数学建模案例（上） .ppt
经济数学,某饮料生产企业现在需要设计一批容积为V的圆柱形饮料包装盒，问应怎样设计才能使所用材料最省？,71 数学建模概述,第7章 数学建模案例,讨论：什么是最优设计易拉罐的形状如何材料跟易拉罐的什么有关,?,经济数学,在生活中我们会发现销量很大的饮料(例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等)的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。请问，你能否根据自己的观察来研究易拉罐的形状和尺寸对其进行最优设计？,71 数学建模概述,第7章 数学建模案例,经济数学,711 数学建模简介,数学的语言（图、表、式等等）、方法解决实际问题的全过程就是数学建模。,经济数学,712 数学模型与数学模型的分类,由数字、字母或其它数学符号组成，描述实际对象数量规律的数学公式、图象或算法（或：实际问题的数学描述）称为数学模型。,例如（）：甲、乙两人同时分别从两地骑车相向而行，甲每小时行20千米，乙每小时行18千米。两人相遇时距全程中点3千米。求全程长多少千米？小学生的方法：（千米）中学生的方法：设：相遇时甲行驶了千米，乙行驶了千米，甲乙相距a千米，则,经济数学,712 数学模型与数学模型的分类,（2）导数是曲线的切线斜率、直线运动瞬时速度的数学模型,经济数学,712 数学模型与数学模型的分类,按变量的特性分有：连续型模型和离散型模型；确定性模型和随机性模型;静态模型和动态模型等等。例如：温度与时间的关系曲线就是一种连续模型；商场销售量与时间的 关系就是一种离散模型。按数学方法分有：初等模型，微分方程模型，运筹模型，线性模型，非线性模型、网络模型，随机模型等等。,经济数学,712 数学模型与数学模型的分类,按应用领域分有：人口模型，生态模型，交通模型，环境模型，经济模型等等。按对模型结构了解程度分有：白箱模型，灰箱模型和黑箱模型。白箱模型是指所涉及问题的机理 相当清楚；黑箱模型是指对机理很不清楚；而灰箱模型则有别于白、黑 箱之间。,经济数学,721 椅子问题模型,72数学模型案例,在日常生活里，将一只四条腿一样长的椅子放在不平的地面上，其中三条腿常同时着地（不在同一条直线上的三点确定一平面），如果第四条腿不着地，椅子未放稳，问能否稍作挪动，就可以使四条腿同时着地（即椅子放稳）？,经济数学,721 椅子问题模型,72数学模型案例,1椅子：假设椅子的四条腿一样长，椅子腿与地面接触处视为一点，四条腿的 连线呈正方形 2地面：地面高度是连续变化的，地面无断裂，呈连续曲面 3椅子与地面相对关系：对椅子腿的间距和椅子腿的高度而言，地面是相对平 坦的，因而能使椅子在任何位置上呈三条腿同时着地,2.模型假设,经济数学,721 椅子问题模型,72数学模型案例,3.建立模型,经济数学,721 椅子问题模型,72数学模型案例,3.建立模型,经济数学,721 椅子问题模型,72数学模型案例,3.建立模型,经济数学,721 椅子问题模型,72数学模型案例,3.建立模型,设,为非负连续函数，如果 且，那么必存在，使,经济数学,721 椅子问题模型,72数学模型案例,4.模型求解,将椅子旋转，即正方形AC边转至边BD，BD边转至AC边 AC的初始情形时，有，；AC转至BD边位置后，有，令，则有,经济数学,721 椅子问题模型,72数学模型案例,4.模型求解,因、为连续函数，故 也为连续函数由连续函数的介值定理知：存在，使，即有 但，故有,经济数学,721 椅子问题模型,72数学模型案例,，表明椅子四脚均着地，椅子放稳了便是要挪动（旋转）的适当角度由于地面相对平坦，所以不考虑平移，仅考虑旋转是允许的,经济数学,722 库存问题,72数学模型案例,一个销售企业，如何安排进货才能使库存保管费、进货费最省,经济数学,722库存问题,72数学模型案例,（1）在计划期 T（通常以一年为计划期）内对货物的需求量Q是确定的（2）在计划期T内分次n次进货，每次进货量为，即进货是均匀的（3）每件货物贮存单位时间的贮存费用 及每次进货费用 都为常数（4）货物均匀投放市场 一般来说，货物先入库暂存，然后均匀提出这时，库存货物量的最大值就是每次的进货量，随着时间推移均匀降至零，一旦库存货量为零，立即得到货物补充且进货瞬间完成因此，货物的库存量 的图像如图7-2所示 由此得，平均库存量为,经济数学,722 库存问题,72数学模型案例,在以上假定条件下，总贮存费用为:,总进货费用为:,总费用为:,代入上式，得,经济数学,722 库存问题,72数学模型案例,令，得惟一驻点，又，所以惟一的驻点就是最小值点故当每次进货数量为 时，库存保管费、进货费之和最省,经济数学,722库存问题,72数学模型案例,从上述结果可以看出，每次进货数量 与每次进货费用 和需求量Q成正比,与每件货物贮存单位时间的贮存费用 越大与计划期T成反比当每次进货费用 与需求量 Q较大时，每次进货数量 就要多；当每件货物贮存单位时间的贮存费用 较大与计划期T较长时，每次进货数量 要少,经济数学,723新产品销售模型,72数学模型案例,一种新产品面世，厂家和商家总要采取各种措施，促进销售他们都希望 产品的销售速度与销售数量做到必中有数，以便于组织生产，安排进货如何 用一个数学模型来描述产品推销速度，并由此分析出有用结果，以指导生产与 销售,经济数学,723新产品销售模型,72数学模型案例,经济数学,723新产品销售模型,72数学模型案例,经济数学,723新产品销售模型,72数学模型案例,或,C是任意常数,经济数学,723新产品销售模型,72数学模型案例,因为,显然，当 时,=0,从而求得,使,由此我们可做如下分析：（1）当时，0，因此 单调上升(2）当时，0，因此 单调上升,经济数学,723新产品销售模型,72数学模型案例,
