小学数学 取长补短 整合教材——“鸡兔同笼”教学有效设计的思考.doc

取长补短 整合教材“鸡兔同笼”教学有效设计的思考 “数学广角”是人教版教材中的一大亮点。在教学“数学广角”时每一位数学教师都应该思考：怎样让每一位学生能真正体验和感悟数学思想方法？“鸡兔同笼问题”是人教版教材六年级上册中的一个教学内容，笔者自己执教过很多次，也听了许多鸡兔同笼的公开课。总以为自己的设计很好，孩子在自己的引导下能够产生解决问题策略的多样化，甚至还有老师没有想到的算法。课堂中有学生独立思考的空间，有师生间围绕核心问题进行的交流，也有老师适时作出的指导。但是在课后对学生的掌握程度进行检测时，却依然出现了尴尬。尴尬一：学生假设是兔（鸡），求出来的也是兔（鸡），只知套用不知根本。解决最基本的鸡兔同笼问题，孩子们的正确率达到了80%左右。还有部分学生能套用假设法列出算式，但是他根本不知道算出来的答案是鸡的只数还是兔的只数。也就是假设什么，最后算出来的可能还是这个，会出现张冠李戴的现象。学生很多时候是滥用套路，并没有真正理解和掌握假设法。尴尬二：只知鸡兔，不知其它。也就是情景变换不知所措，不能根据已学的知识产生类比联想，举一反三，也就做不到学以致用了。解答生活中的一些实际问题（如：小红的储蓄罐里1元和5角的硬币有145枚，共127元。她的储蓄罐里1元和5角的硬币各有多少枚？）正确率那就更低了；对一些情境变化大一些的“鸡兔同笼问题”（如：学校买来4个篮球和5个排球，一共用了185元，1个篮球比1个排球贵8元。篮球的单价是多少元？）学生根本就想不到用假设法来解题。面对这些尴尬，我陷入了沉思：问题究竟出在了什么地方？我们该怎么办呢？前不久参加省“领雁工程”培训时，在一次“同课异构”的研讨活动中，笔者有幸听了两种不同版本教材（人教版和北师大版）的“鸡兔同笼”研讨课。他们目标定位不同、教材处理不同、思路设计不同，教学效果也随之不同。长期以来，一直困在我心头的“鸡兔同笼”的教学效果问题，在这一刻有了一个很大的触动。由于笔者使用的一直是人教版教材，所以在这次“同课异构”研讨活动中，听了北师大版“鸡兔同笼”的研讨课后，引起了我对列表枚举这一数学思想方法的思考与重视。对此，笔者找来两种教材，并结合两位上课教师的教学设计，认真分析了该课内容，加以探究，希冀能从这相同内容不同编排的处理中引发出怎样设计更为有效的一些思考和探索。一、人教版和北师大版教材的分析在人教版教材中，由孙子算经中的“鸡兔同笼” 问题引入。这一课时的教学目标是让学生通过不同方法研究解决鸡兔同笼问题，使学生理解并掌握鸡兔同笼问题的解题方法。解决“鸡兔同笼”问题时，它先后呈现了猜测列表法、假设法、列方程、抬腿法（另一种假设法），注重体现解决问题的不同思路和方法。其中假设和列方程解是解决该类问题的一般方法。“假设法”有利于培养学生的逻辑推理能力，列方程则有助于学生体会代数方法的一般性。因此在解决“鸡兔同笼”问题时，学生选用哪种方法均可，不强求用某一种方法。配合“鸡兔同笼”问题，教材在“做一做”和练习中安排了类似的一些习题，比如“龟鹤”问题，生活中的一些实际问题等，让学生进一步体会到这类问题在日常生活中的应用，并巩固用“假设法”或方程的方法来解决这类问题。在北师大版教材数学五年级上册的尝试与猜测中安排了鸡兔同笼这一教学内容，从读懂教材这一角度来看，在本课教材中呈现了3种解决问题的方法，都是通过假设举例与列表的方法，寻找解决问题的结果。其中，第一张表格是常规的逐一举例法，第二张运用了跳跃列表法，第三张运用了中列举法。但需要注意的是，教材选“鸡兔同笼”这个题材，主要并不是为了解决“鸡兔同笼”这个问题本身，而是要借助“鸡兔同笼”这个载体让学生经历列表，让学生在大胆的猜测、尝试和不断调整的过程中，体会出解决问题的一般策略列表枚举，旨在通过对一些现象的观察与思考，使学生从中发现一些特殊的规律，获得解决问题的一般策略。二、两种不同类型课的比较1.案例一（人教版教材）教学目标：1了解“鸡兔同笼”问题，感受古代数学问题的趣味性。2尝试用不同的方法解决“鸡兔同笼”问题，使学生体会假设和代数方法的一般性。3在解决问题的过程中，培养学生的逻辑推理能力，并向学生渗透转化、函数等数学思想和方法；让学生体会到数学问题在日常生活中的应用。教学过程：一导入新课1谈话：同学们，你们听说过“鸡兔同笼”问题吗？在我国古代流传着很多有趣的数学问题，“鸡兔同笼”就是其中之一。大约一千五百年前，孙子算经中记载着这样一道有名的数学趣题。2出示孙子算经中的原题：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？3理解原题意思：现有鸡和兔同在一只笼子里，从上面数有35个头，从下面数有94只脚，问鸡和兔各有几只？4揭示课题：鸡兔同笼二探索新知1出示例1：笼子里有若干只鸡兔。从上面数，有8个头，从下面数，有26只脚，鸡和兔各有几只？2先让学生猜测有几只鸡和兔。3独立解决问题（用自己喜欢的方式）4.反馈交流方法（1）画图法：画8个小圆圈代表8个头，先在每个头上都画2只脚，共得16只脚，还差10只脚，再在一些头上添上2只脚。从图中看出4只脚的有5只，2只脚的有3只，从中可知道笼中有5只兔子，3只鸡。（2）列表法鸡876543210兔012345678脚161820222426283032从表中知道有5只兔子，3只鸡（3）假设法假设全是鸡：（268×2）÷（42）10÷25（只）兔假设全是兔：（8×426）÷（42）（3226）÷23（只）鸡（4）列方程：设有x只兔，则有（8x）只鸡4x2×（8x）264x162x26x5 853（只）4小结方法：（1）刚才我们在解决鸡兔同笼问题时用到了哪些方法？（画图法、列表法、假设法、代数法）（2）你喜欢哪一种方法，并说明理由。（让学生了解各种方法的优缺点）三巩固练习1让学生选择自己喜欢的方法解决孙子算经中的原题：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？（用自己喜欢的方法解决）四、课堂总结：通过今天这节课的学习，你有什么收获？【我的思考】这节课充分体现出解决问题策略的多样化以及解决问题策略的优化。教师在课堂上适时引导，学生从多角度思考问题，呈现出列表、假设、代数、画图等多种解题方法。通过学生的独立思考、自主探究、合作交流，将多种解题方法进行观察和对比，使学生充分体验到解题策略的多样性。在体验解决问题多样化的过程中，突出了学生的主体地位，同时尊重了学生的个体差异，允许不同的学生在解题方法上有不同的想法。还注重了画图法、列表法、假设法、代数法等多种方法的比较。这节课老师在学生找到不同策略后，又让学生说一说“你喜欢哪一种方法，为什么？”让学生充分感受到画图法、列表法为特殊方法，都有各自的局限性，如果题中鸡兔的数目太大，则不宜采用。而假设法和代数法是解决鸡兔同笼问题的常用的、也是最基本的方法，这样处理很好的完成了老师制定的一个重要的目标：尝试用不同的方法解决“鸡兔同笼”问题，使学生体会假设和代数方法的一般性。听了许多鸡兔同笼的课，一般都是按照上面这个案例这样上，但是为什么在课后的练习中会出现笔者前面提到的那些尴尬呢？反观案例中的教学过程，教师注重用假设法解决问题，但面对授课之后依然存在的实际理解效果，笔者认为学生都是套着路子用假设法解题，真正理解的很少。教材中介绍的方法有很多种，教师上课时也可能一一列举了。对于学生来说，众多方法中掌握一种就可以套用路子了，就可以解决问题了。而我认为应该区分数学思想和数学方法的不同，甚至对方法也应分出层次：如果把整个方法体系看作一棵大树的话，那么有一些方法是根，另一些方法便是枝叶。而我们更应该关注能广泛迁移的、具有生长性的方法的根。由此透析上述案例，教师所谓的假设法只是具体地解决了“如何假设”的问题，而对于“为什么要假设”“假设的价值何在，意义何在”，教师未能作有效提点。那么学生对假设的真正目的并不清楚，后面的练习也只是“依葫芦画瓢”；一旦碰到全新的问题时，便会束手无策。笔者认为在教学中应重点沟通假设法与画图、列表法之间的联系。让学生在列表猜测的过程中不断地进行分析和调整，并在这个过程中让学生自己发现规律，总结方法，这样就达到了列表尝试的最高境界用假设法来解题。2.案例二（北师大版）教学目标：1借助“鸡兔同笼”这个载体让学生经历列表、尝试和不断调整的过程，从中体会出解决问题的一般策略列表。2在列表的过程中体会鸡兔同笼问题中的数量关系。教学过程：一、引入1.猜猜我手里有多少钱？老师用“多了”“少了”来提醒同学们。2.引导提问：你们是怎么猜到的？3.小结出：大胆猜测，根据老师给出的信息不断调整。这是种很好的数学方法。二、新课1 鸡兔同笼，有8个头。（1）问：看到这句话，你得到了哪些信息？（有鸡有兔，共8只）（2）猜猜可能有几只鸡几只兔？（3）你能按顺序讲完整吗？师板书表格。（4）如何列表：在学生列举完之后，告诉同学们，要写上标目。头/个、鸡/只、兔/只。并讨论这三项有什么好处，为什么缺一不可。2 增加条件：有22条腿，现在你知道有几只鸡，几只兔吗？（1）放手让学生自由思考。大部分学生都会回归到表格，并逐一尝试。（2）出示学生列的表格：这样的列表法，你能给它起个名字吗？（逐一列表法）头/个鸡/只兔/只腿/条8173082628835268442485322（3）找到正确答案是22条腿时，还有没有必要再算？（4）观察表格，你发现了什么？（5）鸡兔只数的变化和腿的条数有关系吗？（鸡减少一只，兔增加一只，腿一共增加两条。）3 练习拓展鸡兔有20个头，54条腿，鸡兔各有多少只？请用列表法尝试与猜测。给学生有限的表格，不能逐一列举。教师巡视，找到跳跃列表法和取中列表法。再进行交流。头/个鸡/只兔/只腿/条头/个鸡/只兔/只腿/条2011978201010602011958201465220101060201285620137542013754（1）你为什么从这个数开始尝试？（2）为什么从1直接跳到11，是随意的还是有原因的？（3）同样这道题，老师给你两行表格，你能猜出来吗？ 头/个鸡/只兔/只腿/条（4）总结三、生活中的鸡兔同笼问题1 蜘蛛8条腿，蜻蜓6条腿，现有两种小动物共9只，62条腿。蜘蛛和蜻蜓各几只？2.小结：你有什么感想? (首先进行大胆尝试，再根据信息适当调整。)【我的思考】在没听这节课之前，笔者总认为这种尝试法是没有思维含量，非常原始的一种方法。说得通俗一点，实际上就是“凑”。但是在课堂上看到学生通过列表枚举把符合问题的所有可能答案逐个找出，得到问题的答案时，顿时让我觉得这也是一种非常实用的解决问题的策略。在学生刚接触“鸡兔同笼”问题时，要列式计算往往感到很困难。所以老师就用列表法把学生所有的猜测一一罗列出来，让学生一眼就能找到正确的答案。本节课老师让学生经历了“无序的思考-有序的思考跳跃的思考”这一层层递进的思考过程。但是笔者认为：从本节课的课堂活动情况来看，老师侧重于探索结果的交流和表面特点的归纳，这里老师仅仅把列表作为一种独立解决问题的方法，它是有很大的局限性。对一些数据较大的题目，学生要花费很多的时间才能完成。缺乏对列表过程，特别是对“跳跃”列表技巧和方法的探索和体会；教学仍停留在“双基”层面上，没有真正渗透数学思想方法。三、各取所长，有机整合 鉴于以上两个案例的对比分析，它们都有各自的优势和劣势。那么，这堂课的教学目标究竟定位在哪里呢？人教版追求解决问题策略的多样化；而北师大版选择了列表的策略，让学生在大胆的猜测、尝试和不断调整的过程中，体会出解决问题的一般策略列表枚举。不同的思维过程体现了不同的思路。那么怎样才能把两个案例完美结合，各取长处，而不仅仅是单一的、片面的解决问题？笔者对“鸡兔同笼问题”进行了剖析：1在教学中，不仅要让学生会计算，更要让学生学会思考：解决鸡兔同笼问题的思维策略和关键是什么？2把假设的思想方法作为解决“鸡兔同笼”问题所有方法中最基本的解题思想，抓住解题思路的核心。但是假设法的思维起点又在哪里呢？3在教学中如何将直观的列表法与抽象的假设法进行沟通与联系？4在实际应用中，我们怎样针对不同问题让学生建立“鸡兔同笼”问题的数学模型呢？5解题方法上升为数学思想，进而达到学生的数学素质，这应该是数学教学的目标所在，但是在我们的课堂教学中如何逐步渗透、慢慢实现呢？有了这样的思考，笔者对“鸡兔同笼”进行了重新设计并进行了实践，寄希望列表策略在解决鸡兔同笼问题中的功效将被进一步放大。1、降低起点，列表尝试。出示：鸡兔同笼，有8个头。师:看到这句话，你得到了哪些信息？生：鸡和兔共有8只。师：猜猜可能有几只鸡几只兔？生：2只鸡，6只兔生：不对，应该是5只鸡，3只兔。生：不确定，应该再增加一个条件。师：增加条件：有22条腿，现在你知道有几只鸡，几只兔吗？师：用什么办法可以将我们的猜测展现出来，又直观，又不容易遗漏？生：列一张表格就很清楚了。师：你用列表法解决过问题吗？请自己尝试用列表法来解决这个问题。（鸡兔同笼，有20个头，54条腿，鸡、兔各有多少只？）生：拿出课前发的作业纸，列表。（师巡视观察指导，展示交流学生的不同列表结果。）师：（投影展示学生1的逐一列表内容）有什么特点？头/个鸡/只兔/只腿/条20119782021876203177420416722051570206146820713662010106020128562013754生：是逐一列出的。师：此法可以叫逐一列举法，同学们仔细观察一下，从这张表格中你发现了什么规律？生：鸡的数量增加一只，鸡和兔的腿的总条数就会减少2条。师：真棒，你们还发现了什么？生：如果腿要减少2条，应该将1只兔换成1只鸡；腿要增加2条，应该将1只鸡换成1只兔。师：如果腿要减少10条，应该将几只兔换成几只鸡?腿要增加10条呢？ 【我的思考】 引入让学生感悟到条件和问题之间的联系（当只知道8个头时，不能确定鸡和兔的只数，再增加一个条件“有22条腿”，就能确定鸡兔的只数）。在让学生猜测鸡和兔的只数时，由学生的无序思考引出列表的重要性。教师分析用逐一列举得到的表格时，引导学生发现：随着鸡的数量的逐一增加，鸡和兔的腿的总条数就减少2条，正是由于这一基本的变化规律，我们很容易得出“如果腿要减少2条，应该将1只兔换成1只鸡。反之，腿要增加2条，应该将1只鸡换成1只兔”。老师进一步引导学生思考：“如果腿要减少（增加）10条，应该将几只兔（鸡）变成几只鸡（兔）？”正是有了这些观察思考的基础，才使得后面的跳跃列表有了更多的数学思维含量，变得更有数学味。2、跳跃列表，初感假设。师：还有不同的方法吗？（展示学生2的结果）头/个鸡/只兔/只腿/条201197820812642013754师：（指问列表学生）你是怎么想的？生：当鸡1只兔19只时，我发现腿数比54多很多，所以就一下跳到8只鸡12只兔，后来我发现64比54多10，而每跳1只少两条腿，所以就又跳了5个。师：到底跳了几个？你怎么一次就跳到了54？有没有技巧？生：因为腿比实际腿多了10条，将1只兔换成1只鸡，腿要减少2条，所以就减少5只兔。师：这种方法可叫什么方法？（跳跃列表法）师：可以一下子跳出正确结果吗？怎样跳？生：可以，78到54相差24，直接跳12个。头/个鸡/只兔/只腿/条20119782013754师：你是怎么想的？生：当鸡有1只兔有19只时，腿有78条，比实际的腿数要多24条，根据刚才表格发现的规律：将1只兔换成1只鸡，腿要减少2条，24里面有12个2，所以我就一下跳到13，马上找到准确的腿数。师：比较这三张表格，你有什么想说的？生：第一张表格太麻烦了，数据大就很难列出来。【我的思考】在展示交流时，学生自己已经说出了“后来我发现64比54多10，而每跳1只少两条腿，所以就又跳了5个。”我们有理由相信，这位学生已经有了自己的跳跃技巧和方法。此时，老师接着追问：“你怎么一次就跳到了54，有没有技巧？”通过这位学生思维过程的展示，其余学生的思维水平都被推上了一个新的台阶。而后的学生说出：“当鸡有1只兔有19只时，腿有78条，比实际的腿数要多24条，根据刚才表格发现的规律：将1只兔换成1只鸡，腿要减少2条，24里面有12个2，所以我就一下跳到13，马上找到准确的腿数。”显然在这跳跃列表的过程中找到了假设法的影子。3、沟通方法，凸显假设。师：谁能不列表就能计算出鸡和兔的只数？生：我不用列表就可以计算出鸡和兔的只数。假设笼子里全是鸡，就有20×2=40条腿，而实际上却有54条腿，比实际少了14条腿，而每把一只兔子换成鸡就增加2条腿，要补足14条，要换14÷2=7（只），所以兔子一共是7只。师：比较这种方法与前面的列表方法有什么联系？头/个鸡/只兔/只腿/条201197820812642013754表1：头/个鸡/只兔/只腿/条20119782013754表2： 假设全是鸡，共有：20×2=40条腿，比实际少了54-40=14条腿，把一只鸡换成一只兔，就增加4-2=2条腿，这样换14÷2=7次，就是7只兔。生:表1的第3步其实就与这种方法(假设法)一样了,因为他8只鸡12只兔时发现64比54多10条腿时,每把一只兔换成鸡就要少2条腿,所以一下就换了5只,马上找到准确答案.师:是啊,那么表2呢?生:表2与这种方法(假设法)就更接近了,他先假设鸡1只兔19只,发现比实际多了24条腿,所以要换12只,因此一下就跳到13只鸡了.师:对啊,其实我们在列表时也用到了与这种方法相同的方法,像这样的方法叫做假设法.【我的思考】在让学生初步感知列表是一种方法以后，用足够的时间，让学生自主探索用列举法解决问题。教师通过课堂巡视利用学生有代表性的生成资源，组织学生进行交流和归纳，增强学生对列表法的体验和感悟。当老师追问“不用列表你能计算出结果吗？”这时学生完全可以根据列表中发现的规律轻松获得计算的方法。在最后,教师提出“比较这种方法(假设法)与前面的列表方法有什么联系？”时，学生能够很好的沟通出列表与假设的联系，使得列表成为理解假设法的拐杖，学生弄清楚假设法的来龙去脉后，一定不会出现假设谁算出来不知道是谁的尴尬情况了。教师在教学过程中注重对列表过程，特别是对跳跃列表的技巧和方法的探索，真正渗透了数学思想方法。这样，课堂学习就不仅仅是寻求“鸡兔同笼”问题的结果，而是变成训练学生思维的体操，列表枚举就变成了学生分析解决问题的工具，成了发展学生思维能力的载体。正是因为有了这个思维载体，学生才能轻松运用假设法来解答。4、变换情境，建立模型。师：在我们的生活中，也有很多的“鸡兔同笼”问题。师：（出示问题1：自行车和三轮车共10辆，总共有26个轮子。自行车和三轮车各有多少辆？）谁应当作鸡？谁应当作兔？生：自行车当作鸡，三轮车当作兔。鸡兔头数脚数鸡脚兔脚脚数差方法自行车三轮车1026231同一模型同一方法：假设师：出示表格：师：请同学们独立思考完成。总辆数自行车/辆三轮车/辆轮子总数/个101929104626生：生： 我用假设法：（26-10×2）÷（3-2）=6（辆） 10-6=4（辆）师：想想看“鸡兔同笼”问题还可以转换成什么问题？引出类似的问题如：一把椅子13元，一张桌子32元。现买桌子和椅子共40件，付款786元。买桌子多少张？椅子多少把？（谁应当作鸡？谁应当作兔？）鸡兔头数脚数鸡脚兔脚脚数差方法椅子桌子40786133219同一模型同一方法：假设【我的思考】在这一教学环节中老师出示变式的问题，让学生去理解，去感受生活中的“鸡兔同笼”问题，对“鸡兔同笼”问题作了进一步的提炼。并让学生编制同类的问题，这让学生进一步明确了鸡兔同笼问题的结构，在学生的头脑中初步建立了解决“鸡兔同笼”问题的模型。师：（出示问题3：某班有54人，下课到操场上活动，女生去了 ,男生去了 ，共去了26人。这个班里有男、女生各多少人？ 出示问题4：甲种盐水含盐15%，乙种盐水含盐25%，把两种盐水倒在一起，得到含盐19%的盐水100克，甲、乙两种盐水各多少克？）师：这两个问题和我们研究的“鸡兔同笼”问题有联系吗？能找到“鸡”和“兔”吗？（学生独立解答后，进行反馈交流）生：我把女生当作“鸡”，男生当作“兔”，用假设法：（54× -26）÷（ - ）=24（人）女生人数 生：把甲种盐水当作“鸡”，把乙种盐水当作“兔”。（100×25%-19）÷（25%-15%）=60（克）甲种盐水师出示表格后归纳总结：鸡兔头数脚数鸡脚兔脚脚数差方法整数自行车三轮车1026231同一模型同一方法：假设椅子桌子40786133219分数女生男生5426-浓度甲乙1001915%25%25%-15%【我的思考】在学生初步感受到“鸡兔同笼”问题的模型的基础上，老师进一步进行拓展提升。在解决问题3（分数问题）和问题4（浓度问题）时，老师引导学生发现解决问题的本质都是“鸡兔同笼”问题。整理如下表：鸡兔头数脚数鸡脚兔脚脚数差方法整数自行车三轮车1026231同一模型同一方法：假设椅子桌子40786133219分数女生男生5426-浓度甲乙1001915%25%25%-15% 随着一个个问题的提出和解决，不但使学生逐渐深化对数学模型的理解、把握与构建，也使学生自然地养成从不同的问题情境中找出同一结构关系的数量模型的思维习惯和数学观念，从而也就有可能使学生日后在面对不熟悉的问题情境时，进行“模型化”的处理。这样的拓展无疑是进一步抽象的过程，是对模型进一步深刻理解的过程，也是进一步数学化的过程。经历这样的数学化过程自然会促进学生数学上的发展。回顾整节课的重新设计，笔者把列表策略在“鸡兔同笼”问题中的应用分为：无序思考 有序思考 跳跃思考 抽象计算 建立模型，通过列表的直观、外显，提高学生学习兴趣，既降低教学难度，又提升了学生的思维含量。诚然，数学课堂教学中即便是相同的内容也会呈现出不同的课堂姿态。数学思想方法其特点是呈隐蔽形式，它比数学知识更抽象。教学难点在于如何让学生从直观的解决问题去感悟其中抽象的数学思想方法。解决这个难点的关键就是让学生主动参与，因为没有主动参与就不可能对数学知识、数学思想方法产生体验；没有了体验，那数学思想方法的渗透只能是一句空话。因此在课堂上必须充分暴露思维过程，让学生参与教学实践活动，充分发挥他们的主体作用。在动脑、动手、动口的过程中领悟体验数学思想方法的形成，揭示其中隐含的数学思想方法，并逐步掌握运用。“理解算法的最好途径是发现它，没有什么比依靠自己的发现更令人信服，如果不给儿童必要的时间，如果算法是生硬地灌输的，随之而来的必然是一个糟糕的反应。”参考文献：1.郑毓信:数学方法论.广西教育出版社,2003年第6期2.朱国荣:让学生亲历数学建模过程.小学数学教师,2005年第7、8期3.万培珍.蔡海根: 注重过程,渗透思想.小学数学教师,2004年第6期