时域离散信号和时域离散系统数字信号处理第三版 课程辅导及课后习题详解.ppt

第1章时域离散信号和时域离散系统,1.1学习要点与重要公式1.2解线性卷积的方法1.3例题1.4习题与上机题解答,1.1学习要点与重要公式本章内容是全书的基础，因此学好本章是极其重要的。数字信号和数字系统与模拟信号和模拟系统不同，尤其是处理方法上有本质的区别。模拟系统用许多模拟器件实现，数字系统则通过运算方法实现。,1.1.1学习要点（1）信号：模拟信号、时域离散信号、数字信号三者之间的区别；常用的时域离散信号；如何判断信号是周期性的，其周期如何计算；序列的运算；（2）系统：什么是系统的线性、时不变性以及因果性、稳定性；线性时不变系统输入和输出之间的关系；求解线性卷积的图解法（列表法）、解析法；线性卷积的运算律以及意义；时域离散系统的输入输出描述法：线性常系数差分方程以及递推解法。,1.1.2 重要公式（1）,这是一个线性卷积公式，注意公式中是在之间对m求和。如果公式中x(n)和h(n)分别是系统的输入和单位脉冲响应，y(n)是系统输出，则该式说明系统的输入、输出和单位脉冲响应之间服从线性卷积关系。,（2）x(n)=x(n)*(n)该式说明任何序列与(n)的线性卷积等于原序列。x(nn0)=x(n)*(nn0),1.2解线性卷积的方法解线性卷积是数字信号处理中的重要运算。解线性卷积有三种方法，即图解法（列表法）、解析法和在计算机上用MATLAB语言求解。它们各有特点。图解法（列表法）适合于简单情况，短序列的线性卷积，因此考试中常用，不容易得到封闭解。解析法适合于用公式表示序列的线性卷积，得到的是封闭解，考试中会出现简单情况的解析法求解。解析法求解过程中，关键问题是确定求和限，求和限可以借助于画图确定。第三种方法适合于用计算机求解一些复杂的较难的线性卷积，实验中常用。,解线性卷积也可用Z变换法，以及离散傅里叶变换求解，这是后面几章的内容。,例已知离散信号x(n)如图1.3.4(a)所示，试求y(n)=x(2n)*x(n)，并绘出y(n)的波形。（选自西安交通大学2001年攻读硕士学位研究生入学考试试题）解：这也是一个计算线性卷积的题目，只不过要先求出x(2n)。解该题适合用列表法(图解法)。x(2n)=1,1,1,0.5y(n)=x(2n)*x(n)=1,2,3,3,3,3,2.75,2,1,0.25绘出y(n)的波形如图1.3.4(b)所示。,1.3例题,图1.3.4,1.4习题与上机题解答1.用单位脉冲序列(n)及其加权和表示题1图所示的序列。,题1图,解：x(n)=(n+4)+2(n+2)(n+1)+2(n)+(n1)+2(n2)+4(n3)+0.5(n4)+2(n6)2 给定信号：2n+54n160n40 其它(1)画出x(n)序列的波形，标上各序列值；(2)试用延迟的单位脉冲序列及其加权和表示x(n)序列；,(x(n)=,（3）令x1(n)=2x(n2)，试画出x1(n)波形；（4）令x2(n)=2x(n+2)，试画出x2(n)波形；（5）令x3(n)=x(2n)，试画出x3(n)波形。解：(1)x(n)序列的波形如题2解图（一）所示。(2)x(n)=3(n+4)(n+3)+(n+2)+3(n+1)+6(n)+6(n1)+6(n2)+6(n3)+6(n4),（3）x1(n)的波形是x(n)的波形右移2位，再乘以2，画出图形如题2解图（二）所示。(4)x2(n)的波形是x(n)的波形左移2位，再乘以2，画出图形如题2解图（三）所示。(5)画x3(n)时，先画x(n)的波形(即将x(n)的波形以纵轴为中心翻转180)，然后再右移2位，x3(n)波形如题2解图（四）所示。,题2解图（一）,题2解图（二）,题2解图（三）,题2解图（四）,3 判断下面的序列是否是周期的;若是周期的，确定其周期。,(1),(2),解：（1）因为=,所以,这是有理数，因此是周期序列，周期T=14。（2）因为=,所以=16,这是无理数，因此是非周期序列。,4 对题1图给出的x(n)要求：(1)画出x(n)的波形；(2)计算xe(n)=x(n)+x(n)，并画出xe(n)波形；(3)计算xo(n)=x(n)x(n)，并画出xo(n)波形;(4)令x1(n)=xe(n)+xo(n),将x1(n)与x(n)进行比较，你能得到什么结论？,解：（1）x(n)的波形如题4解图（一）所示。(2)将x(n)与x(n)的波形对应相加，再除以2，得到xe(n)。毫无疑问，这是一个偶对称序列。xe(n)的波形如题4解图（二）所示。(3)画出xo(n)的波形如题4解图（三）所示。,题4解图（一）,题4解图（二）,题4解图（三）,(4)很容易证明：x(n)=x1(n)=xe(n)+xo(n)上面等式说明实序列可以分解成偶对称序列和奇对称序列。偶对称序列可以用题中(2)的公式计算，奇对称序列可以用题中(3)的公式计算。5 设系统分别用下面的差分方程描述，x(n)与y(n)分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。（1）y(n)=x(n)+2x(n1)+3x(n2)（2）y(n)=2x(n)+3（3）y(n)=x(nn0)n0为整常数（4）y(n)=x(n),（5）y(n)=x2(n)（6）y(n)=x(n2)（7）y(n)=（8）y(n)=x(n)sin(n)解：（1）令输入为x(nn0)输出为 y(n)=x(nn0)+2x(nn01)+3x(nn02)y(nn0)=x(nn0)+2x(nn01)+3(nn02)=y(n),故该系统是非时变系统。因为 y(n)=Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n)+bx2(n)+2ax1(n1)+bx2(n1)+3ax1(n2)+bx2(n2)Tax1(n)=ax1(n)+2ax1(n1)+3ax1(n2)Tbx2(n)=bx2(n)+2bx2(n1)+3bx2(n2)所以 Tax1(n)+bx2(n)=aTx1(n)+bTx2(n)故该系统是线性系统。,（2）令输入为x(nn0)输出为y(n)=2x(nn0)+3y(nn0)=2x(nn0)+3=y(n)故该系统是非时变的。由于Tax1(n)+bx2(n)=2ax1(n)+2bx2(n)+3Tx1(n)=2x1(n)+3Tx2(n)=2x2(n)+3Tax1(n)+bx2(n)aTx1(n)+bTx2(n)故该系统是非线性系统。,(3)这是一个延时器，延时器是线性非时变系统，下面证明。令输入为x(nn1)输出为y(n)=x(nn1n0)y(nn1)=x(nn1n0)=y(n)故延时器是非时变系统。由于Tax1(n)+bx2(n)=ax1(nn0)+bx2(nn0)=aTx1(n)+bTx2(n)故延时器是线性系统。,(4)y(n)=x(n)令输入为x(nn0)输出为y(n)=x(n+n0)y(nn0)=x(n+n0)=y(n)因此系统是线性系统。由于Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n)+bx2(n)=aTx1(n)+bTx2(n)因此系统是非时变系统。,（5）y(n)=x2(n)令输入为 x(nn0)输出为y(n)=x2(nn0)y(nn0)=x2(nn0)=y(n)故系统是非时变系统。由于 Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n)+bx2(n)2 aTx1(n)+bTx2(n)=ax21(n)+bx22(n)因此系统是非线性系统。,（6）y(n)=x(n2)令输入为x(nn0)输出为y(n)=x(nn0)2)y(nn0)=x(nn0)2)=y(n)故系统是非时变系统。由于Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n2)+bx2(n2)=aTx1(n)+bTx2(n)故系统是线性系统。,（7）y(n)=x(m)令输入为x(nn0)输出为 y(n)=x(m-n0)y(nn0)=x(m)y(n)故系统是时变系统。由于Tax1(n)+bx2(n)=ax1(m)+bx2(m)=aTx1(n)+bTx2(n)故系统是线性系统。,（8）y(n)=x(n)sin(n)令输入为x(nn0)输出为y(n)=x(nn0)sin(n)y(nn0)=x(nn0)sin(nn0)y(n)故系统不是非时变系统。由于Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n)sin(n)+bx2(n)sin(n)=aTx1(n)+bTx2(n)故系统是线性系统。,6 给定下述系统的差分方程，试判定系统是否是因果稳定系统，并说明理由。（1）y(n)=x(nk)（2）y(n)=x(n)+x(n+1)（3）y(n)=x(k)（4）y(n)=x(nn0)（5）y(n)=ex(n),解：（1）只要N1，该系统就是因果系统，因为输出只与n时刻的和n时刻以前的输入有关。如果|x(n)|M，则|y(n)|M，因此系统是稳定系统。（2）该系统是非因果系统，因为n时间的输出还和n时间以后（n+1）时间）的输入有关。如果|x(n)|M,则|y(n)|x(n)|+|x(n+1)|2M,因此系统是稳定系统。（3）如果|x(n)|M，则|y(n)|x(k)|2n0+1|M，因此系统是稳定的；假设n00，系统是非因果的，因为输出还和x(n)的将来值有关。,（4）假设n00，系统是因果系统，因为n时刻输出只和n时刻以后的输入有关。如果|x(n)|M,则|y(n)|M，因此系统是稳定的。（5）系统是因果系统，因为系统的输出不取决于x(n)的未来值。如果|x(n)|M,则|y(n)|=|ex(n)|e|x(n)|eM，因此系统是稳定的。7 设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入序列x(n)如题7图所示，要求画出y(n)输出的波形。解：解法（一）采用列表法。y(n)=x(n)*h(n)=x(m)h(nm),题7图,y(n)=2,1,0.5,2,1,4.5,2,1;n=2,1,0,1,2,3,4,5,解法（二）采用解析法。按照题7图写出x(n)和h(n)的表达式分别为x(n)=(n+2)+(n1)+2(n3)h(n)=2(n)+(n1)+(n2)由于x(n)*(n)=x(n)x(n)*A(nk)=Ax(nk)故,y(n)=x(n)*h(n)=x(n)*2(n)+(n1)+(n2)=2x(n)+x(n1)+x(n2)将x(n)的表示式代入上式，得到 y(n)=2(n+2)(n+1)0.5(n)+2(n1)+(n2)+4.5(n3)+2(n4)+(n5),8.设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入x(n)分别有以下三种情况，分别求出输出y(n)。（1）h(n)=R4(n),x(n)=R5(n)（2）h(n)=2R4(n),x(n)=(n)(n2)（3）h(n)=0.5nu(n),xn=R5(n)解：（1）y(n)=x(n)*h(n)=R4(m)R5(nm)先确定求和域。由R4(m)和R5(nm)确定y（n）对于m的非零区间如下:0m34mn,根据非零区间，将n分成四种情况求解：n7时，y(n)=0,最后结果为 0 n7 n+1 0n3 8n4n7y(n)的波形如题8解图（一）所示。(2)y(n)=2R4(n)*(n)(n2)=2R4(n)2R4(n2)=2(n)+(n1)(n+4)(n+5)y(n)的波形如题8解图（二）所示,y(n)=,题8解图（一）,题8解图（二）,(3)y(n)=x(n)*h(n)=R5(m)0.5nmu(nm)=0.5nR5(m)0.5mu(nm)y（n）对于m 的非零区间为 0m4,mn n0时，y(n)=0 0n4时，,=(10.5n1)0.5n=20.5n,n5时,最后写成统一表达式：y(n)=(20.5n)R5(n)+310.5nu(n5),9 证明线性卷积服从交换律、结合律和分配律，即证明下面等式成立：（1）x(n)*h(n)=h(n)*x(n)（2）x(n)*(h1(n)*h2(n)=(x(n)*h1(n)*h2(n)（3）x(n)*(h1(n)+h2(n)=x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n)证明：（1）因为令m=nm,则,(2)利用上面已证明的结果，得到,交换求和号的次序，得到,10 设系统的单位脉冲响应h(n)=(3/8)0.5nu(n)，系统的输入x(n)是一些观测数据，设x(n)=x0,x1,x2,xk,，试利用递推法求系统的输出y(n)。递推时设系统初始状态为零状态。,解：,n=0时，,n0,n=1时，,n=2时，,最后得到,11 设系统由下面差分方程描述：,设系统是因果的，利用递推法求系统的单位脉冲响应。,解：令x(n)=(n),则,n=0时，,n=1时，,n=2时，,n=3时，,归纳起来，结果为,12.设系统用一阶差分方程y(n)=ay(n1)+x(n)描述，初始条件y(-1)=0，试分析该系统是否是线性非时变系统。解：分析的方法是让系统输入分别为(n)、(n1)、(n)+(n1)时，求它的输出，再检查是否满足线性叠加原理和非时变性。（1）令x(n)=(n),这时系统的输出用y1(n)表示。,该情况在教材例1.4.1 中已求出，系统的输出为y1(n)=anu(n),(2)令x(n)=(n1)，这时系统的输出用y2(n)表示。,n=0时，,n=1时，,n=2时，,任意 n 时，,最后得到,(3)令x(n)=(n)+(n1),系统的输出用y3(n)表示。,n=0时，,n=1时，,n=2时，,n=3时，,任意 n 时，,最后得到,由（1）和（2）得到y1(n)=T(n),y2(n)=T(n1)y1(n)=y2(n1)因此可断言这是一个时不变系统。情况（3）的输入信号是情况（1）和情况（2）输入信号的相加信号，因此y3(n)=T(n)+(n1)。观察y1(n)、y2(n)、y3(n)，得到y3(n)=y1(n)+y2(n)，因此该系统是线性系统。最后得到结论：用差分方程y(n)=ay(n1)+x(n),0a1描写的系统，当初始条件为零时，是一个线性时不变系统。,13 有一连续信号xa(t)=cos(2ft+j)，式中，f=20 Hz,j=/2。（1）求出xa(t)的周期；（2）用采样间隔T=0.02 s对xa(t)进行采样，试写出采样信号 的表达式；（3）画出对应 的时域离散信号（序列）x(n)的波形，并求出x(n)的周期。解：（1）xa(t)的周期为,（2）,（3）x(n)的数字频率=0.8，故，因而周期N=5，所以 x(n)=cos(0.8n+/2)画出其波形如题13解图所示。,题13解图,14.已知滑动平均滤波器的差分方程为,（1）求出该滤波器的单位脉冲响应；（2）如果输入信号波形如前面例1.3.4的图1.3.1所示，试求出y(n)并画出它的波形。解：（1）将题中差分方程中的x(n)用(n)代替，得到该滤波器的单位脉冲响应，即,（2）已知输入信号，用卷积法求输出。输出信号y(n)为,表1.4.1表示了用列表法解卷积的过程。计算时，表中x(k)不动，h(k)反转后变成h(k)，h(nk)则随着n的加大向右滑动，每滑动一次，将h(nk)和x(k)对应相乘，再相加和平均，得到相应的y(n)。“滑动平均”清楚地表明了这种计算过程。最后得到的输出波形如前面图1.3.2所示。该图清楚地说明滑动平均滤波器可以消除信号中的快速变化，使波形变化缓慢。,作业:P30:5(5),(6);9(2),(3);12,