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    二次型和对称矩阵.ppt

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    二次型和对称矩阵.ppt

    9.1 二次型和对称矩阵,定义1:设 是一个数域,上 元二次齐次多项式叫做 上一个 元二次型,简称二次型。,例1、判断下列各式是否为二次型:,(1)式可写成以下形式:,令,利用矩阵乘 法,则(2)可写成:,其中 为对称矩阵,称 为二次型 的系数矩阵,简称为 的矩阵,并把矩阵 的秩称为二次型 的秩。,例2、写出下列二次型的矩阵:,例3、写出下列方阵对应的二次型:,如果对二次型(3)的变量实施如下变换:,那么就得到一个关于 的二次型。(4)式称为变量的线性变换。,令 是(4)的系数所构成的矩阵,则(4)可以写为,将 和 代入(3),得 矩阵 称为线性变换(4)的矩阵。如果 是非奇异(可逆)的,就称(4)是一个非奇异线性变换(非退化线性替换或满秩线性代换)。,因为A是对称矩阵,所以所以 也是对称矩阵。于是有:,定理9.1.1:设 是数域 上的一个以A为矩阵的 元二次型。对它的变量施行一次以P为矩阵的线性变换后得到的二次型的矩阵为。,例4、求对二次型的变量施行线性变换后得到的二次型。,推论9.1.2:一个二次型的秩在变量的非奇异线性变换之下保持不变。,定义2:设 是数域 上的两个 阶矩阵。如果存在 上的一个 阶非奇异(可逆)矩阵,使得,则称 与 合同。,矩阵合同的性质:,1)自反性:任意矩阵 都与自身合 同。,2)对称性:若 与 合同,则 与 也合同。,3)传递性:若 与 合同,与合同,则 与 合同。,结论:合同矩阵的秩相等,且与一个对称矩阵合同的矩阵也对称。,定义:若 上一个二次型可通过非奇异线性变换变为 上的另一个二次型,则这两个二次型等价。,定理9.1.3:数域 上两个二次型等价 它们的矩阵合同。等价的二次型的秩相同。,定理9.1.4:设 是数域 上的一个 阶对称矩阵,则总存在 上的一个 阶非奇异矩阵,使得。即:上每一个 阶对称矩阵都与一个对角形矩阵合同。,为对称矩阵,求一个可逆矩阵,使得 是对角形的方法:.,例5、设,求一个可逆矩阵,使得 是对角形。,定理9.1.5:数域 上每一个 元二次型,可通过变量的非奇异线性变换化为:(标准形或对角形)其中,。,例6、用非退化线性替换将二次型化为标准形。,补充作业:用非奇异线性变换将下列二次型化为标准形:。,

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