过数轴来看数字“0”。就得重新认识它的地位和意义了，它不再是最小的数，更不能表示“没有”。因为0是最低温度吗? 0能表示没有温度吗?不是的，0只是正数和负数的分界点。我们利用数轴可以开阔解题思路，解决诸如表示点的位置，进行数的大小比较等问题。借助数轴这个几何图形来处理数的问题，它是沟通数与形的桥梁，是数与形的碰撞、联姻。体现了数形结合的数学思想方法。把数的概念和空间形式联系起来，不但缩短了知识间的距离，而且还减少记忆容量。数轴不但能将抽象的数直观形象化，而且有助于理解。9、巧用“面积图”，培养用“图形语言”来思考问题能力数学知识的教学有两条线：一条是明线，即数学知识；一条是暗线，即数学思想方法。利用数学思想进行教学和学习，才能真正实现数学能力的提高。乘法分配律是四年级数学教学的重点和难点，怎样才能上好这节课 。本节课的重点不是放在数学语言的表达上，而是应该把重点放在让学生解决一系列的“问题”，去完整地感知乘法分配律，主动建构乘法分配律。应该为学生提供充分例证，形成清晰表象。小学生认识事物带有很大的具体性和直观形象性，只有当其对准确而具体的材料感知到一定数量和一定程度，才能开始抽象思维。我尝试了以“面积图”为载体。出示了下图：bacbac学生比较容易得出阴影部分的面积+白色部分的面积，列式为a×c+b×c的方法或拼成的长方形的长（a+b）乘宽c，列式为（a+b）×c。其实这就是乘法分配律。通过这样的一个面积图，学生很直观形象地理解了乘法分配律。还可以解决实际生活中的实例如：王师傅在给墙壁贴瓷砖（如下图），他一共贴好了几块瓷砖呢？（用两种方法） 方法一：先算黄色的瓷砖共有多少块？再算红色的瓷砖贴了多少块？再把两个结果合并一起。列综合算式：4×3+6×330（块）方法二：先算一大行共有多少块？再算3大行一共有多少块？列式为：（4+6）×330（块）学生发现可以用等号把两种方法的算式连接起来。4×3+6×3（4+6）×3通过看图学生很容易找到解决问题的办法，对于理解乘法分配律就比较到位了。10、以“线段图”求解，理解抽象的数量关系线段图是理解抽象数量关系的形象化、视觉化的工具。借助“线段图”以形助教，使抽象的数量关系变得简明，把复杂的数学问题直观化。如在解决下面问题时，利用线段图学生更易于理解。“一列火车从甲地开往乙地，已经行驶了全程的，离中点还有60千米，甲、乙两地的路程有多少千米？”学生很容易找到对应的量60千米和对应的分率（）的对应关系。用除法求出单位“1”的量，即全程。11、用图形“说话”，有机渗透数学思维方法六年级学生学习函数思想是在已经掌握了很多的数量关系，如：单价、数量和总价；路程、时间和速度；工作总量、工作效率和工作时间的关系其实当这些数量关系中的一种量一定时，另外两种量在变化时就成了函数。当学生学习了“正、反比例关系”时，在直角坐标系上把具有这种关系的两种量表示出来，实际上就是正比例和反比例函数的图像了。小学阶段主要是渗透为主，借助于图像，让学生让更深入理解抽象的函数关系。当成正比例关系时，一个量增加，另一个量也随着增加，是一条经过原点的上升的直线；当成反比例关系时，一个量增加，另一个量反而减少。根据图像可以直观地看出两个量变化的极限状态，一个量趋于无穷，另一个量趋于零。在解决经典题“鸡兔同笼”的问题时，“鸡兔共8只，有22只腿，鸡兔各几只？”除了画图理解，先假设全是鸡，再在鸡的基础上添上腿，换成是兔（如图一）。还可以用“面积图”理解。利用长方形的面积公式计算组合图形的面积。（如图二）8个头2只腿22只腿（即总面积是22）4只腿图二图一“用图形说话”，用图形描述问题，用图形讨论问题，这是一种基本的数学素质。在思考数学问题的时候，能画图尽量画图，目的是把抽象的东西直观的表示出来，把数学本质的东西显现出来。在数学课堂教学中尝试通过引导学生用图形解释、理解、分析、记忆数学知识或现象的研究，探索出有效发展学生用“图形语言”来思考问题能力的方法，实际上就是几何直观在发挥优势。培养学生几何直观能力，有利于学生思维内涵的发展、品质的提升，有利于学生数学素养的培养，这正是我们数学教学着力追求的目标。借助几何直观进行教学，可以形象生动地展现问题的本质，有助于促进学生的数学理解，有机渗透数学思维方法的同时，提高学生的思维能力和解决问题的能力。12、几何直观可以帮助学生直观地理解数学。 以五上第三单元“平均数”教学为例，一般教师较为强调的是“总和÷个数平均数”来求出平均数，对于通过“移多补少”来得出平均数的策略强调不够，仅在平均数第一课时，平均数的概念教学时点到为止。然而在“平均数的应用”教学中，教材上呈现了这样的一题“（57+56+62+58+57）÷5”教材呈现的是以“56”为基准，将每一项多出的部分先相加再平均的方式得出平均数，学生很难理解这种方法到底简便在哪里，感觉上，计算数值虽然变小了，但是计算步骤增多，并且没有明确感知到这种方法的意义在哪里。这就是平均数“移多补少”渗透较少的原因。而移多补少的方法渗透仅仅停留在口头上是完全不够的，学生也是很难理解，到底是怎么一回事情，因此在教学中通过PPT条形统计图的呈现，直观的将移多补少的过程展示出来，这就是几何直观教学的最好体现。通过条形统计图的呈现，帮助学生找到基准，然后在基准数值的情况下进行移多补少。当然我认为这里找基准数的方法是多样的，可以找相对中间的一个数，同样也可以找最大值最小值，甚至是任意一个数，当学生能较为敏感的找出相对中间的数时，说明移多补少的思想已经在学生选择策略中得到了体现，而这一切都要归功于条形统计图的呈现。在教学到这一内容时，由于我事先考虑到了条形统计图的引入，因此思考在课件中呈现，但是在课件制作中发现，这是一个非常难处理的技术问题。首先要对学生的不同情况作出预设，还要能将直条进行切割，保证能够移多补少，这样的技术手段在课件制作中就难倒了我。经过思考，我决定放弃课件制作，将PPT上移多补少的过程，直接在黑板上以草图呈现，既节约了课件制作的时间，又帮助学生充分体会到几何直观的优势，帮助学生发现体验将复杂的数学问题用简单的图形表述的优势。经过黑板上草图的呈现，我任教的两个班级在本题教学环节上学生掌握的还是相对比较理想的，相关通过移多补少来求平均数的题目做的准确率也较高。运用几何直观应注意的问题：几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路和预测结果。苏霍姆林斯基在给教师的建议一书谈谈直观性问题中，写到物体的直观形象本身，也可能把学生的注意力吸引住一个相当长的时间，但是运用直观性的目的绝不是为了整节课地抓住学生的注意不放。在课堂上引进直观手段，倒是为了在教学的某一个阶段上使儿童摆脱形象，在思维上过渡到概括性的真理和规律性上去。因此，在教学中运用几何直观时应该注意一些问题，从而更好的发展学生的几何直观能力。首先，要适时运用几何直观。在教学中常常会遇到一些出乎预料的情况，就是直观教具以其某一个细节束缚住了学生的注意力，不仅没有帮助反而妨碍了学生去思考老师本来想引导他们去思考的抽象真理。几何直观应当使学生把注意力放在最主要、最本质的东西上去。其次，要适度运用几何直观。在运用几何直观时，必须考虑到怎样由具体过渡到抽象，直观手段在教学的哪一个环节上将是不再需要的，那时学生已经不应当把注意力放在直观手段上。几何直观只是在促进思维积极化的一定阶段上才是需要的。第三，要准确运用几何直观。在运用几何直观的实际教学中，许多学生往往由于画图不准确、讨论不全面、理解片面等原因导致出错，或有一定的误差干扰，失去数学问题原有的科学性与严密性。因此教学中应让学生掌握画图技巧，准确运用几何直观解决问题。几何直观可以帮助学生直观地理解数学本质，体验数学创造性工作历程，开发学生的创造激情，形成良好的思维品质。“删繁就简三秋树，领异标新二月花”，要让简约的几何直观真正充满张力，成为师生生命成长的栖息地，要让小学数学教学从几何直观中的简约中，真正走向更为深刻的思维价值的丰富，还需要我们在今后的教学实践中不断地思考和探索。目前存在的困惑：目前开始进入“空间与图形”的学习。作为几何教学版块，已经是基于图形进行思考，那么老师应该在教学上怎样进一步的体现几何直观教学的优势？如何操作？后阶段的研究思考：1、行程问题中几何直观教学的集中体现2、画线段图在分数乘除法中的运用3、五下六上教材中几何直观教学的衔接