第二章(第2,3节)单自由度系统的自由振动.ppt

2.2 能量法,能量法求解系统的振动微分方程与固有频率,对于能量无耗散的振动系统，在自由振动时系统的机械能守恒。,(2.2-1),(2.2-2),(2.2-3),对时间求导，得,如果取平衡位置为势能零点，由机械能守恒定律，有,化简后可得振动方程,化简后可得系统固有频率,2.2 能量法,例题：用能量法求解系统的振动微分方程与固有频率（例2.2-1）,例2.2-1 有一个重量为W，半径为r的实心圆柱体，在半径为R的圆柱形面上无滑动地滚动，如图2.2-1所示。假设该滚动的圆柱体进行简谐运动，试求它绕平衡位置作微小摆动时的固有频率n。,解：圆柱体在摆动时有两种运动：移动和滚动。设坐标如图2.2-1示。,摆动时圆柱体中心C点的速度及圆柱体的角速度分别为,图 2.2-1,2.2 能量法,例题：用能量法求解系统的振动微分方程与固有频率（例2.2-1）,系统的动能T为,若选圆柱体中心C在运动过程中的最低点为零势能点，则系统的势能为,圆柱体的势能为相对于最低位置O的重力势能。,2.2 能量法,例题：用能量法求解系统的振动微分方程与固有频率（例2.2-1）,由式(2.2-2)，有,上式可以简化为,当圆柱体作微摆动时，因此系统的势能为,2.2 能量法,例题：用能量法求解系统的振动微分方程与固有频率（例2.2-1）,故系统固有频率为,系统的固有频率也可以用Tmax=Umax来计算，设系统作自由振动时的变化规律为,则系统的最大动能、势能分别为,则得固有频率n同前。,2.2 能量法,例题：用能量法求解系统的振动微分方程与周期（例2.2-2）,解：在杆有微小偏角时，弹簧的伸长及锤的位移与速度可以近似的表示为a，l与。故振动系统的动能与势能可以表示为,例2.2-2 细杆OA可绕水平轴O转动，如图2.2-2所示，在静平衡时成水平。杆端锤的质量为m，杆与弹簧的质量均可略去不计，求自由振动的微分方程及周期。,图 2.2-2,2.2 能量法,例题：用能量法求解系统的振动微分方程与周期（例2.2-2）,代入方程(2.2-2)有,由此可得,固有频率为,周期为,2.3 等效刚度系数,弹簧刚度系数的定义,弹簧刚度系数就是使弹簧产生单位变形所需要的力或力矩。,(2.3-1),同一弹性元件，根据所要研究振动方向不同，弹簧刚度系数亦不同。,以一端固定的等直圆杆为例加以说明，如图2.3-1所示。,图 2.3-1,2.4 等效刚度系数,等直梁在不同方向的刚度,确定沿x方向的刚度时，在B处沿x方向加一垂直力F。,B点在x方向的刚度系数为,根据材料力学知，B点在x方向的位移为,图 2.3-1,2.4 等效刚度系数,等直梁在不同方向的刚度,确定沿y方向的刚度时，在B点沿y方向加一横向力P。,杆作弯曲变形，根据材料力学知，B点沿y方向的位移,B点沿y方向的刚度系数为,2.4 等效刚度系数,等直梁在不同方向的刚度,杆件作转扭，产生扭角，根据材料力学知，B点沿x轴的扭角为,确定绕x轴的转动方向的刚度，需要在B端绕x轴转动方向加一扭矩M。,B点绕x轴转动方向的刚度系数为,2.3 等效刚度系数,螺旋弹簧在不同方向的刚度,对于螺旋弹簧，在承受轴向拉伸或压缩、扭转与弯曲变形时，刚度系数分别为,式中E为弹性模量，G为剪切模量，d、D分别 为簧丝、簧圈直径，n为弹簧有效圈数。,工程中用到的弹簧类型很多，计算时需要其刚度系数，一般可以根据等效刚度系数的推证方法加以推导。,2.3 等效刚度系数,串、并联弹簧的等效刚度的计算,图2.3-2(a)是两个串联弹簧，刚度系数分别为k1和k2。B点的位移及等效刚度系数为,串联弹簧的作用使系统中的弹簧刚度降低。,如果有n个弹簧串联，刚度系数分别为k1,k2,kn，则等效刚度系数k应满足关系式,(2.3-2),图 2.3-2,2.3 等效刚度系数,串、并联弹簧的等效刚度的计算,图2.3-2(b)是两个并联弹簧，刚度系数分别为k1和k2。两个弹簧所受的力分别为k1xB、k2xB,并联弹簧的系统刚度是原来的弹簧刚度的总和，比原来各弹簧的刚度都要大。,如果有n个弹簧并联，其弹簧刚度系数分别为k1,k2,kn，则等效刚度系数为,(2.3-3),B点的等效刚度：,根据静力平衡条件得：,图 2.3-2,2.3 等效刚度系数,串、并联弹簧举例,弹簧的并联与串联，不能按表面形式来划分，应从力的分析来判断。,图2.3-3(a)与(b)中的弹簧为串联，而(c)与(d)中的弹簧则属于并联。,图 2.3-3,