(精品讲义150313)数学北师大版八级下册等腰三角形三线合一.doc

“三线合一”的妙用等腰三角形的“三线合一”性质应用十分广泛，可以利用它来巧妙地证明角相等、线段相等或直线垂直等问题一、证明角相等图121EDCBA【例1】已知：如图1，在中，于D求证：二、证明线段相等图2ECAMDB【例2】如图2，是等边三角形，D点是AC的中点，延长BC到E，使，过点D作，垂直为M求证：三、证明直线垂直FEDCB图3A【例3】如图3，在正ABC中，于点D，以AD为一边向右作正ADE请判断AC、DE的位置关系，并给出证明【点拨】当题设中同时具备下列两个条件时，就可以利用“三线合一”来证明两条直线相互垂直：（1）有一个等腰三角形；（2）两条直线中有一条是这个等腰三角形的顶角的平分线或底边上的中线所在的直线 例4. 等腰三角形顶角为，一腰上的高与底边所夹的角是，则与的关系式为=_。 例5. 已知：如图，ABC中，AB=AC，CEAE于E，E在ABC外，求证：ACE=B。 例6. 已知：如图，等边三角形ABC中，D为AC边的中点，E为BC延长线一点，CE=CD，DMBC于M，求证：M是BE的中点。 【同步练习】 1. 如图，墙上钉了一根木条，小明想检验这根木条是否水平，他拿来一个如图所示的测平仪，在这个测平仪中，AB=AC，BC边的中点D处有一个重锤，小明将BC边与木条重合，观察此重锤是否通过A点，如通过A点，则是水平的，你能说明其中的道理吗？ 2. 已知：如图，在RtABC中，ACB=90°，AC=BC，D是AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且EDFD，求证：S四边形CEDF。 直接应用“三线合一” 例7. 已知，如图，AD是的角平分线，DE、DF分别是和的高。 求证：AD垂直平分EF 例8. 如图，中，ABAC，AD为BC边上的高，AD的中点为M，CM的延长线交AB于点K，求证：先连线，再用“三线合一” 例9. 如图3，在中，D是BC的中点，P为BC上任一点，作，垂足分别为E、F求证：（1）DEDF；（2）先构造等腰三角形，再用“三线合一” 例10. 如图，已知四边形ABCD中，M、N分别为AB、CD的中点，求证： 例11. 如图，中，BC、CF分别平分和，于E，于F，求证：EF/BC三线合一的逆应用学习了等腰三角形的三线合一后，补充“三线合一”的逆命题的教学，因为这种逆命题虽然不能作为定理用，但它在解题中非常常见的。掌握了它，可以为我们解题增加一种重要思路。它有以下几种形式：    一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形（线段垂直平分线的性质）    一边上的高与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形    一边上的中线与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形.    因此，三角形“一边上的高、这边上的中线及这边所对角的平分线”三线中“两线合一”就能证明它是等腰三角形简言之：两线合一，必等腰。利用该逆命题作为一种思路正确地添加辅助线，构建等腰三角形且证明之来解决问题。等腰三角形“三线合一”性质的逆命题的应用不断为学生开辟了新思维，强化了学生通过添加辅助线解题的能力，而且在添加辅助线的过程中也蕴含着化归的数学思想。  一、我们先来证明“三线合一”性质的逆命题三种情形的正确性：证明：已知:如图1，ABC中，AD是BC边上的中线，又是BC边上的高。求证：ABC是等腰三角形。证明：已知:如图1，ABC中，AD是BAC的角平分线，AD是BC边上的高。求证：ABC是等腰三角形。证明：已知:如图2， ABC中，AD是BAC的角平分线， AD是BC边上的中线。求证：ABC是等腰三角形。 二、 利用“三线合一”性质的逆命题添加辅助线，构建且证明等腰三角形来解决问题1、逆命题的应用（即线段垂直平分线的性质的应用）例1 如图4，D、E分别是AB、AC的中点，CDAB于D，BEAC于E，求证：AC=AB。 2、逆命题的应用例2  已知：如图5，在ABC中，AD平分BAC，CDAD,D为垂足，AB>AC。求证：2=1+B 例3  在学习等腰三角形知识时，会遇到这个典型题目：如图6，在ABC中， BAC=900，AB=AC，BE平分ABC，且CDBE交BE的延长线于点D，求证：CD=BE 3、逆命题应用：例4  已知：如图8，ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DEAC 、DFAB分别与AB、AC相交于点E，F。求证：DE=DF 三线合一专项练习一、选择题：1、已知的周长为，且，又，D为垂足，的周长为，那么AD的长为（ ）A B. C. D. 2、如图2，在ABC中，AB=AC，BAD=30，AD=AE，则EDC=（ ）ABDEC 第2题图 第4题图A10 B. 12.5 C.15 D.20DABCEF第3题图3、如图，在ABC中，ABAC，D是BC的中点，DEAB于E，DFAC于F，则图中全等三角形共有（）A、 2对 B、3对 C、4对 D、5对4 、如图，在等腰直角ABC中，AD为斜边上的高，以D为端点任作两条互相垂直的射线与两腰相交于E、F，连结EF与AD相交于G，则AED与AGF的关系为( )AAED>AGF BAEDAGF CAED<AGF D不能确定二、填空题：5、如图，在ABC中，AB=AC，BD平分ABC，且BD=BE，A=84°，则DEC= CABDEADCBE 第7题图BAEDFC 第5题图 第6题图6、如图，CE平分ACB，且CEBD，DA=DB，又知AC=18，CDB的周长为28，那么BE的长为 。7、如图，在等腰ABC中，ABC=90°，D为AC边上中点，过D点作DEDF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，FC=3，则ABC的面积为 8、如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于E点，若AC平分DAB，且AB=AE，AC=AD，有如下四个结论：ACBD；BC=DE；DBC=DAB；ABE是等边三角形请写出正确结论的序号 (把你认为正确结论的序号都填上)三、解答题：9、如图ABC中，AB=AC D为AC上任意一点，延长BA到E 使得AE=AD 连接DE，求证：DEBC10、已知：如图，中，是上一点，、分别为、上的点，且，为的中点，求证：11、如图，以ABC的边AB，AC为边分别向形外作正方形ABDE和ACFG，DM、FN分别垂直直线BC于M、N.若DM=FN,求证： ABC=ACB