线性变换和矩阵.ppt

7.3 线性变换和矩阵,一、线性变换关于基的矩阵和坐标,1、线性变换关于基的矩阵,现设 是数域 上的 维向量空间。令 是 的一个线性变换取定 的一个基，对于，有，仍是 的一个向量，设（1），现在的问题是，如何计算 的坐标？,令（2）（3）这里 就是 关于基的坐标。令,则 阶矩阵 叫做线性变换 关于基 的矩阵。矩阵 的第 列的元素就是 关于基 的坐标。这样，取定数域 上 维向量空间 的 一个基后，对于 的每一个线性变换，有唯一确定的 上的 阶矩阵与之对应。,例1、设 是 维向量空间 的标准基，线性变换 定义如下：。求 关于标准基的矩阵。,例2、令 是数域 上的一个 维向量空间，线性变换 是 的一个位似，求 关于任意基的矩阵。,特别地，(1)当 时，的单位变换 关于任意基的矩阵为单位矩阵；(2)当 时，的零变换 关于任意基的矩阵为零矩阵。,例3、设 的线性变换 定义如下：。求：（1）关于标准基的矩阵；（2）关于基 的矩阵。,例4、设，求下面的线性变换 关于基，的矩阵：（1）；（2）。,2、线性变换关于基的坐标,为了计算 关于基 的坐标，由等式（3），即：设,因为 是线性变换，所以（4）将（3）代入（4），得：,上式表明，关于基 的坐标所成的列是。,比较（1）式，得：,定理7.3.1：令 是数域 上一个维的向量空间，是 的一个线性变换，而 关于 的一个基 的矩阵是。如果 中向量 关于这个基的坐标是，而 的坐标是，那么。,例5、设 是数域 上的一个二维向量空间，是 的一个基。线性变换 关于基 的矩阵为，而中一向量 关于基 的坐标为。求 关于这个基的坐标。,3、一个线性变换关于两个基的矩阵的关系,定理：设 是数域 上的一个 维向量空间，是 的一个线性变换，关于 的两个基 和 的矩阵分别为 和，而基 到 的过渡矩阵为，则有。,例6、设 是数域 上的一个二维向量空间，线性变换 关于 的一个基 的矩阵是，而基 到 的过渡矩阵为。求关于基 的矩阵。,例7、设 是 的一个基，是 的线性变换，且。求：（1）在标准基下的矩阵；（2）在基 下的矩阵。,二、矩阵的相似,1、定义：设、是数域 上的两个 阶矩阵，若存在 上 阶可逆矩阵，使得 成立，则称 与 相似，记作：。,2、性质,（1）自反性：每一个 阶矩阵 均与它本身相似。,（2）对称性：若，则。,（3）传递性：若 且，则。,，,结论：维向量空间的一个线性变换关于两个基的矩阵是相似的。,推广：（1）（2）,三、矩阵 在给定基下的线性变换,引理7.3.2：设 是数域 上一个维向量空间，是 的一个基，那么对于 中任意 个向量，恰有 的一个线性变换，使得。,定理7.3.3：设 是数域 上一个维向量空间，是 的一个基。对于 的每一个线性变换，令关于基 的矩阵 与它对应。则（1）这样建立的映射 是一个双射；（2）若，而，那么。,结论：，它们的同构映射还保持乘法运算。,推论：设数域 上 维空间 的一个线性变换 关于 的一个取定的基的矩阵是，那么 可逆 可逆，且 关于这个基的矩阵是。,补充作业：已知线性变换 关于基的矩阵为。求 关于标准基的矩阵。,