小学数学教师培训材料： 小学应用题 的本质是数学建模.doc

小学应用题那为什么要改成“数学应用题”呢？这是您和张先生新的研究进展吗？但这样一改，似乎包含的研究对象范围有所增加，而且日常一线教师常说道、研究的是“算术应用题”。的本质是数学建模 一引言与现状。张奠宙： 今天我们来谈小学数学应用题的教学。你多年从事这方面的研究能说一下你的感受吗？唐彩斌：还是从你引进的那道特殊的应用题说起吧。题目是“在一条船上，有75头牛，32只羊，请问船长几岁？”人们习惯称它为“船长的年龄问题”。20年前，法国数学教育家用此题测试，为许多孩子得到“结果”而深思。 在我国的几所中学测试“用两个数直接加减得出结果”的居然高达90，如今，20年过去了，如果再次测试，结果又会怎样呢？近期，我们又对不同地区的922名学生进行测试，一个让我们震惊的数据产生了：62。你可能会怀疑测试过程中是否有教师的暗示？没有，测试在无声中进行；测试是否集中在一个薄弱学校一个低年级，不，我们的测试数据来自不同的学校，更有不同的年级，并且客观地说高年级学生做出结果的并不少张奠宙：这本来是没有答案的题目，可是学生竟然做出来了。仔细一想，这怪不得学生。可以猜想，每个学生在回答时一定犹豫过，这题好像不能做啊？ 可是一想学校里老师布置的作业一般都是有答案的。不给答案肯定没有分，乱写一个答案也许有分，就是这些“潜规则”，使得学生把题做出来了。所以学校要让学生独立思考，要自信。不能坚持真理，对自己的正确想法不能坚持，可是人生的大问题。进行数学学科德育，这是一个好的切入点。唐彩斌：应用题教学的成效如何？ 最近我们随机选择不同地区的300名五年级学生进行了常规的应用题的检测，结果如下：问 题通过率1水果店运来苹果和梨共650千克，苹果10箱，每箱20千克，梨15箱，梨每箱多少千克？942一张凳子售价25元，桌子的售价比一条凳子售价的4倍少1元，一张桌子售价多少元?943一个工程队用同样的速度修两条水泥路，第一条长256米，第二条长448米，修完第一条路用了4天。照这样的速度，修第2条路用的时间比修第一条路用的时间多多少天？814有一个煤矿，原来计划上半年660万吨，实际每个月比计划多产22万吨，实际多少月完成？675工厂食堂有4吨大米，7天用了1120千克，照这样计算，这些大米还可以用多少天？666电视机厂原计划20天生产一批电视机，实际每天生产25台，提前4天完成了任务。原计划平均每天生产多少台？667600元钱去买玩具，买了24个玩具后还剩120元，照这样计算，一共可以买多少个玩具？658某煤厂原计划每天运煤498吨，15天可运完。实际运了18天才运完，求每天比原计划少运多少吨煤？589甲乙两人同时从相距168千米的公路两端相向而行，甲骑车每小时行20千米，乙行4小时后两人相遇，求乙每小时比甲多行多少千米？5010一条公路长2400米，AB两支施工队同时从公路的两端往中间铺柏油路，A队的施工速度是B队的2倍，4天后这条公路全部铺完。A,B两队每天铺路多少米？41没有找到若干年前同样试题的测试结果，所以没有充足的证据来描述是否改为“比较二期课改前后？”当前学生解决应用题的现状。蔡金法教授最近在文章中引用了一个调查结论，我国大陆新课程改革以来，学生在解决复杂问题上显著优于传统课程的学生，但是在计算和解决简单问题上反而不如以前。您怎么看这样的调查结果？张奠宙： 谢谢你提供了许多珍贵的第一手资料。五年级学生能够有这样的“通过率”， 我觉得不能说“差”。10个题目7个的通过率在65%以上，相当不容易了。要知道，同龄人中数学天赋不同， 聪明孩子可以讨厌数学， 语文差的孩子看不懂题目，煤矿， 水泥路，电视机厂， 学生都是没有见过的， 并非日常生活实际。所以，以上数据说明大多数中国小学生会解常规的数学应用题，是一个不错的成绩。记得数学大家陈省身说：“中国数学教育在实践上肯定比美国好”，大致是不错的。 中国经济起飞，有赖于劳动力的质高与价廉。一般民众有这样的应用题思考能力，是小学数学老师对国家的重大贡献。当然，肯定成绩，不是盲目自满，而要继续改革，不断前进。 例如，第十题是得分率低于50%的唯一的一个。 我们成年人一看， 这个题目很好算。 A队与B队的比例是2：1，那么2400米，分三段， 每段800米。 A队 1600米，每天400米，B队 共800米，每天200米。这是“比例”的思想，五年级学生可能没有学过？我们可以研究一下，逐步改进。二什么是小学数学应用题。唐彩斌：张老师把今天谈话的题目取名为小学应用题的本质是数学建模，是给我们一线教师“打气”的，现在，我们在教学时都不太有勇气说“应用题”，深怕自己太“落后”，也不太有底气说“数学建模”，总觉得还没有那 “功底”，今天张老师把“应用题”亮堂堂地说出来，有一种释怀的感觉。不过，在日常小学数学教学中，很多名词盘绕其中，错综繁杂，让老师们很是烦恼。“问题”“习题”“文字题”“应用题”“问题解决”“解决问题”“综合应用”“实践活动”它们之间到底是一种怎样的关系？ 当面对很多新教材把“应用题”改为“解决问题”，常常引人反问：把名字改为“解决问题”就解决问题了吗？张老师，您有怎样的看法？张奠宙：应用题的出现渊远流长。古埃及的纸草书、中国的算数书等古代数学典籍， 都是应用题的汇编。数学的发展有两个原动力，一是要解决大自然和社会现实提出的数学问题，二是要解决数学内部生成的数学问题。前者的研究成果是应用数学，后者的研究成果成为纯粹数学。这二者相辅相成，相互渗透，共同发展。不过，归根结底，社会生产力和文化发展的现实需要是数学成长的本源。 小学数学中，数的扩展以及相应的运算规则，属于纯粹数学范围，将这些规则和现实相联系，并应用于现实，则是小学应用数学的范围。数学是由问题驱动的。小学数学应用题教学，体现小学数学的应用，培养学生与此相关的数学思维模式。 如果说，应用数学是永存的，那么数学应用题教学也是永存的。 只不过要“与时俱进”， 不断改革而已。20世纪下半叶以来，数学最大的进步是应用，“谁用的好， 谁就赢了”（姜伯驹语）。计算机技术出现之后，应用数学的一个进展， 是对一个个的具体问题建立一个个的数学模型。 因此，用建立数学模型的观点加以诠释，是改革小学应用题教学的参照基点。唐彩斌：看来，小学是否应改为“数学”应用题的教学本身有其价值存在，关键是用怎样的高观点来统领它。为了方便我们后续的研讨，我们需要从数学的角度对“小学数学应用题”做概念的界定，张老师您怎么来界定？张奠宙： 小学数学 “是否应改为“数学”应用题”， 可以理解为：用算术方法求解的、用自然语言表达的复杂情景问题。这里有三个要素：（1）算术方法求解（包括一些简易代数的思考）；数学应用是一个很大的学术领域。这里只研究用小学数学方法可以求解的数学问题。解小学数学应用题主要是用算术方法，目前也使用一些简易的代数思想。（2）用自然语言表达， 即用文字叙述的问题。这是小学数学应用题的主要特点。西方有时把小学应用题称作“文字题（word problem）”， 即用自然语言表达的数学问题。 文字题需要将自然语言文字翻译为“数学符号构成的算式”， 然后再用数学方法求解。 （3）具有复杂的情景。应用题必须表达一种具体“情景”，无论是体现生活实际的，或者合理地虚拟编制的，都必须反映一种生动的具体情境，不能是纯粹的数学问题。情境往往有一些特定的常识性规律，在解题时需要加以剖析和运用。作为一种具有较高思维价值的问题，“应用题”所呈现的情境，应当具有挑战性，不同于课本引进新内容时所呈现的简单情景。例如，5个学生每人有3本书，一共有几本书？答案只要写出 5 × 3 = 15 就是。这也是应用性问题，却不是我们要研究的数学应用题。三、数学应用题教学的本质是数学建模唐彩斌：刚才，您特别强调“用建立数学模型的观点加以诠释，是改革小学应用题教学的参照基点。”什么是数学模型的观点？数学建模与解答应用题是一种怎样的关系？张奠宙：数学建模是 20世纪下半叶， 随着计算机技术的发展而形成的数学思想方法。 目前已经成为数学应用的基本模式。数学模型，一般地说， 乃是针对或参照某种事物系统的特征或数量相依关系，采用形式化的数学符号和语言，概括地或近似地表述出来的一种数学结构。就许多小学数学内容来说， 本身就是一种数学模型：自然数是表述有限集合“数数”过程的数学模型；分数是平均分派物品的数学模型；元角分的计算模型是小数的运算；500人的学校里一定有两个人一起过生日，其数学模型叫做抽屉原理；鸡兔同笼问题的数学模型是二元一次整数方程等等。在这个意义上， 我们每堂数学课都在建立数学模型。不过， 应用数学的数学建模， 是在狭义的意义下进行的。 也就是说， 数学建模，专指对一个个比较复杂的具体情境， 建立一个特定的专用数学模型， 并用模型来解决非常具体问题。比如，中国人口增加模型，甲型流感传染模型、太湖水质模型等等，非常具体、专门。这样一来， 小学数学应用题就和数学建模很相似了。 二者都是对一个个具体情境给出数学描述， 并解决这个特定的问题。也就是说， 数学应用题教学，则是对一种比较复杂的特定情景给出一个具体的模型。例如，鸡兔同笼是一个特定的问题， 我们可以给出一种解法， 它的代数模型是二元一次联立方程。唐彩斌：你说“数学应用题教学的本质是数学建模”，我觉得非常重要。 有专家画了“数学建模的工作流程图”， 好像和应用题求解的过程很类似。我国小学数学中解应用题，一般分为以下四步：1.理解题意；2.做解题计划；3.按计划解答；4.回答和检验。 审题 列式 解答 验证 张奠宙：对啊！ 两者在基本步骤上大体相同， 只不过小学应用题内容比较简单而已。我做的一张表格， 也是描述了二者之间的相似性。 数学建模步骤解应用题步骤以行程问题为例背景考察：搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特征审题。 对问题设置的情景仔细揣摩体察。弄清问题的目标。知道速度， 位移，时间的关系；适度简化 ：如假定为匀速行驶在直线 型的道路上，等。构作模型根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量间的等式关系或其它数学结构。列式将问题中用自然语言表述的情景，翻译成数学语言，借助数学符号、图象、逻辑等手段， 构成可以反映问题本质的算式。根据情景，寻找数量规律。 例如找出一些不变量，借以构成数学等式。根据行程问题的不同情景进行思考。例如，相互距离为c的甲乙二者同时启动，分别以速度a、b相对而行，由于二者相遇时所用的时间x相同，据此列出等式ax+bx=c，或者算术地说明各量间的相等关系。模型求解：采用各种数学方法，求得满足模型的解答。 求解：对算式进行变换和计算，求得结果。x=c/（a+b），或算术地求解。答案分析检验模型是否正确， 解答是否符合实际。验证：验证解答是否正确， 能否符合题意。将x 代入原式进行验算。模型改进对模型解答进行数学上的分析，反思考察解题过程中使用的 数学思想方法总结本题的思考方法，对行程问题的 关节点进行反思，尤其是弄清在行驶变化过程中，哪些是变化的，那些是不变的。每一道小学数学应用题的教育价值，在于能将情景“数学化”；即将文字的表述， 转换为数学符号或图像的表示；将蕴藏在情景内的数量关系列为算式；用数学演算求得算式的答案，最终通过检验肯定“解答”的适切性。这些数学活动，为日后学习更复杂的 “数学建模”，做好必要的准备 。因此，可以说，小学数学应用题教学，乃是将来学习“数学建模”的基础。四“问题解决”与应用题教学改革唐彩斌：刚才张老师帮助我们沟通“数学建模”与“数学应用题”之间的关系，盘旋在我们脑子里的类似关系一定还不少？如“问题解决”与“应用题”。大家都知道“问题解决”的提出源自美国，从国际数学教育比较的角度，怎么理解“问题解决”？张奠宙：1960年代的美国新数学运动，到1970年代归于失败。当时提出的口号叫做“回到基础”。又过了10年，美国数学教育界觉得仅仅强调“打基础”是不够的，因而在1980年提出了“问题解决”的口号，意在提倡“探究”性的思考，发展学生数学思考的能力。2008年， 美国总统授命组成的 “全美数学咨询委员会”， 又提出“成功需要基础（Foundations for Success）”的口号。这是美国式的“折腾”。 因此，“问题解决”，是一个时期数学教育的导向性口号，并非针对应用题改革而提出。简单地说，美国数学教育界提出的所谓“问题解决”在张先生的文章中，我提出根据下文，此“问题解决”应专指美国的，与中国的有差异。因此，张先生为其增加了定语“美国数学教育界提出的”，专指解决“非常规问题”。 目的是为了培养学生的探究意识和创新精神。在学生的认知水平上，要解决非常规问题，没有现成数学问题求解模式可以模仿，需要独立思考， 通过自己的探索获得解决问题的途径。这是具有一定创新意义的数学思维过程。唐彩斌：国外的“问题解决”的观念对我国的应用题教学有什么借鉴与启示呢？张奠宙：我国在常规应用题的教学上，成绩很好。例如用分数求解一些现实生活中“平均分配物品”的问题，加减乘除四则运算的一步或两步应用题，掌握得也很不错。但是，在提出问题，分析问题，灵活地处理应用性问题上面，比起欧美诸国的教学，有一些弱点【2】。在非常规的应用问题教学上，我国积累了一些按照问题情景分类的教学。例如行程问题、工程问题等等，有专门的训练，基本面也是好的。但是，总体上较窄、较难，较偏。 总之，“问题解决”作为一种数学教育的全局性理念，有助于应用题教学的改革。唐彩斌：如果用“问题解决”代替“数学应用题”教学，您觉得是否合适？张奠宙： 我认为不够妥当。 理由有二。第一、问题解决和数学应用题教学是从属关系。应用题只是问题的一部分，问题解决是解应用题的上位概念。 因此，“用问题”的共性， 取代了“应用题”的特性，混淆了二者间的逻辑关系。例如，我们本来是研究“男生问题”， 结果却用了“研究学生”的标题。“大帽子”把小问题的特性掩盖了。第二、问题解决是针对“回到基础”提出来的口号。意思是强调“探究”、“发现”、“创新”。 可是实行了多年之后， 美国又提出“成功需要基础”， 又强调其基础来。 所以，应用题教学， 不能只强调“自主创新”， 还要注意“打好基础”。 没有基础怎么创新？ 五应用题要有类型， 但是不要“类型化”。唐彩斌：倡导问题解决仍然需要扎实的基础，要解决非常规的问题仍然需要常规问题解决的基础。好比中华武术的境界“无招胜有招”，但是要达到“无招”还是要从“基本招术”开始。如果没有基本的招术，结果不是无招，而是没招。下面， 我们讨论一个大家关心的问题：应用题的分类。按理来说，分类是认识事物的第一步， 也是一种一般方法，分类是很自然的事。但近来一说起应用题的分类总有提倡机械记忆、套用公式之嫌？应用题到底要不要分类？该怎么分类？张奠宙：我想应用题要分类， 要有类型， 问题是不要“类型化”。小学数学应用题可以有三种分类。（1）按数学模型分类；四则运算的算术模型；统计模型；随机模型，一元一次方程的代数模型；等等。（2）按情景熟悉程度分类。如日常生活情景模型， 模拟现实情景模型，科学技术模型等等（3）按特定情境的数量关系分类。如行程问题，工程问题，流水问题，折扣问题等等。唐彩斌：按数学模型来分，从小学数学的几个领域来看，似乎还少了图形与几何方面的应用题？张奠宙：小学数学的内容比较简单，方程、函数、曲线、都无法触及， 更不谈微积分。 所以根据小学数应用题涉及的数学知识，大多都归结为“四则运算”模型。 小学里图形与几何方面的问题主要是求周长、面积和体积，其实质还是四则运算模型。六关于应用题教学与联系学生生活实际唐彩斌：第二种分类维度是从问题情景的熟悉程度以及问题的来源。应用题需要应用，当然必须与现实生活紧密相连。但过分拘泥于生活原型，难免出现牵强附会的案例。应用题与生活情境到底是一种怎样的关系呢？张奠宙： 顾名思义，数学应用题要有用，自然要联系实际情境。能把学生自己的生活体验融进数学课堂，是大家的共同追求。问题在于，学生的生活情境毕竟是有限的。应用题中能够直接和学生的生活相联系的只能是少数。 应用题教学中，大量使用的是科学模型，例如，行程问题中速度、时路程之间的关系，乃是物体运动的物理模型。另一种是模拟现实模型。比如鸡兔同笼问题， 完全是一种假想的模拟情景。儿童有丰富的想象力，模拟情景往往比真实情景更真切。一个不争的事实是，现在的孩子爱看动画片，那里出现的都是模拟假想的情景。“孙悟空”、“大灰狼”、“圣诞老人”、“白雪公主”等等都是虚拟的。数学应用题中，著名的鸡兔同笼问题就是虚拟情境，比有些矫揉造作的 “现实情境”要高明得多。记得1930年代，任何小学数学教材里都有和尚馒头问题：“一共有100个和尚和100个馒头。大和尚一人吃三个馒头，小和尚三个人吃一个馒头，问各有大小和尚几人”。这是很有童趣的问题，现在却不见了，很是遗憾。唐彩斌：其实，有些数学名题，即使是现在也能激发孩子的学习兴趣。说起真实性，有一道题是最典型的，常常被文化名人所提及：记得曾有相声演员编了这样的段子：有一个水池，打开进水管注满水池要3小时，打开出水管放出整池水要2小时，现在同时打开进水管和出水管，要多少时间才能把一池水放完？日常生活中那会同时打开出水管和进水管（除非忘记了），真是吃饱没事干。张老师您怎么看待这样的讽刺？张奠宙：这样的情境以前农田的灌溉中偶尔能碰到，也不是很典型的。 实际上，作为一种数学模型，在现实生活中还是有的，如：飞机的能源消耗与补充、排队进场与出场、草场里草的生长与割去、人体的新陈代谢、社会人口的增减、湖泊的污染与治理，家庭的收入与支出等等，这些现象都是正、反两个方面同时进行着的，都类似于水池同时进水与出水的情景。 这种数学模型反映了一种动态平衡的问题。 小学算术应用题，能够和学生生活情境相联系的多半涉及 “买卖关系”。我们应该充分利用。但也不能“除了超市，就是商店”，还应努力开辟一些小学生喜闻乐见的现实情景，国内外的有一些优秀实例值得我们借鉴。比较阅读后，我感觉您更侧重于从一线教师希望了解的课改前后各种理念、名词的联系与解读。这对我们的读者而言是非常有吸引力的。而您为了篇幅的考虑，没有呈现更多的例题；这让我觉得颇有遗憾。张先生的文章里面的例子（巨人手印、花坛设计、检验码、瓷砖数、算法设计、钟面数字问题、简单邮路问题等）我看过，韩老师也看过，我们觉得这些例子也能为一线老师在练习设计、试卷设计方面给予启发，不展示挺可惜的。您看是否在文中呈现这些例子，或者以附录的形式在文后做简要介绍？我们可以考虑在合刊中刊登这篇文章，以给予足够的展示空间。唐彩斌：生活情境是表面的，数学模型才是最为根本的。你说的第三种分类：即按情境内容分为“行程问题”、“工程问题”等等， 是否必要？ 如何对待呢？张奠宙：将问题按照情景内容进行分类是正常现象。在微积分课程里要讨论瞬时速度问题， 切线问题，曲边梯形问题； 微分方程课程里有热传导方程， 电磁波方程； 中学数学也要研究抛物问题、单摆问题、等周问题，投影问题，掷骰子问题等。 小学里常用的有类型有：行程问题 路程 = 速度×时间工程问题 工作量 = 工作时间× 工作效率价格问题 总价格 = 单价 × 数量利息问题 利息 = 本金 × 利率利润问题 利润 = 成本 × 利润率折扣问题 金额 = 价格 × 折扣率百分数问题 数量 = 总量 × 百分比其中涉及的利息、利润、速度、效率等概念，并非数学内容， 而是属于物理学、经济学的问题。今天，国家实行社会主义市场经济模式，经济学的一些初级术语在日常生活中经常出现， 语文课、社会课又不详细研究， 责任就落在数学课身上。 让孩子们了解这些规律，是小学数学课程的有机组成部分， 责无旁贷。实际上，应用题的分类不是我们要不要的问题， 而是客观存在的现象。 将一类情景中发生的问题给以特殊的名称。说到底， 不是我们数学教育工作者进行这样的分类， 而是客观世界本来就有这样的不同的情境。唐彩斌：对于这种分类，过去搞得过分， 异化了。当学习完“梨树有20棵，苹果树比梨树多8棵，苹果树有多少棵？”，老师强调：看到“多”就想到“加”，于是，当学生看到“梨树有20棵，比苹果树多8棵，苹果树有多少棵？”学生总是先想到“加法”，结果错了。当学习完“科技书有20本，故事书比科技书的2倍还多2本，故事书有多少本”，老师强调：看到“倍”想到“乘”，看到“多”想到“加”。于是，当学生看到“科技书有20本，比故事书的2倍还多2本，故事书有多少本”时，学生总是先想到用“乘加”，结果又错了。张奠宙：以上的异化现象，都来自固化数学的某种模型。讲死了，思维变得机械了。实际上，一类问题，比如行程问题，都只是一个名词，便于称呼而已，并非一个数学领域。尽管题目花样翻新，也可以出得很难，但总不过是 s = vt 这样的数量关系的各种不同的变式。宏观地看，没有单独设立一个数学课题的必要。但是，也不能走向另一个极端：不讲类型。有的地方不准叫“应用题”， 今天学“铅笔有几枝”，明天学“燕子飞走了”，不做一些基本的分类和概括，实际上是作茧自缚，矫枉过正的表现。总之，要类型，但是不要“类型化”。这就是我们的结论。唐彩斌：过去传统应用题还按步数分：一步，两步和多步应用题；按内容和难易来分，可分为一般应用题、复合应用题和典型应用题。典型应用题中就有和差问题、和倍、差倍问题；追及问题、盈亏问题、相遇问题等等。这样分类您怎么看吗？张奠宙：这些分类，都是从教学需要出发的。由易到难，循序前进，总要按部就班地排除一个次序来。因此是教学需要的，有必要的。不过，这种分类不涉及数学应用题的数学本质，学生并不需要知道。至于和差，和倍、差倍这样的分类，我觉得可能太细了。临时作为一个名词叫叫， 未尝不可。对于数学的困难生，为了辨别各种不同的算式，可能起一定的作用。但是，它毕竟只起一个临时“标签”的作用， 并不是非学不可的 “知识内容”。分类可以越分越细，没完没了地分下去。但是， 只有被广泛承认和使用的分类才有“知识性”价值。否则只是在小范围使用， 不过是一种临时使用“标签”而已， 不需要长期记住。打个比方， 作为地理学知识，中国，分为省（山东）， 省分为市（烟台），就为止了。 至于烟台下面分为各个区， 就不是大众需要的知识， 是地方的标签， 大众不需要长期记忆。因此， 我认为，“和倍”、“差倍”这样的分类， 没有知识价值，不需要长期记忆。临时作为一个名字称呼一下， 当个“标签”，对于有些学生可能有些帮助，但是过后就忘了。七 小学数学中的算术模型与代数模型唐彩斌：从数学上看，有些分类具有较高的知识价值。比如，算术模型和代数模型就需要加深理解，具有长远的记忆价值。那么什么是算术，什么又是代数呢？张奠宙：算术中的基本对象是数，包括数的表示、数的意义、数之间的关系、数的运算等。算术模型是一串“数字”的运算流程。代数中的基本对象除了数，还出现了更具广泛意义的基本对象：符号。代数模型是方程或函数，包含未知数符号的等式关系或其它结构。 什么是“代数”？代数建模的核心思想是“文字参与运算”。 一个习惯的说法是：“代数就是用文字代表数”。其实不妥。比如，小学里讲自然数的交换律，就写了AB =BA, 这里， 用A,B代表任意的自然数，可是和代数无关。代数的实质是用文字代表未知数，而且由文字代表的“未知数”和已知数可以进行运算，即进行“式”的运算。从算术向代数过渡，是学生数学学习过程中极为重要的转变阶段学生从“数的运算”过渡到“式的运算”，好象人发明了汽车那样，运行速度大幅提高。代数运算的通性通法，取得了极高的思维效率。但是，人不能每时每刻都在坐车，走路仍然是必须的、基本的。这就是说，算术方法依然有其重要的存在价值。唐彩斌：算术方法与代数方法有怎样的区别？有一道题被广泛认为是传统应用题中的难题“有一个煤矿，原来计划上半年660万吨，实际每个月比计划多产22万吨，实际多少月完成？”能不能以此来说明一下？张奠宙：在小学数学教学中，用列方程的方法解应用题和用算术方法解应用题，都以四则运算和常见的数量关系为基础，都需要分析题里的数量关系，根据四则运算的意义解答，这是它们的共同之处。但用代数的方法解决问题和用算术的方法是不同的建模过程。让我们看下面的例子：【1】算术建模，是给出一种算法：(张天孝老师称之为 “计算表征”)实际每月完成数是(660÷6)+22，于是有答案：完成时间 = 660 ÷(660÷6)+22 = 5这是通过一串已知数字的运算组合，最后得到结果。【2】代数建模。 是给出一个算式。(张天孝老师称之为 “数量关系表征”)设实际完成月数是， 那么（660 ÷ ）是每月实际完成数。 110 = 每月计划完成数 = （660 ÷ ） - 22于是得到有符号的算式 代数模型：（660 ÷ ）- 22 = 110 （1）我们无法直接计算出， 但是可以进行“式 ”的运算：（660 ÷ ）= 110 +22 = 132 （2） （660 ÷132）= = 5 （3）这里，(1),(2),（3）中 的值是相同的。【3】 用符号的算术模型。我们还可以这样思考： 设实际完成月数是，那么 = 660 ÷ （实际完成数）= 660 ÷ （计划完成数+22）= 660÷ （110+22） = 5这里也有符号代表数， 却完全是算术思维， 与代数无关。【4】用代数方法启发算术思维待添加的隐藏文字内容2由（3）式知 = （660 ÷实际每月完成数）=（660 ÷(660÷6)+22） = 5最后二者是统一的。算术思维和代数思维思考的方向不一样。打个比方，如果未知数在对岸，那么算术方法，好象摸着石头过河找到未知数，代数方法好象用绳索将对岸的未知数捆好拉过河来，二者的思考方向刚好相反。但是从上面的分析来看，代数的表征和算术的表征是可以相互沟通的。至于完整的“式”的运算， 是学习负数以后的事情，要到初中才能够完成。但是在小学里有所渗透，使得算术和代数的思维逐步融合起来，这是未来努力的方向。唐彩斌：如果学会了代数方法，是不是算术的方法就没有价值了。曾听说一位数学家在回忆自己成长历程的时候，特别提到：他在读小学的时候，老师就是要他们做一些“以后用代数很简单但是用算术方法不那么容易”的那些题，对他学习数学很有帮助。算术方法是有其独特的作用呢？张奠宙： 在面对现实问题时，我们首先使用算术方法思维。简单的问题用算术模型就解决了。例如我们到商场购物，自然用算术方法计算付款找零。这是一切数学问题求解的基础。对于比较复杂的应用性问题，代数方法开始显示优势， 但是算术方法在训练学生独特思维，承担分析数量关系的基础方法上，其作用仍然不可替代。以大家熟悉的我国古代数学名题“鸡兔同笼”为例来说明。“今有鸡兔同笼，上有35头，下有94脚，问鸡兔各几何?”这一问题的代数模型是解二元一次联立方程。小学生不可能用这样的数学知识来解题。即使成人已经掌握了求解联立方程的知识和技能，也喜欢用算术模型来求解。唐彩斌：是的。国内外许多数学家与数学教育家对中国的古算题鸡兔同笼问题情有独钟。波利亚列举了鸡兔同笼问题的四种解法，并特别欣赏“金鸡独立”这一解法。金鸡独立解法的思路是，如果笼中的鸡全部独立单脚着地，做“金鸡独立”状，而这时笼中所有兔也学鸡立起前两脚而只有后两脚着地，那么这时，地上的脚比原先少了一半，只有47只，35个头。为什么有47只脚在地上呢?一只鸡对着一只脚着地，而这时一只兔却对着两只脚着地。每多一只脚，说明就有一只兔。原来有(4735=)12只兔，鸡就有(3512)23只了。张景中院士对于鸡兔同笼问题的解法也很巧妙。他假设鸡的两只翅膀也变成了两只“脚”，这样的话，35只头就一共有(4×35=)140只“脚”，可实际上只有94只脚，这说明140只“脚”中，除了真正的94只脚外，其余的(14094=)46只是假脚，即实际上笼中共有鸡(46÷2=)23只，有兔(3523=)12只。算术方法也有其教学价值的，曾经有人设想， 完全抛弃算术方法解应用题，一开始就向小学生介绍方程解法。这种设想看来也是有失偏颇的。张奠宙：是的，如果这样学习代数，代数将成无源之水！正如双脚走路是基础，驾驶汽车不能取代走路。你总不能把车停在床边，你总要走到车库里去嘛！实际上，列方程时的数学思维，主要还得用算术方法过度。没有算术的第一步， 就难有代数的第二步。如果使得算术与代数完全脱离，使得学生没有对比，看不出算术的缺点和代数的优点，体会不到代数方法的优越性，那么代数也是很难学好的。八 小学数学里的三种基本代数模型唐彩斌：那么，从代数的角度看来，小学数学应用题有哪几种常见的代数模型？张奠宙： 小学里的数学知识有限， 没有乘方、开方， 指数、对数、 三角比等概念。因此，从代数和函数的观点来看， 所涉及的数学模型都是“线性关系”和“反比关系”。 即问题中的未知量或者自变量x都是一次的，或者是线性的正比例关系，或者当变量x出现在分母上，呈现反比例关系。归纳起来，小学应用题的代数模型，基本上都是线性组合式。 即形如ab + cd = f 的式子，其中有5 个不同的量。又可以分为三种情况张先生给我们的文章中指出的三种代数型模型，与您的文章不同。详见附件。两厢比较，我个人认为，张先生文章中的分类更清晰。那会不会是张先生在与您对话后进一步思考的结果呢？：【1】方程模型。5个量中只有一个是未知的，因而可以通过四则运算由已知数求出未知数。这是绝大多数。【2】比例模型。 因为线性关系，也是比例关系。 这时5个量中如果有两个未知量， 而且它们成比例关系。那么可以借此求得问题的解。例。比如开头的10个题目中的第10题：一条公路长2400米，AB两支施工队同时从公路的两端往中间铺柏油路，A队的施工速度是B队的2倍，4天后这条公路全部铺完。A,B两队每天铺路多少米？此题中A，B两队的速度都是未知的， 只知道彼此间的比值。【3】 函数模型。 因为线性关系中， 如果两个量呈现“依赖关系”， 就表示二者间存在“一次函数”的关系。实际上， 线性组合关系如果有两个未知量， 本质上彼此间或者是正例关系， 或者说反比例关系。比如行程问题中往往出现 s = vt + b 的数量关系就是。例。 A,B相距500千米。一辆摩托车，停靠在AB之间距离A点100千米处， 将以每小时50千米的速度前进。到达AB中点后， 休息30分钟后继续前进。试问， 一小时后，摩托车距离B点多少千米？ 何时摩托车抵达终点B？时间 0 3 3.5时 4.5时 4.5+4= 8.5 时与A点距离 100 250 250 300 500这样列表考察， 已经有一次函数的意味了。唐彩斌：策略在学生在解答应用题的过程中有着重要的作用，也越来越受到老师们的关注，那么，小学常见的策略有哪些呢，或许最为熟悉的策略就是“线段图”了，我们常常在课堂上听到老师在学生碰到问题的时候就启发“能不能画画线段图”，似乎成了解决应用题的“万能策略”了。 张奠宙：用线段图表示数量关系是一种有效的教学方法。不过线段图不是目的，只是手段。上海顾汝佐老师曾经形象地描述过线段图是拐杖，不是棍棒。人们认识一种数量关系， 要经过具象表象抽象的过程。现实把线段图画在纸上， 可以看，有具体形象。然后是在脑子里画图，形成表象。最后，直接面对数量关系， 完全抽象地进行思考。比如通过一些关键字词（对应关系，文字说明等），也可以帮助学生理解题意，构成概念图式，图式也有多种不同的形式。唐彩斌： 在课标教材的编写中，出现了一类以前教材中没有的内容，“教学策略”单独成课，比如：专门上一节课“转化的策略”“列举的方法”等等。您怎么看这样的安排？张奠宙： 与常规的应用题课相比，这样的策略课就是非常规课，是便于学生探究、反思、活动的课。常规的是基础，非常规的是有益的补充，丰富学习活动。这种策略的专项教学，有利于提升学生解决问题的能力，不过“度”的把握也很重要，如果为“策略”而策略，可能得不偿失，应该把策略的习得融入到问题的解决中。唐彩斌：从解决问题的步骤来说，最后一步是回答与检验。有人认为是形式的完整，并不重要。因此在教学中常常有老师说“由于时间的关系，今天的应用题就不要答了”。也有人认为这是重要的一步，是学生反思自己解答过程，检验结果是否正确的步骤，更是实现元认知发展的重要环节。张老师您怎么看？张奠宙： 建立模型的核心是弄清数量关系， 并加以表示。真正解决解决问题必然会检验。教学是模拟过程，可以把重点放在构建模型上，但是不能忽视模型的检验。最好能够给学生一些问题单帮助他们反思检验，比如试问：得到的结果是否符合实际情况？计算的过程是否合理？除了这种方法是否还有更好的方法？这一类问题具有怎样的特点？这既是一种数学素养，也是学生良好的元认知的表现。附录 一些优秀的新型的小学数学应用题例1 弗赖登塔尔有一个经典的“巨人手印问题”：昨夜外星人访问我校，留下了一个巨大的手印， 今夜他还要来，试问： 我们给他坐的椅子应该有多高？他用的新铅笔应该要多长？活动设计：用自己的手和巨人的手相比，定下“比值”；量自己的书、桌子、椅子尺寸；用比例放大。过去总是用“照片放大”、“地图比例尺”等静态的观察理解“比例”。 这里的实例，则用学生自己的活动，获得比例的真实感受。不过，“外星人”依然是虚拟的存在。这个题目好懂、有趣自不必言，尤其是体现比例的思想，问题要求学生进行操作，测量，更是一个绝好的数学活动。例2.（荷兰）甲离学校10公里，乙离甲3公里，问乙离学校几公里？本题训练学生的表示能力。首先要问，甲、乙、学校在一条直线上？如果在一条直线上，答案有两个。如果不在一条直线上，答案无限多，但都位于一个圆上。 例3.（日本）设计一花坛， 使它的面积为矩形场地的一半，要求美观。这是数学和艺术相结合的开放题，开放度极大。1993年，国际数学教育心理学组织（PME）在日本举行时，日本的一堂公开课上，日本学生当堂有13种解答。近期，在杭州上城区教育学院附属小学一五年级班测试20分钟，对于一个班级整体来说，方法多达四十多种。例 4.身份证、书号、超市商品号的最后一位是检验码。 现在是数码时代。 学生生活实际中包括“数码”分析。以下是 身份证第18位检验码的计算方法。Ai:表示